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数学选择性必修 第三册第七章 随机变量及其分布7.2 离散型随机变量及其分布列优秀学案
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这是一份数学选择性必修 第三册第七章 随机变量及其分布7.2 离散型随机变量及其分布列优秀学案，共7页。学案主要包含了学习目标，自主学习，小试牛刀，经典例题，跟踪训练，当堂达标，参考答案等内容，欢迎下载使用。
7.2 离散型随机变量及其分布列
【学习目标】
课程标准
素养要求
在具体问题分析中，理解取有限个值的离散型随机变量的概念和分布列的概念.
1.了解随机变量的意义，理解随机变量的概念.(数学抽象)
2.会求简单的离散型随机变量的概率分布.(数学运算)
3.掌握离散型随机变量的分布列性质.(数学抽象)
4.理解两点分布，并能进行简单应用.(数学运算)
【自主学习】
一．随机变量与离散型随机变量
一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有________的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量．可能取值为________或可以________的随机变量，我们称为离散型随机变量．用大写英文字母X，Y，Z等表示随机变量，用小写英文字母x，y，z等表示随机变量的取值．
二. 离散型随机变量的分布列
1.分布列的定义：一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n
为X的概率分布列，简称分布列，以表格的形式表示如下：
X
x1
x2
…
xn
P
p1
p2
…
pn
2.离散型分布列的性质：
①pi≥______，i＝1，2，…，n；
②p1＋p2＋…＋pn＝_______．
三．两点分布
随机变量X的分布列是：
X
0
1
P
1－p
p
我们称X服从________分布或________分布．
两点分布的试验结果只有两个可能，且其概率之和为1.
【小试牛刀】
1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)
(1)离散型随机变量的取值是任意的实数．( )
(2)随机变量的取值可以是有限个，也可以是无限个．( )
(3)离散型随机变量是指某一区间内的任意值．( )
(4)在离散型随机变量的分布列中，所有概率之和为1.( )
2.如果X是一个离散型随机变量且Y＝aX＋b，其中a，b是常数且a≠0，那么Y( )
A．不一定是随机变量
B．一定是随机变量，不一定是离散型随机变量
C．可能是定值
D．一定是离散型随机变量
【经典例题】
题型一 随机变量的判定
点拨：离散型随机变量判定的关键及方法
(1)关键：判断随机变量X的所有取值是否可以一一列出．
(2)具体方法：①明确随机试验的所有可能结果．②将随机试验的试验结果数量化．
③确定试验结果所对应的实数是否可按一定次序一一列出，如果能一一列出，则该随机变量是离散型随机变量，否则不是．
例1 有以下随机试验：①某路口一天内经过的机动车的辆数为X；②一天内的温度为X；③某单位的某部电话在单位时间内被呼叫的次数为X；④某篮球运动员在一次训练中，投中球的个数为X.上述问题中的X是离散型随机变量的是( )
A．①②③④ B．②③④
C．①③④ D．①②④
【跟踪训练】1 指出下列随机变量是否是离散型随机变量，并说明理由．
(1)某超市5月份每天的销售额；
(2)某加工厂加工的一批某种钢管的外径与规定的外径尺寸之差ξ；
(3)江西九江市长江水位监测站所测水位在(0，29]这一范围内变化，该水位站所测水位ξ.
题型二 用随机变量表示随机试验的结果
点拨：用随机变量表示随机试验的结果问题的关键点和注意点
1.关键点：解决此类问题的关键是明确随机变量的所有可能取值，以及取每一个值对应的意义，即一个随机变量的取值对应一个或多个随机试验的结果．
2.注意点：解答过程中不要漏掉某些试验结果．
例2 写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果．
(1)一个袋中装有8个红球，3个白球，从中任取5个球，其中所含黑球的个数为X.
(2)一个袋中有5个同样大小的黑球，编号为1，2，3，4，5，从中任取3个球，取出的球的最大号码记为X.
【跟踪训练】2 写出下列各随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果：
(1)在2019年北京大学的自主招生中，参加面试的5名考生中，通过面试的考生人数X；
(2)一个袋中装有5个同样的球，编号分别为1,2,3,4,5.现从该袋内随机取出3个球，被取出的球的最大号码数X．
题型三 求离散型随机变量的分布列
点拨：求离散型随机变量的分布列的步骤
(1)找出随机变量X的所有可能取值xi(i＝1，2，3，…，n)以及X取每个值的意义；
(2)求出X取各值的概率P(X＝xi)＝pi；
(3)列成表格得到分布列．
例3 一个箱子里装有5个大小相同的球，有3个白球，2个红球，从中摸出2个球．
(1)求摸出的2个球中有1个白球和1个红球的概率．
(2)用X表示摸出的2个球中的白球个数，求X的分布列．
【跟踪训练】3 一个盒子中装有5个黄色玻璃球和4个红色玻璃球，从中摸出两球，记
X＝求X的分布列．
题型四 根据分布列求概率
例4 设随机变量X的分布列为P(X＝i)＝ai(i＝1，2，3，4)，求：
(1)P({X＝1}∪{x＝3})；
(2)P.
