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人教A版 (2019)必修 第二册6.2 平面向量的运算优质课教案
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这是一份人教A版 (2019)必修 第二册6.2 平面向量的运算优质课教案，共7页。
6.2.4平面向量的数量积教案
课题
6.2.4向量的数量积
单元
第六单元
学科
数学
年级
高一
教材分析
本节内容是平面向量的数量积运算运算，由功的概念导入，学习平面向量的数量积运算以及运算律这些知识点，同时根据将向量的线性运算与向量的数量积运算进行对比分析。
教学目标与核心素养
1.数学抽象：利用功的定义将平面向量的数量积运算具体化；
2.逻辑推理：通过课堂探究逐步培养学生的逻辑思维能力；
3.数学建模：掌握平面向量数量积运算及其运算律；
4.直观想象：利用数的运算及运算律推导平面向量的数量积运算及运算律；
5.数学运算:能够正确计算和判断向量的数量积；
6.数据分析:通过经历提出问题—推导过程—得出结论—例题讲解—练习巩固的过程，让学生认识到数学知识的逻辑性和严密性。
重点
向量的夹角、投影定义，数量积定义、性质以及运算律
难点
数量积定义、性质以及运算律
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
情境导入：
我们一起来看一下物理中功的概念：如果一个物体在力F的作用下产生位移s，那么力F所做的功
思考1：前面我们学习了向量的加、减运算。类比数的运算，那么向量能否相乘？如果能，那么向量的乘法该怎样定义？
由功的概念可知，功是一个标量，它由力和位移两个向量来确定。由此，我们引入“数量积”的概念。
学生思考问题，引出本节新课内容。
设置问题情境，激发学生学习兴趣，并引出本节新课。
讲授新课
知识探究（一）：向量的夹角
已知
特殊情况1
特殊情况2
特殊情况3
注意：
计算向量的夹角时，要将两个向量起点放在一起.
小试牛刀
知识探究（二）：数量积的定义
思考：根据功的定义，你能推导出数量积的定义吗？它和向量的加、减以及数乘运算有什么区别？
数量积定义：
规定：零向量与任一向量的数量积为0.
对比向量的线性运算，我们发现，向量线性运算的结果是一个向量，而两个向量的数量积是一个数量，这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角有关。
例题讲解
例1：
例2：
知识探究（三）：投影(或射影)的定义
思考：
由此可得数量积的几何意义：
小试牛刀
如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝2，∠ABC＝30°，D为BC的中点．
(1)求在上的投影向量；
(2)求在上的投影向量．
总结:求一个向量在另一个向量上的投影向量时，关键是作出恰当的垂线，根据题意确定向量的模及两向量的夹角．
知识探究（四）：数量积的性质
思考：
思考：
思考：
知识探究（五）：数量积的运算律
思考：数的乘法有相应的运算律，你能根据向量的线性运算的运算律得到数量积运算的运算律吗？你能证明吗？
以此类推，可得数量积运算的运算律如下：
数乘运算的运算律
思考：
不一定。
左右两边不一定相等，所以不一定成立。
例题讲解
例3：
例4：
向量数量积的求法
(1)求两个向量的数量积，首先确定两个向量的模及两个向量的夹角，其中准确求出两个向量的夹角是求数量积的关键．
(2)根据数量积的运算律，向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算．
知识拓展：向量的模的计算
方法总结：
例题讲解
例5：
求向量的模的常见思路及方法
(1)求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系，并灵活应用a2＝|a|2，勿忘记开方．
(2)a·a＝a2＝|a|2或|a|＝，可以实现实数运算与向量运算的相互转化．
提升训练
1、判断下列各题是否正确
2、如图,边长为1的等边三角形ABC中,求：
学生根据功的定义探究平面向量的夹角以及数量积运算。
学生根据环环相扣的思考题，探究平面向量的数量积的性质。
学生利用向量的投影推导并证明向量数量积的运算律。
学生例题，巩固向量的数量积运算以及运算律，并能够灵活运用.
学生和教师共同探究完成3个练习题。
利用功的定义探究得出平面向量的夹角以及数量积运算,培养学生探索的精神.
通过思考，培养学生探索新知的精神和能力.
