高中数学新教材选择性必修第二册讲义 第4章 习题课 数列中的构造问题

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高考政策|高中“新”课程，新在哪里?1、科目变化：外语语种增加，体育与健康必修。第一，必修课程，由国家根据学生全面发展需要设置，所有学生必须全部修习、全部考试。第二，选择性必修课程，由国家根据学生个性发展和升学考试需要设置。第三，选修课程，由学校根据实际情况统筹规划开设，学生自主选择修习。2、课程类别变化，必修课程、选择性必修课程将成为高考考查范围。在毕业总学分不变的情况下，对原必修课程学分进行重构，由必修课程学分、选择性必修课程学分组成，适当增加选修课程学分。3、学时和学分变化，高中生全年假期缩减到11周。4、授课方式变化，选课制度将全面推开。5、考试方式变化，高考统考科目由教育部命题，学业水平合格性、等级性考试由各省命题。习题课　数列中的构造问题学习目标　1.掌握利用构造法求数列通项公式的方法.2.会用构造法公式解决一些简单的问题．一、形如an＝pan－1＋pn的递推关系求通项公式例1　已知数列{an}满足an＝2an－1＋2n(n≥2)，且a1＝1，求数列{an}的通项公式．延伸探究　1．本例中“an＝2an－1＋2n”变为“an＝2an－1＋2n＋1”，其余不变，求数列{an}的通项公式．2．本例中“an＝2an－1＋2n”变为“an＝2an－1＋2n－1”，其余不变，求数列{an}的通项公式．跟踪训练1　已知数列{an}满足eq \f(1,an)＝eq \f(1,2an－1)＋eq \f(1,2n)，且a1＝1，求数列{an}的通项公式．二、形如an＋1＝pan＋q的递推关系求通项公式例2　已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1，求{an}的通项公式．跟踪训练2　已知数列{an}满足a1＝－2，an＋1＝2an＋4.证明数列{an＋4}是等比数列．并求数列{an}的通项公式．三、形如an＋1＝pan＋qn＋1的递推关系求通项公式例3　已知数列{an}中，a1＝eq \f(5,6)，an＋1＝eq \f(1,3)an＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n＋1，求an.跟踪训练3　已知数列{an}满足an＋1＝3an＋2n＋1且a1＝1，求数列{an}的通项公式．1．知识清单：(1)形如an＝pan－1＋pn的递推关系求通项公式．(2)形如an＋1＝pan＋q的递推关系求通项公式．(3)形如an＋1＝pan＋qn＋1的递推关系求通项公式．2．方法归纳：构造法．3．常见误区：构造的新的数列的首项易误认为还是a1.1．已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝2an＋1，则a4的值为(　　)A．15 B．23 C．32 D．422．下列说法错误的是(　　)A．任意等差数列{an}和{bn}，数列{an＋bn}是等差数列B．存在等差数列{an}和{bn}，数列{anbn}是等差数列C．任意等比数列{an}和{bn}，数列{an＋bn}是等比数列D．存在等比数列{an}和{bn}，数列{anbn}是等比数列3．已知正项数列{an}中，a1＝1，a2＝2,2aeq \o\al(2,n)＝aeq \o\al(2,n＋1)＋aeq \o\al(2,n－1)(n≥2)，则a6等于(　　)A．2eq \r(2) B．4 C．8 D．164．已知数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an－3，则an＝________.课时对点练1．已知数列{xn}满足x1＝1，x2＝eq \f(2,3)，且eq \f(1,xn－1)＋eq \f(1,xn＋1)＝eq \f(2,xn)(n≥2)，则xn等于(　　)A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))n－1 B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))nC.eq \f(2,n＋1) D.eq \f(n＋1,2)2．已知Sn为数列{an}的前n项和，Sn＋1＝2Sn，n∈N*，S2＝4，则a2 021等于(　　)A．22 020 B．42 020 C．42 021 D．22 0213．已知数列{an}满足：a1＝2，an＋1＝3an＋2，则{an}的通项公式为(　　)A．an＝2n－1 B．an＝3n－1C．an＝22n－1 D．an＝6n－44．在数列{an}中，a1＝5，且满足eq \f(an＋1,2n－5)－2＝eq \f(an,2n－7)，则数列{an}的通项公式为(　　)A．2n－3 B．2n－7C．(2n－3)(2n－7) D．2n－55．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝eq \f(an,an＋2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n∈N*)).若bn＝log2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)＋1))，则数列{bn}的通项公式bn等于(　　)A.eq \f(1,2)n B．n－1 C．n D．2n6．若数列{an}满足a1＝1，且an＋1＝4an＋2n，则a6等于(　　)A．2 016 B．2 018 C．2 020 D．2 0227．已知数列{an}满足a1＝1，eq \f(1,1＋an＋1)－eq \f(1,1＋an)＝1，则a5＝________.8．已知正项数列{an}满足aeq \o\al(2,n＋1)－6aeq \o\al(2,n)＝an＋1an，若a1＝1，则数列{an}的通项公式an＝________.9．已知Sn是数列{an}的前n项和，且Sn＝2an＋n－4.(1)求a1的值；(2)若bn＝an－1，试证明数列{bn}为等比数列．10．某企业投资1 000万元用于一个高科技项目，每年可获利25%，由于企业间竞争激烈，每年年底需要从利润中取出200万元进行科研技术发行与广告投资方能保持原有的利润增长率．问经过多少年后，该项目的资金可以达到或超过翻两番(4倍)的目标？(取lg 2≈0.3)11．已知数列{an}的首项为a1＝1，且满足an＋1＝eq \f(1,2)an＋eq \f(1,2n)，则此数列的通项公式an等于(　　)A．2n B．n(n＋1)C.eq \f(n,2n－1) D.eq \f(nn＋1,2n)12．已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝2，Sn＋1＝4an＋2，则a12等于(　　)A．20 480 B．49 152C．60 152 D．89 15013．(多选)设首项为1的数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn＋1＝2Sn＋n－1，则下列结论正确的是(　　)A．数列{Sn＋n}为等比数列B．数列{an}的通项公式为an＝2n－1－1C．数列{an＋1}为等比数列D．数列{Sn＋1－Sn＋1}为等比数列14．《尘劫记》是在元代的《算学启蒙》和明代的《算法统宗》的基础上编撰的一部古典数学著作，其中记载了一个这样的问题：假设每对老鼠每月生子一次，每月生12只，且雌雄各半.1个月后，有一对老鼠生了12只小老鼠，一共有14只；2个月后，每对老鼠各生了12只小老鼠，一共有98只．依此类推，假设n个月后共有老鼠an只，则a12＝________.15．将一些数排成倒三角形如图所示，其中第一行各数依次为1,2,3，…，2 021，从第二行起，每一个数都等于他“肩上”的两个数之和，最后一行只有一个数M，则M等于(　　)1　2　3　…　2 019　2 020　2 021　3　5　7　…　4 039　4 0418　12　…　　　8 080　…　　　　…　　　 …　　　 MA．2 021·22 018 B．2 022·22 019C．2 021·22 019 D．2 022·22 02016．设关于x的二次方程anx2－an＋1x＋1＝0(n＝1,2,3，…)有两根α和β，且满足6α－2αβ＋6β＝3.(1)试用an表示an＋1；(2)求证：eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an－\f(2,3)))是等比数列；(3)当a1＝eq \f(7,6)时，求数列{an}的通项公式．