高中数学新教材选择性必修第二册课件+讲义 第5章 5.2.3 简单复合函数的导数

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第5章 5.2.3 简单复合函数的导数高中数学新教材选择性必修第二册高考政策|高中“新”课程，新在哪里?1、科目变化：外语语种增加，体育与健康必修。第一，必修课程，由国家根据学生全面发展需要设置，所有学生必须全部修习、全部考试。第二，选择性必修课程，由国家根据学生个性发展和升学考试需要设置。第三，选修课程，由学校根据实际情况统筹规划开设，学生自主选择修习。2、课程类别变化，必修课程、选择性必修课程将成为高考考查范围。在毕业总学分不变的情况下，对原必修课程学分进行重构，由必修课程学分、选择性必修课程学分组成，适当增加选修课程学分。3、学时和学分变化，高中生全年假期缩减到11周。4、授课方式变化，选课制度将全面推开。5、考试方式变化，高考统考科目由教育部命题，学业水平合格性、等级性考试由各省命题。1.进一步运用导数公式和导数运算法则求函数的导数.2.了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则.同学们，大家有没有过网购的经历？大家一定有过这样的感受，即便你知道你买的什么东西，但当你拆开包装袋的时候，一样能给你带来无限的期盼与喜悦，犹如“拨开云雾见天日，守得云开见月明”，在我们数学上，也有一样让我们期盼的例子，那就是我们今天要学习的复合函数.随堂演练课时对点练一、复合函数概念的理解二、求复合函数的导数三、复合函数的导数的应用一、复合函数概念的理解问题1　函数y＝ln(2x－1)是如何构成的？提示　y＝ln(2x－1)，其中的2x－1“占据”了对数函数y＝ln x中x的位置，f(x)＝ln x，而f(2x－1)＝ln(2x－1)，这里有代入、代换的思想，则函数y＝ln(2x－1)是由内层函数为幂函数的线性组合和外层函数为对数函数复合而成，是复合函数，而函数y＝(2x－1)ln x不是复合函数，它只是两个函数相乘的关系，没有代入、代换的意思.复合函数的概念一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝ .注意点：内、外层函数通常为基本初等函数.f(g(x))例1　(多选)下列哪些函数是复合函数A.y＝xln x B.y＝(3x＋6)2C.y＝esin x D.y＝√√√解析　A不是复合函数；BCD都是复合函数.反思感悟　若f(x)与g(x)均为基本初等函数，则函数y＝f(g(x))或函数y＝g(f(x))均为复合函数.√√√二、求复合函数的导数问题2　如何求函数y＝sin 2x的导数？提示　y＝2sin xcos x，由两个函数相乘的求导法则可知：y′＝2cos2x－2sin2x＝2cos 2x；从整体上来看，外层函数是基本初等函数y＝sin u，它的导数y′＝cos u，内层函数是幂函数的线性组合u＝2x，它的导数是u′＝2，发现y′x＝y′u·u′x.复合函数的求导法则一般地，对于由函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))，它的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝ ，即y对x的导数等于 .注意点：(1)中间变量的选择应是基本初等函数的结构；(2)求导由外向内，并保持对外层函数求导时，内层不变的原则；(3)求每层函数的导数时，注意分清是对哪个变量求导.y′u·u′xy对u的导数与u对x的导数的乘积例2　求下列函数的导数：所以y′u＝－4u－5，u′x＝－3.(2)y＝cos(x2)；解　令u＝x2，则y＝cos u，所以y′x＝y′u·u′x＝－sin u·2x＝－2xsin(x2). (3)y＝log2(2x＋1)；解　设y＝log2u，u＝2x＋1，(4)y＝e3x＋2.解　设y＝eu，u＝3x＋2，则y′x＝(eu)′·(3x＋2)′＝3eu＝3e3x＋2.反思感悟　(1)求复合函数的导数的步骤(2)求复合函数的导数的注意点：①分解的函数通常为基本初等函数；②求导时分清是对哪个变量求导；③计算结果尽量简洁.跟踪训练2　求下列函数的导数：解　y＝ ，设y＝ ，u＝1－2x，则y′x＝＝ ·(－2)＝ .(2)y＝5log2(1－x)；解　函数y＝5log2(1－x)可看作函数y＝5log2u和u＝1－x的复合函数，所以y′x＝y′u·u′x＝5(log2u)′·(1－x)′三、复合函数的导数的应用例3　某港口在一天24小时内潮水的高度近似满足关系式s(t)＝3sin (0≤t≤24)，其中s的单位是m，t的单位是h，求函数在t＝18时的导数，并解释它的实际意义.将t＝18代入s′(t)，反思感悟　将复合函数的求导与导数的实际意义结合，函数在某点处的导数反映了函数在该点的瞬时变化率，体现导数揭示物体在某时刻的变化状况.跟踪训练3　已知某质点的位移s与位移时间t满足s＝tet－1，则质点在t＝1时的瞬时速度为________.2解析　s′＝(t＋1)et－1，当t＝1时，s′(1)＝2.1.知识清单：(1)复合函数的概念.(2)复合函数的求导法则.(3)复合函数的导数的应用.2.方法归纳：转化法.3.常见误区：求复合函数的导数时不能正确分解函数；求导时不能分清是对哪个变量求导；计算结果复杂化.12341.(多选)函数y＝(x2－1)n的复合过程正确的是A.y＝un，u＝x2－1 B.y＝(u－1)n，u＝x2C.y＝tn，t＝(x2－1)n D. t＝x2－1, y＝tn√√12342.函数y＝(2 021－8x)3的导数y′等于A.3(2 021－8x)2 B.－24xC.－24(2 021－8x)2 D.24(2 021－8x)2√解析　y′＝3(2 021－8x)2×(2 021－8x)′＝3(2 021－8x)2×(－8)＝－24(2 021－8x)2.1234√12344.