巩固向量的投影，同时，培养学生严谨的数学态度和严密的逻辑思维。
利用例题，化抽象为具体，提高学生的抽象能力和逻辑思维能力。
通过这3个题，巩固基础知识，发散学生思维，培养学生思维的严谨性和对数学的探索精神。
课堂小结
1. 向量的夹角
2. 数量积运算的定义
3. 投影的定义
4. 数量积运算性质
5. 数量积运算运算律
学生回顾本节课知识点，教师补充。
让学生掌握本节课知识点，并能够灵活运用。
板书
§6.2.4 向量的数量积运算
一、情境导入 2.定义 三、课堂小结
二、探索新知 3.投影的定义 四、作业布置
1.向量夹角定义 4.性质
5.运算律
例1、2、3、4、5
教学反思
6.2.4平面向量的数量积教案
课题
6.2.4向量的数量积
单元
第六单元
学科
数学
年级
高一
教材分析
本节内容是平面向量的数量积运算运算，由功的概念导入，学习平面向量的数量积运算以及运算律这些知识点，同时根据将向量的线性运算与向量的数量积运算进行对比分析。
教学目标与核心素养
1.数学抽象：利用功的定义将平面向量的数量积运算具体化；
2.逻辑推理：通过课堂探究逐步培养学生的逻辑思维能力；
3.数学建模：掌握平面向量数量积运算及其运算律；
4.直观想象：利用数的运算及运算律推导平面向量的数量积运算及运算律；
5.数学运算:能够正确计算和判断向量的数量积；
6.数据分析:通过经历提出问题—推导过程—得出结论—例题讲解—练习巩固的过程，让学生认识到数学知识的逻辑性和严密性。
重点
向量的夹角、投影定义，数量积定义、性质以及运算律
难点
数量积定义、性质以及运算律
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
情境导入：
我们一起来看一下物理中功的概念：如果一个物体在力F的作用下产生位移s，那么力F所做的功
思考1：前面我们学习了向量的加、减运算。类比数的运算，那么向量能否相乘？如果能，那么向量的乘法该怎样定义？
由功的概念可知，功是一个标量，它由力和位移两个向量来确定。由此，我们引入“数量积”的概念。
学生思考问题，引出本节新课内容。
设置问题情境，激发学生学习兴趣，并引出本节新课。
讲授新课
知识探究（一）：向量的夹角
已知
特殊情况1
特殊情况2
特殊情况3
注意：
计算向量的夹角时，要将两个向量起点放在一起.
小试牛刀
知识探究（二）：数量积的定义
思考：根据功的定义，你能推导出数量积的定义吗？它和向量的加、减以及数乘运算有什么区别？
数量积定义：
规定：零向量与任一向量的数量积为0.
对比向量的线性运算，我们发现，向量线性运算的结果是一个向量，而两个向量的数量积是一个数量，这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角有关。
例题讲解
例1：
例2：
知识探究（三）：投影(或射影)的定义
思考：
由此可得数量积的几何意义：
小试牛刀
如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝2，∠ABC＝30°，D为BC的中点．
(1)求在上的投影向量；
(2)求在上的投影向量．
总结:求一个向量在另一个向量上的投影向量时，关键是作出恰当的垂线，根据题意确定向量的模及两向量的夹角．
知识探究（四）：数量积的性质
思考：
思考：
思考：
知识探究（五）：数量积的运算律
思考：数的乘法有相应的运算律，你能根据向量的线性运算的运算律得到数量积运算的运算律吗？你能证明吗？
以此类推，可得数量积运算的运算律如下：
数乘运算的运算律
思考：
不一定。
左右两边不一定相等，所以不一定成立。
例题讲解
例3：
例4：
向量数量积的求法
(1)求两个向量的数量积，首先确定两个向量的模及两个向量的夹角，其中准确求出两个向量的夹角是求数量积的关键．
(2)根据数量积的运算律，向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算．
知识拓展：向量的模的计算
方法总结：
例题讲解
例5：
求向量的模的常见思路及方法
(1)求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系，并灵活应用a2＝|a|2，勿忘记开方．
(2)a·a＝a2＝|a|2或|a|＝，可以实现实数运算与向量运算的相互转化．
提升训练
1、判断下列各题是否正确
2、如图,边长为1的等边三角形ABC中,求：
学生根据功的定义探究平面向量的夹角以及数量积运算。
学生根据环环相扣的思考题，探究平面向量的数量积的性质。
学生利用向量的投影推导并证明向量数量积的运算律。
学生例题，巩固向量的数量积运算以及运算律，并能够灵活运用.
学生和教师共同探究完成3个练习题。
利用功的定义探究得出平面向量的夹角以及数量积运算,培养学生探索的精神.
通过思考，培养学生探索新知的精神和能力.
巩固向量的投影，同时，培养学生严谨的数学态度和严密的逻辑思维。
利用例题，化抽象为具体，提高学生的抽象能力和逻辑思维能力。
通过这3个题，巩固基础知识，发散学生思维，培养学生思维的严谨性和对数学的探索精神。
课堂小结
1. 向量的夹角
2. 数量积运算的定义
3. 投影的定义
4. 数量积运算性质
5. 数量积运算运算律
学生回顾本节课知识点，教师补充。
让学生掌握本节课知识点，并能够灵活运用。
板书
§6.2.4 向量的数量积运算
一、情境导入 2.定义 三、课堂小结
二、探索新知 3.投影的定义 四、作业布置
1.向量夹角定义 4.性质
5.运算律
例1、2、3、4、5
教学反思
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