【跟踪训练】4 若随机变量X的分布列为
X
－2
－1
0
1
2
3
P
0.1
0.2
0.2
0.3
0.1
0.1
则当P(X
【当堂达标】
1.甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局．用ξ表示甲的得分，则{ξ＝3}表示( )
A.甲赢三局
B.甲赢一局
C.甲、乙平局三次
D.甲赢一局或甲、乙平局三次
2.(多选)下列问题中的随机变量服从两点分布的是( )
A．抛掷一枚骰子，所得点数为随机变量X
B．某射手射击一次，击中目标的次数为随机变量X
C．从装有5个红球，3个白球的袋中取1个球，令随机变量X＝
D．某医生做一次手术，手术成功的次数为随机变量X
3.下列随机变量中不是离散型随机变量的是________(填序号).
①某宾馆每天入住的旅客数量X；
②某水文站观测到一天中珠江的水位X；
③西部影视城一日接待游客的数量X；
4.已知X服从两点分布，且P＝0.3，则P＝______．
5.某一射手射击所得的环数X的分布列如下：
X
4
5
6
7
8
9
10
P
0.02
0.04
0.06
0.09
0.28
0.29
0.22
则此射手“射击一次命中环数≥7”的概率为________．
6.甲、乙是两名射击运动员，根据历史统计数据，甲一次射击命中10，9，8环的概率分别为，，，乙一次射击命中10，9环的概率分别为，，一轮射击中，甲、乙各射击一次．甲、乙射击相互独立，每次射击也互不影响．
(1)在一轮射击中，求甲命中的环数不高于乙命中的环数的概率；
(2)记一轮射击中，甲乙命中的环数之和为X，求X的分布列；
(3)进行三轮射击，求甲、乙命中的环数之和不低于52环的概率．
【参考答案】
【自主学习】
一．唯一 有限个 一一列举
二．0 1
三． 两点 0-1
【小试牛刀】
1.(1)× (2)√ (3)× (4)√
2. D
【经典例题】
例1 C 解析: 随机试验的结果可以一一列出的，就是离散型随机变量．一天内的温度的取值不能一一列出，是连续型随机变量．故选C．
【跟踪训练】1 解：(1)是离散型随机变量．某超市5月份每天的销售额可以一一列出，故为离散型随机变量．
(2)不是离散型随机变量．实际测量值与规定值之间的差值无法一一列出，不是离散型随机变量．
(3)不是离散型随机变量，水位在(0，29]这一范围内变化，不能一一列出，故不是离散型随机变量．
例2 解：(1)X＝0表示取5个球全是红球；
X＝1表示取1个白球，4个红球；
X＝2表示取2个白球，3个红球；
X＝3表示取3个白球，2个红球．
(2)X＝3表示取出的球编号为1，2，3.
X＝4表示取出的球编号为1，2，4；1，3，4或2，3，4.
X＝5表示取出的球编号为1，2，5；1，3，5；1，4，5；2，3，5；2，4，5或3，4，5.
【跟踪训练】2 解：(1)X可能取0,1,2,3,4,5.X＝i表示“面试通过的有i人”，其中i＝0,1,2,3,4,5．
(2)X可取3,4,5.X＝3表示“取出的3个球的编号为1,2,3”；X＝4表示“取出的3个球的编号为1,2,4或1,3,4或2,3,4”；X＝5表示“取出的3个球的编号为1,2,5或1,3,5或1,4,5或2,3,5或2,4,5或3,4,5”．
例3 解：一个箱子里装有5个大小相同的球，有3个白球，2个红球，从中摸出2个球，有C＝10(种)情况．
(1)设摸出的2个球中有1个白球和1个红球的事件为A，P(A)＝＝.即摸出的2个球中有1个白球和1个红球的概率为.
(2)X的所有可能取值为0，1，2.P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝.故X的分布列为：
X
0
1
2
P
【跟踪训练】3 解：因为X服从两点分布，所以P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝1－＝.所以X的分布列为
X
1
0
P
例4 解：题目中所给的X的分布列为
X
1
2
3
4
P
a
2a
3a
4a
由离散型随机变量的分布列的性质得a＋2a＋3a＋4a＝1，解得a＝.
