人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.4* 数学归纳法优秀导学案

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.4* 数学归纳法优秀导学案，文件包含高中数学新教材选择性必修第二册第4章44数学归纳法教师版docx、高中数学新教材选择性必修第二册第4章44数学归纳法学生版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共18页， 欢迎下载使用。

第一，必修课程，由国家根据学生全面发展需要设置，所有学生必须全部修习、全部考试。
第二，选择性必修课程，由国家根据学生个性发展和升学考试需要设置。
第三，选修课程，由学校根据实际情况统筹规划开设，学生自主选择修习。
2、课程类别变化，必修课程、选择性必修课程将成为高考考查范围。在毕业总学分不变的情况下，对原必修课程学分进行重构，由必修课程学分、选择性必修课程学分组成，适当增加选修课程学分。
3、学时和学分变化，高中生全年假期缩减到11周。
4、授课方式变化，选课制度将全面推开。
5、考试方式变化，高考统考科目由教育部命题，学业水平合格性、等级性考试由各省命题。
§4.4* 数学归纳法
学习目标 1.了解数学归纳法的原理.2.能用数学归纳法证明一些简单的命题.
导语
同学们，生活中大家是否有过这种经历，比如说，你在家里做错了一点事情，你的父母就会感觉你做什么都是错的；比如说，你知道有一个人欺骗了你，你就会感觉所有的人都在欺骗你；比如说，当你做题时，第一个题不会，你就会认为所有的题目都不会了，其实这些都用了不完全归纳的方法，其结论不一定成立，而这些也往往给予特定的目标一些心理暗示，容易对一些目标造成心理伤害，我们今天就一起解决这些特定目标的心理障碍吧．
一、数学归纳法的理解
问题1 如果你从袋子里拿出5个小球，发现全部都是绿色的，能否判断袋子里面的小球都是绿色的？
问题2 在多米诺骨牌游戏中，如何保证所有的骨牌全部倒下？
知识梳理
一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
(1)(归纳奠基)证明当n＝n0(n0∈N*)时命题成立；
(2)(归纳递推)以“当n＝k(k∈N*，k≥n0)时命题成立”为条件，推出“当n＝k＋1时命题也成立”．
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立，这种证明方法称为数学归纳法．
注意点：初始值n0选择不一定是1，要结合题意恰当的选择．
例1 (1)用数学归纳法证明不等式2n>(n＋1)2(n∈N*)时，初始值n0应等于________．
(2)用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N*)的过程如下：
①当n＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立．
②假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1，则当n＝k＋1时，1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝eq \f(1－2k＋1,1－2)＝2k＋1－1，所以当n＝k＋1时等式也成立．由此可知对于任何n∈N*，等式都成立．上述证明，错误是__________________．
跟踪训练1 对于不等式eq \r(n2＋n)＜n＋1(n∈N*)，某同学用数学归纳法的证明过程如下：
(1)当n＝1时，eq \r(12＋1)＜1＋1，不等式成立．
(2)假设当n＝k(k≥1且k∈N*)时，不等式成立，即eq \r(k2＋k)＜k＋1，则当n＝k＋1时，eq \r(k＋12＋k＋1)＝eq \r(k2＋3k＋2)＜eq \r(k2＋3k＋2＋k＋2)
＝eq \r(k＋22)＝(k＋1)＋1，
∴当n＝k＋1时，不等式成立，则上述证法( )
A．过程全部正确
B．n＝1验证不正确
C．归纳假设不正确
D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确
二、增加的项的个数问题
例2 用数学归纳法证明“1＋a＋a2＋…＋a2n＋1＝eq \f(1－a2n＋2,1－a)(a≠1)”．在验证n＝1时，左端计算所得项为( )
A．1＋a B．1＋a＋a2
C．1＋a＋a2＋a3 D．1＋a＋a2＋a3＋a4
跟踪训练2 利用数学归纳法证明不等式1＋eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)＋…＋eq \f(1,2n－1)A．1项 B．k项 C．2k－1项 D．2k项
三、用数学归纳法证明等式
例3 用数学归纳法证明1－eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)－eq \f(1,4)＋…＋eq \f(1,2n－1)－eq \f(1,2n)＝eq \f(1,n＋1)＋eq \f(1,n＋2)＋…＋eq \f(1,2n)(n∈N*)．
跟踪训练3 求证：12－22＋32－42＋…＋(2n－1)2－(2n)2＝－n(2n＋1)(n∈N*)．
1．知识清单：
(1)数学归纳法的概念．
(2)增加或减少项的个数问题．
(3)用数学归纳法证明等式．
2．方法归纳：数学归纳法．
3．常见误区：一是对n0取值的问题易出错；二是增加或减少的项数易出错．
1．用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝eq \f(n＋3n＋4,2)(n∈N*)，验证n＝1时，左边应取的项是( )
A．1 B．1＋2
C．1＋2＋3 D．1＋2＋3＋4
2．在数列{an}中，an＝1－eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)－eq \f(1,4)＋…＋eq \f(1,2n－1)－eq \f(1,2n)，则ak＋1等于( )
A．ak＋eq \f(1,2k＋1) B．ak＋eq \f(1,2k＋2)－eq \f(1,2k＋4)
C．ak＋eq \f(1,2k＋2) D．ak＋eq \f(1,2k＋1)－eq \f(1,2k＋2)
