初中数学北师大版九年级上册第一章 特殊平行四边形3 正方形的性质与判定优秀ppt课件

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1.3.2 正方形的判定
北师大版数学九年级上册
教学目标
1．探索并证明正方形的判定，了解平行四边形、矩形、菱形之间的联系和区别；2．会运用正方形的判定条件进行有关的论证和计算 .
情景导入
什么是正方形？正方形有哪些性质？
正方形：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形.
正方形性质：①四个角都是直角; ②四条边都相等; ③对角线相等且互相垂直平分； ④既是中心对称图形也是轴对称图形.
新知讲解
如何判定一个四边形是正方形呢？
判定一个四边形为正方形的主要依据是定义，途径有两条：
（1）先证它是矩形，再证它有一组邻边相等；
（2）先证它是菱形，再证它有一个角为直角.
简记 ： 即是矩形又是菱形就是正方形
新知讲解
如图，将一张矩形纸片对折两次，然后剪下一个角，打开，怎样才能剪出一个正方形？
剪下一个等腰直角三角形就能剪出一个正方形.
新知讲解
方位角和距离
满足什么条件的矩形是正方形？满足什么条件的菱形是正方形？请证明你的结论，并与同伴交流．
有一个角是直角
有一组邻边相等
有一组邻边相等
有一个角是直角
对角线相等
对角线垂直
新知讲解
准备一张矩形的纸片，按照下图折叠，然后展开，折叠部分得到一个正方形，可量一量验证验证.
新知讲解
猜想 满足怎样条件的矩形是正方形？
矩形
一组邻边相等
对角线互相垂直
正方形
你能证明这两种猜想吗？
新知讲解
定理：有一组邻边相等的矩形是正方形.
已知：ABCD是矩形，且AB=BC，试证明，ABCD是正方形.
证明：∵ABCD 是矩形，∴∠A = 90°，又∵AB = BC，∴ABCD 是正方形（正方形的定义）.
证明：有一组邻边相等的矩形是正方形.
新知讲解
证明：对角线互相垂直的矩形是正方形.
已知：如图，在矩形ABCD中，AC , DB是它的两条对角线，AC⊥DB.求证：四边形ABCD是正方形.
证明：∵四边形ABCD是矩形,∴ AO=CO=BO=DO ，∠ADC=90°.∵AC⊥DB,∴ AD=AB=BC=CD,∴四边形ABCD是正方形.
归纳总结
通过矩形判定正方形：
符号语言：∵四边形ABCD是矩形，AB=AD，所以四边形ABCD是正方形。
判定方法2：对角线互相垂直的矩形是正方形。
符号语言：∵四边形ABCD是矩形，AC⊥BD，所以四边形ABCD是正方形。
判定方法1：有一组邻边相等的矩形是正方形。
新知讲解
你能证明这两个猜想吗？
把可以活动的菱形框架的一个角变为直角，观察这时菱形框架的形状.量量看是不是正方形.
正方形
猜想 满足怎样条件的菱形是正方形？
菱形
一个角是直角
对角线相等
正方形
新知讲解
定理：有一个角是直角的菱形是正方形.
已知：ABCD是菱形，∠A=90°，试证明，ABCD是正方形.
证明：∵ABCD 是菱形，∴ AB = BC = CD = DA，又∵∠A = 90° ，∴ABCD 是正方形（正方形的定义）.
新知讲解
定理：对角线相等的菱形是正方形.
已知：ABCD是菱形，AC=BD，试证明，ABCD是正方形.
证明：∵ABCD 是菱形，∴ AB = BC = CD = DA，OA = OC = OB = OD∴AC⊥BD（菱形对角线互相垂直）又∵AC = BD ，∴△AOB、△AOD、△BOC、△COD都是等腰直角三角形.∴∠ABC = 90°.∴ABCD 是正方形（正方形的定义）.
归纳总结
正方形判定的几条途径：
正方形
正方形
+
+
先判定菱形
先判定矩形
矩形条件(二选一)
菱形条件(二选一)
一个直角，
一组邻边相等，
对角线相等
对角线垂直
典例精析
例1 如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC ，CE平分∠DCB , BF∥CE , CF∥BE.求证：四边形BECF是正方形.
F
A
B
E
C
D
典例精析
F
A
B
E
C
D
证明: ∵ BF∥CE,CF∥BE， ∴四边形BECF是平行四边形. ∵四边形ABCD是矩形, ∴ ∠ABC = 90°, ∠DCB = 90°, 又∵BE平分∠ABC, CE平分∠DCB, ∴∠EBC = 45°, ∠ECB = 45°, ∴ ∠EBC =∠ECB . ∴ EB=EC,∴□ BECF是菱形 . 在△EBC中 ∵ ∠EBC = 45°,∠ECB = 45°, ∴∠BEC = 90°, ∴菱形BECF是正方形.
