辽宁省沈阳市辽中区第二高级中学2022-2023学年高一下学期期末考试数学试题

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2022～2023学年度下学期高一年级期末考试试题
数学
考试时间：120分钟 试卷总分：150分
第Ⅰ卷（选择题）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求．
1．复数（i为虚数单位），则复数z的虚部为（）．
A． B． C． D．
2．已知m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则以下命题正确的是（）．
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
3．正方体的棱长为2，P为中点，过A，P，三点的平面截正方体为两部分，则截面图形的面积为（）．
A． B． C． D．
4．若圆周率的近似值可以表示成，则的近似值为（）．
A．8 B． C． D．
5．如图，一艘船向正北方向航行，航行速度为每小时海里，在A处看灯塔S在船的北偏东的方向上，1小时后，船航行到B处，在B处看灯塔S在船的北偏东的方向上，则船航行到B处时与灯塔S之间的距离为（）．

A．海里 B．海里 C．海里 D．海里
6．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量与平行．若，，则边上的中线为（）．
A．1 B．2 C． D．
7．已知点O为的外心，且，则为（）．
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定
8．故宫太和殿是中国形制最高的宫殿，其建筑采用了重檐庑殿顶的屋顶样式，庑殿顶是“四出水”的五脊四坡式，由一条正脊和四条垂脊组成，因此又称五脊殿．由于屋顶有四面斜坡，故又称四阿顶．如图，某几何体有五个面，其形状与四阿顶相类似．已知底面为矩形，，，底面，且．则几何体外接球的表面积为（）．

A． B． C． D．
二、多选题：本题共4小题，每题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，有错选得0分．
9．已知向量，，则下列说法正确的是（）．
A．与向量方向相同的单位向量是
B．
C．向量在向量方向上的投影的数量是
D．
10．已知中，其内角A，B，C的对边分别为a，b，c．下列命题正确的有（）．
A．若，，，则
B．若为锐角三角形，则
C．若，则为锐角三角形
D．若，则是等边三角形
11．如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点E、F，且，则下列结论中正确的是（）．

A． B．平面
C．三棱锥的体积为定值 D．直线与平面的成角为
12．已知函数，则下列说法中正确的有（）．
A．的图象关于直线对称
B．的图象可由函数的图象上每一个点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）得到
C．若在区间上单调，则实数的取值范围为
D．若存在，，使得，则的最大值为
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知，，，则B的
大小为__________．
14．我国南北朝时期的数学家祖暅提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异”即夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．如图，将底面半径都为b，高帮为的半椭球（左侧图）和已被挖去了圆锥的圆柱右侧图）（被挖去的圆锥以圆柱的上底面为底面，下底面的圆心为顶点）放置于同一平面上，用平行于平面且与平面任意距离d处的平面截这两个几何体，截面分别为圆面和圆环，可以证明总成立．据此，图中圆柱体（右侧图）的底面半径b为2，高a为3，则该半椭球体（左侧图）的体积为__________．

15．已知函数图象的一部分如图所示，则__________．

16．如图，已知在矩形和矩形中，，，且二面角为，则异面直线与所成角的余弦值为__________．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（10分）
①，②z为虚数，③z为纯虚数，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中．
已知复数：．
（1）若__________，求实数m的值；
（2）若复数的模为，求m的值．
18．（12分）
在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
（1）求角A的大小；
（2）若角A的角平分线与交于点D，，，求的面积．
19．（12分）
如图，中，，是正方形，平面平面．若G、F分别是、的中点．

（1）求证：平面；
（2）求证：平面．
20．（12分）
在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且．
（1）求角B的大小；
（2）若是锐角三角形，求的取值范围．
21．（12分）
如图，在三棱柱中，所有棱长均为2，且，，D是棱的中点．

（1）证明：平面平面；
（2）求点B到平面的距离．
22．（12分）
已知函数，满足．
（1）求a的值，并求出的最小正周期（无需证明）；
（2）求在区间上的零点个数；
（3）是否存在正整数n，使得在区间上恰有2022个零点，若存在，求出n的值，若不存在，请说明理由．


高一下学期期末数学试题答案
一、单选题
1．C2．D3．C4．A5．B6．D7．C8．A
二、多选题
9．ABD10．BD11．ABC12．ACD
三、填空题
13． 14．15．216．
四、解答题
17．【详解】（1）选择①，则，（3分）
解得．（5分）
选择②z为虚数，则，（3分）
解得．（5分）
选择③z为纯虚数，则，，（3分）
解得．（5分）
（2）由可知
复数．（7分）
依题意，（9分）
解得，
因此．（10分）
18．【详解】（1）因为，
所以根据正弦定理可得，即，（2分）
由余弦定理可得，（4分）
因为，所以．（6分）
（2）由，
得，解得，（10分）
所以的面积为．（12分）
19．【详解】（1）证明：如图，取的中点H，连接，．

∵G，F分别是和的中点，∴，．
又∵四边形为正方形，∴，从而．
∵平面，平面，
∴平面，（3分）
同理平面，
又，∴平面平面，
∵平面，则平面．（6分）
方法不唯一，酌情给分．
（2）∵为正方形，∴．
又平面平面，且平面平面，面，
∴平面，平面，则，（8分）
∵，，
∴，则，得．（10分）
又，，平面，
∴平面．（12分）
20．（1），
即，
由正弦定理可得：，（3分）
则，
因为，则，可得，所以．（5分）
（2），
∵，∴，
代入上式化简得：
，（9分）
又在锐角中，有，∴，（10分）
∴，则有，（11分）
∴．（12分）
21．【详解】（1）证明：如图，取棱的中点O，连接，，．

由题意可知为菱形，且，则为正三角形．
因为O是棱的中点，所以．（2分）
由题意可知是边长为2的等边三角形，则，，
因为是边长为2的等边三角形，所以，
因为，所以，所以．（4分）
因为，平面，且，
所以平面．（6分）
因为平面，所以平面平面．
（2）作，垂足为H，连接，则平面．

因为D是棱的中点，所以，，
则，，
因为平面，且平面，
所以，则．（9分）
设点B到平面的距离是d，
因为，所以，
解得，即点B到平面的距离是．（12分）
22．函数，
∵，
∴，解得：，（2分）
函数的最小正周期．（3分）
（2）当时，．
设，，
则，（4分）
于是，
令，得或，（6分）
于是，，或或，其中，
即在区间上的零点个数为4个．（8分）
（3）当时，．
设，，
则，
于是，
令，解得或，
故在没有实根．（10分）
结合（2）可得，在上有4个零点，
而，
所以函数在有2022个零点．（12分）