高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.3 等比数列优秀第2课时学案

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第一，必修课程，由国家根据学生全面发展需要设置，所有学生必须全部修习、全部考试。
第二，选择性必修课程，由国家根据学生个性发展和升学考试需要设置。
第三，选修课程，由学校根据实际情况统筹规划开设，学生自主选择修习。
2、课程类别变化，必修课程、选择性必修课程将成为高考考查范围。在毕业总学分不变的情况下，对原必修课程学分进行重构，由必修课程学分、选择性必修课程学分组成，适当增加选修课程学分。
3、学时和学分变化，高中生全年假期缩减到11周。
4、授课方式变化，选课制度将全面推开。
5、考试方式变化，高考统考科目由教育部命题，学业水平合格性、等级性考试由各省命题。
第2课时 等比数列的判定与简单应用
学习目标 1.体会等比数列与指数函数的关系.2.掌握等比数列的判断及证明方法.3.掌握等比数列中项的设法．
一、等比数列的通项公式与函数的关系
问题1 观察等比数列的通项公式，你认为它与我们熟悉的哪一类函数有关？
知识梳理
等比数列的通项公式与指数型函数的关系
(1)当q>0且q≠1时，等比数列{an}的第n项an是指数型函数f(x)＝eq \f(a1,q)·qx(x∈R)当x＝n时的函数值，即an＝f(n)．
(2)任意指数型函数f(x)＝kax(k，a是常数，k≠0，a>0且a≠1)，
则f(1)＝ka，f(2)＝ka2，…，f(n)＝kan，…构成一个等比数列{kan}，其首项为ka，公比为a.
注意点：(1)a1>0，q>1时，数列{an}为正项的递增等比数列；(2)a1>0,01时，数列{an}为负项的递减等比数列；(4)a1<0,0例1 已知数列{an}是等比数列，且公比大于0，则“q>1”是“数列{an}是递增数列”的( )
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
延伸探究
1．若{an}为等比数列，则“a1A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．设{an}是等比数列，则“a1A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
跟踪训练1 等比数列{an}为递减数列，若a7·a14＝6，a4＋a17＝5，则eq \f(a5,a18)等于( )
A.eq \f(3,2) B.eq \f(2,3) C.eq \f(1,6) D．6
二、等比数列的判定与证明
问题2 若数列{an}的前三项成等比数列，能说明这个数列是等比数列吗？
知识梳理
证明等比数列的方法
1．定义法：eq \f(an,an－1)＝q(n∈N*且n≥2，q为不为0的常数)；
2．等比中项法：aeq \\al(2,n)＝an－1an＋1(n∈N*且n≥2)；
3．通项公式法：an＝a1qn－1.
注意点：用定义法证明时，eq \f(an,an－1)和eq \f(an＋1,an)中的n的范围不同．
例2 已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝eq \f(1,3)(an－1)(n∈N*)．
(1)求a1，a2；
(2)求证：数列{an}是等比数列．
跟踪训练2 数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1＝1，an＋1＝eq \f(n＋2,n)Sn(n＝1,2,3，…)．证明：数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(Sn,n)))是等比数列．
三、等比数列中项的设法
例3 有四个实数，前三个数成等比数列，且它们的乘积为216，后三个数成等差数列，且它们的和为12，求这四个数．
跟踪训练3 有四个数成等比数列，将这四个数分别减去1,1,4,13成等差数列，则这四个数的和是________．
1．知识清单：
(1)等比数列与函数的关系．
(2)等比数列的证明．
(3)等比数列中项的设法．
2．方法归纳：定义法、分类讨论．
3．常见误区：四个数成等比数列时设成eq \f(a,q3)，eq \f(a,q)，aq，aq3，未考虑公比为负的情况．
1．已知等比数列{an}的公比为q，首项a1>0，则“q<1”是“等比数列{an}为递减数列”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．在数列{an}中，如果an＝32－n(n＝1,2,3，…)，那么这个数列是( )
A．公比为2的等比数列 B．公差为3的等差数列
C．首项为3的等比数列 D．首项为3的等差数列
3．在等比数列{an}中，|a1|＝1，a5＝－8a2，a5＞a2，则an等于( )
A．(－2)n－1 B．－(－2)n－1
C．(－2)n D．－(－2)n
4．在数列{an}中，a1＝2,2an＋1＝an(n∈N*)，则a6＝________.