(1)P({X＝1}∪{X＝3})＝P(X＝1)＋P(X＝3)＝＋＝.
(2)P＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝＋＝.
【跟踪训练】4 C 解析：由随机变量X的分布列，可得P(X<－1)＝0.1，P(X<0)＝0.3，P(X≤0)＝0.5，P(X<1)＝0.5，则当P(X
1. D 解析：由于赢了得3分，平局得1分，输了得0分，故ξ＝3分成两种情况，即3＋0＋0或者1＋1＋1，也即甲赢一局或甲、乙平局三次．
2. BCD 解析：两点分布又叫0－1分布，所有的试验结果有两个，B，C，D满足定义，
而A，抛掷一枚骰子，所得点数为随机变量X，则X的所有可能的结果有6种，不是两点分布．
3.② 解析：①③中的随机变量X的所有取值，我们都可以按照一定的次序一一列出，因此它们是离散型随机变量；②中随机变量X可以取某一区间内的一切值，但无法按一定次序一一列出，故不是离散型随机变量．
4. 0.7 解析：因为X服从两点分布，所以P＝1－P＝0.7.
5. 0.88 解析：根据射手射击所得的环数X的分布列，有P(X＝7)＝0.09，P(X＝8)＝0.28，P(X＝9)＝0.29，P(X＝10)＝0.22.所求的概率为P(X≥7)＝0.09＋0.28＋0.29＋0.22＝0.88.
6. 解：(1)当甲命中环数高于乙命中环数时，只有一种情况：甲击中10环，且乙击中9环，这时概率为＝×＝；所以甲命中的环数不高于乙命中的环数的概率p＝1－＝；
(2)甲、乙命中的环数之和X的可能值为17，18，19，20，
P(X＝17)＝×＝，P(X＝18)＝×＋×＝，P(X＝19)＝×＋×＝，P(X＝20)＝×＝，所以随机变量X的分布列为
X
17
18
19
20
P
(3)甲、乙命中的环数之和低于52环时，甲、乙每轮命中环数之和都是17，其概率为P1＝＝，所以甲、乙命中的环数之和不低于52环的概率为P＝1－P1＝1－＝.
7.2 离散型随机变量及其分布列
【学习目标】
课程标准
素养要求
在具体问题分析中，理解取有限个值的离散型随机变量的概念和分布列的概念.
1.了解随机变量的意义，理解随机变量的概念.(数学抽象)
2.会求简单的离散型随机变量的概率分布.(数学运算)
3.掌握离散型随机变量的分布列性质.(数学抽象)
4.理解两点分布，并能进行简单应用.(数学运算)
【自主学习】
一．随机变量与离散型随机变量
一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有________的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量．可能取值为________或可以________的随机变量，我们称为离散型随机变量．用大写英文字母X，Y，Z等表示随机变量，用小写英文字母x，y，z等表示随机变量的取值．
二. 离散型随机变量的分布列
1.分布列的定义：一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n
为X的概率分布列，简称分布列，以表格的形式表示如下：
X
x1
x2
…
xn
P
p1
p2
…
pn
2.离散型分布列的性质：
①pi≥______，i＝1，2，…，n；
②p1＋p2＋…＋pn＝_______．
三．两点分布
随机变量X的分布列是：
X
0
1
P
1－p
p
我们称X服从________分布或________分布．
两点分布的试验结果只有两个可能，且其概率之和为1.
【小试牛刀】
1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)
(1)离散型随机变量的取值是任意的实数．( )
(2)随机变量的取值可以是有限个，也可以是无限个．( )
(3)离散型随机变量是指某一区间内的任意值．( )
(4)在离散型随机变量的分布列中，所有概率之和为1.( )
2.如果X是一个离散型随机变量且Y＝aX＋b，其中a，b是常数且a≠0，那么Y( )
A．不一定是随机变量
B．一定是随机变量，不一定是离散型随机变量
C．可能是定值
D．一定是离散型随机变量
【经典例题】
题型一 随机变量的判定
点拨：离散型随机变量判定的关键及方法
(1)关键：判断随机变量X的所有取值是否可以一一列出．
(2)具体方法：①明确随机试验的所有可能结果．②将随机试验的试验结果数量化．
③确定试验结果所对应的实数是否可按一定次序一一列出，如果能一一列出，则该随机变量是离散型随机变量，否则不是．
例1 有以下随机试验：①某路口一天内经过的机动车的辆数为X；②一天内的温度为X；③某单位的某部电话在单位时间内被呼叫的次数为X；④某篮球运动员在一次训练中，投中球的个数为X.上述问题中的X是离散型随机变量的是( )
A．①②③④ B．②③④
C．①③④ D．①②④
【跟踪训练】1 指出下列随机变量是否是离散型随机变量，并说明理由．
(1)某超市5月份每天的销售额；
(2)某加工厂加工的一批某种钢管的外径与规定的外径尺寸之差ξ；
(3)江西九江市长江水位监测站所测水位在(0，29]这一范围内变化，该水位站所测水位ξ.