设曲线y＝eax在点(0,1)处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，则a＝_____.2解析　易知y′＝aeax，y′|x＝0＝ae0＝a，12345678910111213141516√√√12345678910111213141516解析　A不是复合函数，B，C，D均是复合函数，D由y＝u4，u＝2x＋3复合而成.12345678910111213141516√12345678910111213141516√解析　∵y＝xln(2x＋5)，123456789101112131415164.函数y＝x(1－ax)2(a>0)，且y′|x＝2＝5，则a等于A.1 B.2 C.3 D.4√解析　y′＝(1－ax)2－2ax(1－ax)，则y′|x＝2＝12a2－8a＋1＝5(a>0)，解得a＝1(负舍).123456789101112131415165.曲线y＝2xex－2在点(2,4)处切线的斜率等于A.2e B.e C.6 D.2√解析　∵y＝2xex－2，∴y′＝2ex－2＋2xex－2，∴k＝y′|x＝2＝2e0＋4e0＝6，故选C.12345678910111213141516√√√12345678910111213141516对于B，y＝sin x2，则y′＝2xcos x2，故正确；对于C，y＝cos 5x，则y′＝－5sin 5x，故错误；123456789101112131415167.质点M按规律s(t)＝(2t＋1)2 做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，则质点M在t＝2时的瞬时速度为______m/s.20解析　∵s(t)＝(2t＋1)2，∴s′(t)＝2(2t＋1)×2＝8t＋4，则质点在t＝2时的瞬时速度为s′(2)＝8×2＋4＝20(m/s).123456789101112131415168.已知直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a的值为_____.2解析　设直线y＝x＋1切曲线y＝ln(x＋a)于点(x0，y0)，则y0＝1＋x0，y0＝ln(x0＋a)，又y0＝ln(x0＋a)，∴y0＝0，∴x0＝－1，∴a＝2.123456789101112131415169.求下列函数的导数：(1)y＝ln(ex＋x2)；解　令u＝ex＋x2，则y＝ln u.12345678910111213141516(2)y＝102x＋3；解　令u＝2x＋3，则y＝10u，∴y′x＝y′u·u′x＝10u·ln 10·(2x＋3)′＝2×102x＋3ln 10.(3)y＝sin4x＋cos 4x.∴y′＝－sin 4x.12345678910111213141516解　设y＝ ，u＝1－x2，则y′x＝＝ ·(－2x)＝ .12345678910111213141516(5)y＝sin 2xcos 3x；解　∵y＝sin 2xcos 3x，∴y′＝(sin 2x)′cos 3x＋sin 2x(cos 3x)′＝2cos 2xcos 3x－3sin 2xsin 3x.(6)y＝x3ecos x.解　y′＝(x3)′ecos x＋x3(ecos x)′＝3x2ecos x＋x3ecos x·(cos x)′＝3x2ecos x－x3ecosxsin x.1234567891011121314151610.曲线y＝esin x在点(0,1)处的切线与直线l平行，且与l的距离为 ，求直线l的方程.12345678910111213141516解　∵y＝esin x，∴y′＝esin xcos x，∴y′|x＝0＝1.∴曲线y＝esin x在点(0,1)处的切线方程为y－1＝x，即x－y＋1＝0.又直线l与x－y＋1＝0平行，故直线l可设为x－y＋m＝0(m≠1).∴直线l的方程为x－y－1＝0或x－y＋3＝0.12345678910111213141516√12345678910111213141516解析　依题意得y′＝e－2x·(－2)＝－2e－2x，y′|x＝0＝－2e－2×0＝－2.所以曲线y＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线方程是y－2＝－2x，即y＝－2x＋2.在平面直角坐标系中作出直线y＝－2x＋2，y＝0与y＝x的图象，如图所示.直线y＝－2x＋2与x轴的交点坐标是(1,0)，12345678910111213141516所以结合图象可得，12345678910111213141516√12345678910111213141516解析　设曲线y＝ln(2x－1)在点(x0，y0)处的切线与直线2x－y＋3＝0平行.解得x0＝1，∴y0＝ln(2－1)＝0，即切点坐标为(1,0).12345678910111213141516√√12345678910111213141516所以y′∈[－1,0)，所以tan α∈[－1,0).123456789101112131415161234567891011121314151615.设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，其导函数为f′(x)，且f(ln x)＝2x－ln x，则f′(1)＝________.2e－1解析　因为f(ln x)＝2x－ln x，令t＝ln x，则x＝et，所以f(t)＝2et－t，即f(x)＝2ex－x，所以f′(x)＝2ex－1，因此f′(1)＝2e－1.12345678910111213141516解　∵f(x)＝eπxsin πx，∴f′(x)＝πeπxsin πx＋πeπxcos πx＝πeπx(sin πx＋cos πx).12345678910111213141516解　设切点坐标为P(x0，y0)，由题意可知 ＝0.解得x0＝0，此时y0＝1.即切点坐标为P(0,1)，切线方程为y－1＝0.课程结束高中数学新教材选择性必修第二册