想一想
我们知道，任意画一个四边形，以四边的中点为顶点可以组成一个平行四边形。
那么，任意画一个正方形，以四边的中点为顶点可以组成一个怎样的图形呢？先猜一猜，再证明.
想一想
以正方形四边的中点为顶点，可以组成一个正方形。
证明思路：利用三角形的中位线证出A1D1=A1B1=C1D1=C1B1，从而得到四边形A1B1C1D1是矩形，再根据一组邻边相等得出A1B1C1D1是正方形。
议一议
以菱形各边的中点为顶点组成的四边形会是什么形状？以矩形各边的中点为顶点组成的四边形会是什么形状？
菱形的中点组成的四边形是矩形.
你能试着证明吗？
矩形的中点组成的四边形是菱形.
议一议
已知：如图，点 E，F，G，H 分别是菱形 ABCD 各边的中点. 求证：四边形 EFGH 为矩形.
证明：连接 AC，BD，∵ E，F分别是 AB 和 BC 边中点，∴ EF∥AC，同理可证 HG∥AC，EH∥BD，FG∥BD.∴EF∥HG，EH∥FG，∴四边形 EFGH ，PFQO 为平行四边形.又∵四边形 ABCD 是菱形∴AC⊥BD（菱形的对角线互相垂直），∴∠1=90°，∠2=90°.∴四边形 EFGH 是矩形（矩形的定义）
议一议
已知：如图，点 E，F，G，H 分别是矩形 ABCD 各边的中点. 求证：四边形 EFGH 为菱形.
 
议一议
∴四边形 EFGH 为平行四边形.又∵四边形 ABCD是矩形∴AC=BD（矩形的对角线相等），∴EF=EH∴四边形 EFGH 是菱形（菱形的定义）
归纳总结
决定中点四边形形状的关键因素是什么？
对角线不垂直，不相等
平行四边形
对角线不垂直，不相等
平行四边形
对角线相等
菱形
对角线垂直
矩形
对角线相等且垂直
正方形
课堂练习
1.在菱形ABCD中，若要添加一个条件后，使它是正方形，则添加的条件可以是(　　)A．AB＝AD B．AB⊥BC C．AC⊥BD D．AC平分∠BAD2. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE＝BF，添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的是(　　)A．BC＝AC B．BD＝DF C．AC＝BF D．CF⊥BF
B
C
课堂练习
3.已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，其中错误的是___________（只填写序号）．
②③或①④
4.如图所示，E 是正方形 ABCD 边 BC 上任意一点，EF⊥BO 于 F，EG⊥CO 于 G，若 AB = 10 厘米，则四边形 EGOF 的周长是_____厘米.
课堂练习
5．已知：如图，E，F是正方形ABCD的对角线 BD上的两点，且BE=DF．求证：四边形AECF是菱形
证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD=CB,AD∥CB.∴∠ADF=∠CBE.又∵BE=DF,∴△ADF≌△CBE（SAS），∴AF=CE,∠AFD=∠CEB.∴∠AFE=∠CEF.∴AF∥CE.
课堂练习
∴四边形AECF是平行四边形.∵AD=AB,∴∠ADF=∠ABE.又∵BE=DF,∴△AFD≌△AEB（SAS）.∴AF=AE.∴四边形AECF是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）.
课堂练习
6．如图，在正方形ABCD中，E，F，G，H 分别在它的四条边上，且AE=BF=CG=DH．四边形EFGH是什么特殊四边形？你是如何判断的？
解：四边形EFGH是正方形.理由如下：在正方形ABCD中，AB=BC=CD=AD,∠A=∠B=∠C=∠D=90°.∵AE=BF=CG=DH,∴BE=CF=DG=AH.∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG(SAS).
课堂练习
∴∠AEH=∠DHG,HE=EF=FG=GH.∴四边形EFGH是菱形.∵∠AEH+∠AHE=90°，∴∠DHG+∠AHE=90°.∴∠EHG=90°.∴四边形EFGH是正方形.
课堂总结
5种判定方法
三个角是直角
四条边相等
一个角是直角
或对角线相等
一组邻边相等
或对角线垂直
一组邻边相等
或对角线垂直
一个角是直角
或对角线相等
一个角是直角且一组邻边相等
板书设计
1.3.2 正方形的判定
(2) 对角线互相垂直的矩形是正方形；
(3) 有一个角是直角的菱形是正方形；
(4) 对角线相等的菱形是正方形.
(1) 有一组邻边相等的矩形是正方形；
作业布置
教材第25页习题1.8 第2、3题
课程结束
北师大版数学九年级上册