题型二 用随机变量表示随机试验的结果
点拨：用随机变量表示随机试验的结果问题的关键点和注意点
1.关键点：解决此类问题的关键是明确随机变量的所有可能取值，以及取每一个值对应的意义，即一个随机变量的取值对应一个或多个随机试验的结果．
2.注意点：解答过程中不要漏掉某些试验结果．
例2 写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果．
(1)一个袋中装有8个红球，3个白球，从中任取5个球，其中所含黑球的个数为X.
(2)一个袋中有5个同样大小的黑球，编号为1，2，3，4，5，从中任取3个球，取出的球的最大号码记为X.
【跟踪训练】2 写出下列各随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果：
(1)在2019年北京大学的自主招生中，参加面试的5名考生中，通过面试的考生人数X；
(2)一个袋中装有5个同样的球，编号分别为1,2,3,4,5.现从该袋内随机取出3个球，被取出的球的最大号码数X．
题型三 求离散型随机变量的分布列
点拨：求离散型随机变量的分布列的步骤
(1)找出随机变量X的所有可能取值xi(i＝1，2，3，…，n)以及X取每个值的意义；
(2)求出X取各值的概率P(X＝xi)＝pi；
(3)列成表格得到分布列．
例3 一个箱子里装有5个大小相同的球，有3个白球，2个红球，从中摸出2个球．
(1)求摸出的2个球中有1个白球和1个红球的概率．
(2)用X表示摸出的2个球中的白球个数，求X的分布列．
【跟踪训练】3 一个盒子中装有5个黄色玻璃球和4个红色玻璃球，从中摸出两球，记
X＝求X的分布列．
题型四 根据分布列求概率
例4 设随机变量X的分布列为P(X＝i)＝ai(i＝1，2，3，4)，求：
(1)P({X＝1}∪{x＝3})；
(2)P.
【跟踪训练】4 若随机变量X的分布列为
X
－2
－1
0
1
2
3
P
0.1
0.2
0.2
0.3
0.1
0.1
则当P(X
【当堂达标】
1.甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局．用ξ表示甲的得分，则{ξ＝3}表示( )
A.甲赢三局
B.甲赢一局
C.甲、乙平局三次
D.甲赢一局或甲、乙平局三次
2.(多选)下列问题中的随机变量服从两点分布的是( )
A．抛掷一枚骰子，所得点数为随机变量X
B．某射手射击一次，击中目标的次数为随机变量X
C．从装有5个红球，3个白球的袋中取1个球，令随机变量X＝
D．某医生做一次手术，手术成功的次数为随机变量X
3.下列随机变量中不是离散型随机变量的是________(填序号).
①某宾馆每天入住的旅客数量X；
②某水文站观测到一天中珠江的水位X；
③西部影视城一日接待游客的数量X；
4.已知X服从两点分布，且P＝0.3，则P＝______．
5.某一射手射击所得的环数X的分布列如下：
X
4
5
6
7
8
9
10
P
0.02
0.04
0.06
0.09
0.28
0.29
0.22
则此射手“射击一次命中环数≥7”的概率为________．
6.甲、乙是两名射击运动员，根据历史统计数据，甲一次射击命中10，9，8环的概率分别为，，，乙一次射击命中10，9环的概率分别为，，一轮射击中，甲、乙各射击一次．甲、乙射击相互独立，每次射击也互不影响．
(1)在一轮射击中，求甲命中的环数不高于乙命中的环数的概率；
(2)记一轮射击中，甲乙命中的环数之和为X，求X的分布列；
(3)进行三轮射击，求甲、乙命中的环数之和不低于52环的概率．
【参考答案】
【自主学习】
一．唯一 有限个 一一列举
二．0 1
三． 两点 0-1
【小试牛刀】
1.(1)× (2)√ (3)× (4)√
2. D
【经典例题】
例1 C 解析: 随机试验的结果可以一一列出的，就是离散型随机变量．一天内的温度的取值不能一一列出，是连续型随机变量．故选C．
【跟踪训练】1 解：(1)是离散型随机变量．某超市5月份每天的销售额可以一一列出，故为离散型随机变量．
(2)不是离散型随机变量．实际测量值与规定值之间的差值无法一一列出，不是离散型随机变量．
(3)不是离散型随机变量，水位在(0，29]这一范围内变化，不能一一列出，故不是离散型随机变量．
例2 解：(1)X＝0表示取5个球全是红球；
X＝1表示取1个白球，4个红球；
X＝2表示取2个白球，3个红球；
X＝3表示取3个白球，2个红球．
(2)X＝3表示取出的球编号为1，2，3.