3．某个与正整数有关的命题：如果当n＝k(k∈N*)时命题成立，则可以推出当n＝k＋1时该命题也成立．现已知n＝5时命题不成立，那么可以推得( )
A．当n＝4时命题不成立
B．当n＝6时命题不成立
C．当n＝4时命题成立
D．当n＝6时命题成立
4．用数学归纳法证明关于n的恒等式，当n＝k时，表达式为1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2，则当n＝k＋1时，表达式为________________________________．
课时对点练
1．在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为eq \f(1,2)n(n－3)条时，第一步应验证n等于( )
A．1 B．2 C．3 D．4
2．已知n为正偶数，用数学归纳法证明1－eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)－eq \f(1,4)＋…＋eq \f(1,n－1)－eq \f(1,n)＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,n＋2)＋\f(1,n＋4)＋…＋\f(1,2n)))时，若已假设n＝k(k≥2)为偶数时命题为真，则还需要用归纳假设再证( )
A．n＝k＋1时等式成立
B．n＝k＋2时等式成立
C．n＝2k＋2时等式成立
D．n＝2(k＋2)时等式成立
3．若命题A(n)(n∈N*)在n＝k(k∈N*)时成立，则有n＝k＋1时命题也成立．现知命题对n＝n0(n0∈N*)成立，则有( )
A．命题对所有正整数都成立
B．命题对小于n0的正整数不成立，对大于或等于n0的正整数都成立
C．命题对小于n0的正整数成立与否不能确定，对大于或等于n0的正整数都成立
D．以上说法都不正确
4．用数学归纳法证明“(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n·1·3…(2n－1)”，从“k到k＋1”左端需增乘的代数式为( )
A．2k＋1 B．2(2k＋1)
C.eq \f(2k＋1,k＋1) D.eq \f(2k＋3,k＋1)
5．用数学归纳法证明不等式eq \f(1,n＋1)＋eq \f(1,n＋2)＋…＋eq \f(1,n＋n)＞eq \f(13,24)(n∈N*)的过程中，由n＝k到n＝k＋1时，不等式左边的变化情况为( )
A．增加eq \f(1,2k＋1)
B．增加eq \f(1,2k＋1)＋eq \f(1,2k＋1)
C．增加eq \f(1,2k＋1)＋eq \f(1,2k＋2)，减少eq \f(1,k＋1)
D．增加eq \f(1,2k＋1)，减少eq \f(1,k＋1)
6．用数学归纳法证明等式1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2(n∈N*)的过程中，第二步假设n＝k时等式成立，则当n＝k＋1时应得到( )
A．1＋3＋5＋…＋(2k＋1)＝k2
B．1＋3＋5＋…＋(2k＋1)＝(k＋1)2
C．1＋3＋5＋…＋(2k＋1)＝(k＋2)2
D．1＋3＋5＋…＋(2k＋1)＝(k＋3)2
7．设f(n)＝1＋eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)＋…＋eq \f(1,3n－1)(n∈N*)，那么f(n＋1)－f(n)＝________.
8．证明：假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即2＋4＋…＋2k＝k2＋k，那么2＋4＋…＋2k＋2(k＋1)＝k2＋k＋2(k＋1)＝(k＋1)2＋(k＋1)，即当n＝k＋1时等式也成立．因此对于任意n∈N*等式都成立．
以上用数学归纳法证明“2＋4＋…＋2n＝n2＋n(n∈N*)”的过程中的错误为____________．
9．证明：eq \f(1,2)＋eq \f(1,22)＋eq \f(1,23)＋…＋eq \f(1,2n－1)＋eq \f(1,2n)＝1－eq \f(1,2n)(n∈N*)．
10．用数学归纳法证明：1＋3×2＋5×22＋…＋(2n－1)×2n－1＝2n(2n－3)＋3(n∈N*)．
11．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝eq \f(n4＋n2,2)，则当n＝k＋1时左端应在n＝k的基础上加上( )
A．(k＋1)2
B．k2＋1
C.eq \f(k＋14＋k＋12,2)
D．(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2
12．(多选)已知一个命题p(k)，k＝2n(n∈N*)，若当n＝1,2，…，1 000时，p(k)成立，且当n＝1 001时也成立，则下列判断中正确的是( )
A．p(k)对k＝528成立
B．p(k)对每一个自然数k都成立
C．p(k)对每一个正偶数k都成立
D．p(k)对某些偶数可能不成立
13．已知f(n)＝eq \f(1,n－1)＋eq \f(1,n)＋eq \f(1,n＋1)＋eq \f(1,n＋2)＋…＋eq \f(1,n2)，则( )
A．f(n)中共有n项，当n＝2时，f(2)＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)
B．f(n)中共有(n＋1)项，当n＝2时，f(2)＝1＋eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)＋eq \f(1,4)
C．f(n)中共有(n2－n＋2)项，当n＝2时，f(2)＝1＋eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)＋eq \f(1,4)
D．f(n)中共有(n2－n＋1)项，当n＝2时，f(2)＝1＋eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)＋eq \f(1,4)
14．记凸k边形的内角和为f(k)，则凸k＋1边形的内角和f(k＋1)＝f(k)＋________.
15．用数学归纳法证明“已知n为正奇数，求证：xn＋yn能被x＋y整除”时，第二步假设n＝k(k∈N*)时命题为真后，需证n＝________时命题也为真．
16．试比较2n＋2与n2的大小(n∈N*)，并用数学归纳法证明你的结论．