人教A版 (2019)选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程3.1 椭圆优质第1课时导学案

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程3.1 椭圆优质第1课时导学案，共10页。学案主要包含了学习目标，自主学习，小试牛刀，经典例题，跟踪训练，当堂达标，参考答案等内容，欢迎下载使用。

3.1.2　第1课时 椭圆的简单几何性质
【学习目标】
课程标准
学科素养
1.掌握椭圆的简单几何性质．(重点)
2.了解椭圆的离心率对椭圆的扁平程度的影响．
3.可以根据题目条件求椭圆的离心率或范围. (难点)
1、直观想象
2、数学运算
3、逻辑推理
【自主学习】
一．椭圆的简单几何性质
焦点的位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
图形


焦点的
位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准
方程
＋＝1(a＞b＞0)
(a>b>0)
范围


对称性
对称轴为 ，对称中心为
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)
B1(－b,0)，B2(b,0)
轴长
短轴长|B1B2|＝ ，长轴长|A1A2|＝
焦点


焦距
|F1F2|＝
二．离心率
1.定义：椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的 ．
2.性质：离心率e的范围是(0,1)．当e越接近于1时，椭圆 ；当e越接近于0时，椭圆就越接近于圆．
思考：离心率相同的椭圆是同一椭圆吗？
【小试牛刀】
思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)椭圆＋＝1(a＞b＞0)的长轴长等于a. (　　)
(2)椭圆上的点到焦点的距离的最小值为a－c. (　　)
(3)椭圆的离心率e越小，椭圆越圆． (　　)
(4)若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长分别为10,8，则椭圆的方程为＋＝1. (　 　)
(5)设F为椭圆＋＝1(a>b>0)的一个焦点，M为其上任一点，则|MF|的最大值为a＋c(c为椭圆的半焦距)．(　 )
【经典例题】
题型一　椭圆的简单几何性质
点拨：由标准方程研究性质时的两点注意
(1)已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式的先化成标准形式，再确定焦点的位置，进而确定椭圆的类型．
(2)焦点位置不确定的要分类讨论，找准a与b，正确利用a2＝b2＋c2求出焦点坐标，再写出顶点坐标．同时要注意长轴长、短轴长、焦距不是a，b，c，而应是2a,2b,2c.
例1 求椭圆9x2＋16y2＝144的长轴长、短轴长、离心率、焦点坐标和顶点坐标．



【跟踪训练】1 已知椭圆C1：＋＝1，设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C2的焦点在y轴上．
(1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率；
(2)写出椭圆C2的方程，并研究其性质．





题型二　由几何性质求椭圆的标准方程
点拨：利用椭圆的几何性质求标准方程的思路
1.利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是：
①确定焦点位置；
②设出相应椭圆的标准方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)；
③根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数，列方程(组)时常用的关系式有b2＝a2－c2，e＝等．
2.在椭圆的简单几何性质中，轴长、离心率不能确定椭圆的焦点位置，因此仅依据这些条件求所要确定的椭圆的标准方程可能有两个．
例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)椭圆过点(3,0)，离心率e＝；
(2)经过点M(1,2)，且与椭圆＋＝1有相同的离心率．



【跟踪训练】 2 已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为，长轴长为12，则椭圆方程为(　　)
A．＋＝1或＋＝1 B．＋＝1
C．＋＝1或＋＝1 D．＋＝1或＋＝1

题型三　求椭圆的离心率
点拨：求椭圆离心率及范围的两种方法
1.直接法：若已知a，c可直接利用e＝求解．若已知a，b或b，c可借助于a2＝b2＋c2求出c或a，再代入公式e＝求解．
2.方程法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的齐次关系式，借助于a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或范围．
例3 若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为(　　)
A. B. C. D.
【跟踪训练】 3 设椭圆＋＝1(a＞b＞0)的两焦点为F1，F2，若在椭圆上存在一点P，使·＝0，求椭圆的离心率e的取值范围．



【当堂达标】
1.已知椭圆C：的一个焦点为（2，0），则椭圆C的离心率为（    ）
A． B． C． D．1
2．(多选)已知中心在原点的椭圆C的半焦距长为1，离心率等于，则C的方程是(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋y2＝1
3.比较椭圆①x2＋9y2＝36与②＋＝1的形状，则________更扁．(填序号)
4.设F1，F2是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，P为直线x＝上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为________．
5.椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，焦距为，且经过点．
(1)求满足条件的椭圆方程；
(2)求该椭圆的长半轴的长、顶点坐标和离心率．
6.已知椭圆C：（），点A，B为长轴的两个端点，若在椭圆上存在点P，使，求椭圆的离心率的取值范围．