课时对点练
1．等比数列{an}的公比q＝－eq \f(1,4)，a1＝eq \r(2)，则数列{an}是( )
A．递增数列 B．递减数列
C．常数列 D．摆动数列
2．在数列{an}中，对任意n∈N*，都有an＋1－2an＝0(an≠0)，则eq \f(2a1＋a2,2a3＋a4)等于( )
A．1 B.eq \f(1,2)
C.eq \f(1,3) D.eq \f(1,4)
3．已知数列{an}对任意的n≥2且n∈N*，满足aeq \\al(2,n)＝an－1an＋1，且a1＝1，a2＝2，则数列{an}的通项公式为( )
A．an＝2n B．an＝2n－1
C．an＝n D．无法确定
4．等比数列{an}不具有单调性，且a5是a4和3a3的等差中项，则数列{an}的公比q等于( )
A．－1 B．1 C．－2 D．－3
5．若正项数列{an}满足a1＝2，aeq \\al(2,n＋1)－3an＋1an－4aeq \\al(2,n)＝0，则数列{an}的通项公式an等于( )
A．22n－1 B．2n C．22n＋1 D．22n－3
6．(多选)设等比数列{an}的公比为q，前n项积为Tn，并且满足条件a1>1，a7a8>1，eq \f(a7－1,a8－1)<0.则下列结论正确的是( )
A．01
C．a8>1 D．Tn的最大项为T7
7．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝3an，则an＝________.
8．在《九章算术》中“衰分”是按比例递减分配的意思．今共有粮98石，甲、乙、丙按序衰分，乙分得28石，则衰分比例为________．
9．有四个数，前三个数成等差数列，它们的和为12，后三个数成等比数列，它们的和为19，求这四个数．
10．已知各项均不为0的数列{an}中，a1，a2，a3成等差数列，a2，a3，a4成等比数列，a3，a4，a5的倒数成等差数列，证明：a1，a3，a5成等比数列．
11．等比数列{an}的公比|q|>1，{an}中有连续四项在集合{－54，－24，－18,36,81}中，则q等于( )
A．－eq \f(1,2) B.eq \f(1,2)
C．－eq \f(3,2) D.eq \f(3,2)
12．在数列{an}中，a1＝eq \f(1,2)，am＋n＝aman(∀m，n∈N*)，则a6等于( )
A.eq \f(1,16) B.eq \f(1,32) C.eq \f(1,64) D.eq \f(1,128)
13．在等比数列{an}中，首项a1<0，则{an}是递增数列的充要条件是公比q满足( )
A．q>1 B．q<1 C．014．已知等比数列{an}满足a2a5＝2a3，且a4，eq \f(5,4)，2a7成等差数列，则a1a2a3·…·an的最大值为________．
15．如图给出了一个“三角形数阵”，已知每一列数成等差数列，从第三行起，每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，记第i行第j列的数为aij(i，j∈N*)，则a53的值为( )
eq \f(1,4)
eq \f(1,2)，eq \f(1,4)
eq \f(3,4)，eq \f(3,8)，eq \f(3,16)
…
A.eq \f(1,16) B.eq \f(1,8)
C.eq \f(5,16) D.eq \f(5,4)
16．设数列{an}是公比小于1的正项等比数列，已知a1＝8，且a1＋13,4a2，a3＋9成等差数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn＝an(n＋2－λ)，且数列{bn}是单调递减数列，求实数λ的取值范围．