X＝4表示取出的球编号为1，2，4；1，3，4或2，3，4.
X＝5表示取出的球编号为1，2，5；1，3，5；1，4，5；2，3，5；2，4，5或3，4，5.
【跟踪训练】2 解：(1)X可能取0,1,2,3,4,5.X＝i表示“面试通过的有i人”，其中i＝0,1,2,3,4,5．
(2)X可取3,4,5.X＝3表示“取出的3个球的编号为1,2,3”；X＝4表示“取出的3个球的编号为1,2,4或1,3,4或2,3,4”；X＝5表示“取出的3个球的编号为1,2,5或1,3,5或1,4,5或2,3,5或2,4,5或3,4,5”．
例3 解：一个箱子里装有5个大小相同的球，有3个白球，2个红球，从中摸出2个球，有C＝10(种)情况．
(1)设摸出的2个球中有1个白球和1个红球的事件为A，P(A)＝＝.即摸出的2个球中有1个白球和1个红球的概率为.
(2)X的所有可能取值为0，1，2.P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝.故X的分布列为：
X
0
1
2
P
【跟踪训练】3 解：因为X服从两点分布，所以P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝1－＝.所以X的分布列为
X
1
0
P
例4 解：题目中所给的X的分布列为
X
1
2
3
4
P
a
2a
3a
4a
由离散型随机变量的分布列的性质得a＋2a＋3a＋4a＝1，解得a＝.
(1)P({X＝1}∪{X＝3})＝P(X＝1)＋P(X＝3)＝＋＝.
(2)P＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝＋＝.
【跟踪训练】4 C 解析：由随机变量X的分布列，可得P(X<－1)＝0.1，P(X<0)＝0.3，P(X≤0)＝0.5，P(X<1)＝0.5，则当P(X
1. D 解析：由于赢了得3分，平局得1分，输了得0分，故ξ＝3分成两种情况，即3＋0＋0或者1＋1＋1，也即甲赢一局或甲、乙平局三次．
2. BCD 解析：两点分布又叫0－1分布，所有的试验结果有两个，B，C，D满足定义，
而A，抛掷一枚骰子，所得点数为随机变量X，则X的所有可能的结果有6种，不是两点分布．
3.② 解析：①③中的随机变量X的所有取值，我们都可以按照一定的次序一一列出，因此它们是离散型随机变量；②中随机变量X可以取某一区间内的一切值，但无法按一定次序一一列出，故不是离散型随机变量．
4. 0.7 解析：因为X服从两点分布，所以P＝1－P＝0.7.
5. 0.88 解析：根据射手射击所得的环数X的分布列，有P(X＝7)＝0.09，P(X＝8)＝0.28，P(X＝9)＝0.29，P(X＝10)＝0.22.所求的概率为P(X≥7)＝0.09＋0.28＋0.29＋0.22＝0.88.
6. 解：(1)当甲命中环数高于乙命中环数时，只有一种情况：甲击中10环，且乙击中9环，这时概率为＝×＝；所以甲命中的环数不高于乙命中的环数的概率p＝1－＝；
(2)甲、乙命中的环数之和X的可能值为17，18，19，20，
P(X＝17)＝×＝，P(X＝18)＝×＋×＝，P(X＝19)＝×＋×＝，P(X＝20)＝×＝，所以随机变量X的分布列为
X
17
18
19
20
P
(3)甲、乙命中的环数之和低于52环时，甲、乙每轮命中环数之和都是17，其概率为P1＝＝，所以甲、乙命中的环数之和不低于52环的概率为P＝1－P1＝1－＝.
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数学选择性必修 第三册7.1 条件概率与全概率公式优秀导学案： 这是一份数学选择性必修 第三册7.1 条件概率与全概率公式优秀导学案，共5页。学案主要包含了学习目标，自主学习，经典例题，跟踪训练，当堂达标，参考答案等内容，欢迎下载使用。