【参考答案】
【自主学习】
＋＝1 －a≤x≤a且－b≤y≤b －b≤x≤b且－a≤y≤a 坐标轴 原点 2b 2a F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c) 2c
离心率 越扁
思考：不是，离心率是比值，比值相同不代表a，c值相同，它反映的是椭圆的扁圆程度．
【小试牛刀】
(1)×　(2)√　(3)√ (4)×　(5)√
【经典例题】
例1 解：把已知方程化成标准方程为＋＝1，所以a＝4，b＝3，c＝＝，
所以椭圆的长轴长和短轴长分别是2a＝8和2b＝6；离心率e＝＝；
两个焦点坐标分别是(－，0)，(，0)；四个顶点坐标分别是(－4,0)，(4,0)，(0，－3)，(0,3)．
【跟踪训练】1 解：(1)由椭圆C1：＋＝1，可得其长半轴长为10，短半轴长为8，焦点坐标为(6,0)，(－6,0)，离心率e＝.
(2)椭圆C2：＋＝1.性质如下：
①范围：－8≤x≤8，－10≤y≤10；②对称性：关于x轴、y轴、原点对称；③顶点：长轴端点(0,10)，(0，－10)，短轴端点(－8,0)，(8,0)；④焦点：(0,6)，(0，－6)；⑤离心率：e＝.
例2 解：(1)若焦点在x轴上，则a＝3，
∵e＝＝，∴c＝，∴b2＝a2－c2＝9－6＝3.∴椭圆的方程为＋＝1.
若焦点在y轴上，则b＝3，
∵e＝＝＝＝，解得a2＝27.∴椭圆的方程为＋＝1.
∴所求椭圆的方程为＋＝1或＋＝1.
(2)法一：由题意知e2＝1－＝，所以＝，即a2＝2b2，设所求椭圆的方程为＋＝1或＋＝1.将点M(1,2)代入椭圆方程得＋＝1或＋＝1，解得b2＝或b2＝3.
故所求椭圆的方程为＋＝1或＋＝1.
法二：设所求椭圆方程为＋＝k1(k1>0)或＋＝k2(k2>0)，将点M的坐标代入可得＋＝k1或＋＝k2，解得k1＝，k2＝，故＋＝或＋＝，即所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
【跟踪训练】2 C 解析：由条件知a＝6，e＝＝，∴c＝2，∴b2＝a2－c2＝32，故选C．
例3 A 解析：不妨设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，B为椭圆的上顶点．

依题意可知，△BF1F2是正三角形．
∵在Rt△OBF2中，|OF2|＝c，|BF2|＝a，∠OF2B＝60°，∴cos 60°＝＝，即椭圆的离心率e＝，故选A.
【跟踪训练】3 解：由题意知PF1⊥PF2，所以点P在以F1F2为直径的圆上，即在圆x2＋y2＝c2上．
又点P在椭圆上，所以圆x2＋y2＝c2与椭圆＋＝1有公共点．
连接OP(图略)，则易知0＜b≤c＜a，所以b2≤c2＜a2，即a2－c2≤c2＜a2.
所以≤c2＜a2，所以≤e＜1.所以e∈.
【当堂达标】
1.C 解析：由已知可得，，则，所以，
则离心率．故选：C.
2.AC 解析：依题意知，c＝1，e＝＝，即a＝2，b2＝a2－c2＝3，因此椭圆的焦点在X轴和Y轴两种可能，所以椭圆的方程为＋＝1或 ＋＝1。
3. ① 解析：把x2＋9y2＝36化为标准形式＋＝1，离心率e1＝＝，而＋＝1的离心率e2＝＝，这里e2＜e1，故①更扁．
4. 解析：由题意，知∠F2F1P＝∠F2PF1＝30°，
∴∠PF2x＝60°.∴|PF2|＝2×＝3a－2c.
∵|F1F2|＝2c，|F1F2|＝|PF2|，∴3a－2c＝2c，∴e＝＝.
5.解：（1）设椭圆的标准方程为，
则 ,所以椭圆的标准方程为
（2）由（1）知，椭圆的长半轴长为，
顶点坐标为、、、，
离心率.
6.解：由题可知，，设，
由点P在椭圆上，得，
所以，
可得，所以．