2022-2023学年江苏省南京市六校联合体高一（下）调研数学试卷（7月份）（含解析）

这是一份2022-2023学年江苏省南京市六校联合体高一（下）调研数学试卷（7月份）（含解析），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年江苏省南京市六校联合体高一（下）调研数学试卷（7月份）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知AB=(2,3)，AC=(−1,−1)，则2AB−AC=(    )
A. (−5,−7) B. (−5,7) C. (5,7) D. (5,−7)
2. 若i(z−1)=1，i是虚数单位，z−是z的共轭复数，则z−+z=(    )
A. 2 B. 1 C. −1 D. −2
3. 下列说法中正确的是(    )
A. 若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点
B. 若直线l上有无数个点不在平面α内，则直线l与平面α平行
C. 若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都平行
D. 若两条平行直线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条直线也与这个平面平行
4. 已知角α，β满足tanα=−2，tan(α+β)=1，则tanβ=(    )
A. −13 B. 1 C. −3 D. 3
5. m，n，l为不重合的直线，α，β，γ为不重合的平面，则下列说法正确的是(    )
A. m⊥l，n⊥l，则m//n B. α⊥γ，β⊥γ，则α⊥β
C. m//α，n//α，则m//n D. α//γ，β//γ，则α//β
6. 已知sinθ+sin(θ+π3)= 3，则sin(θ+π6)=(    )
A. 12 B. 1 C. 22 D. 32
7. 如图，小明欲测校内某旗杆高MN，选择地面A处和他所在教学楼四楼C处为测量观测点(其中A处、他所在的教学楼、旗杆位于同一水平地面).从A点测得M点的仰角∠MAN=60°，C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°，从C点测得∠MCA=60°.已知C处距地面10m，则旗杆高MN=(    )


A. 12m B. 15m C. 16m D. 18m
8. 在△ABC中，点P是AB上一点，点Q满足CQ=2QB，AQ与CP的交点为M.有下列四个命题：
甲：CP=12CA+12CB
乙：CM=4MP
丙：S△AMP：S△ACP=1：5
丁：3AM=2MQ
如果只有一个是假命题，则该命题为(    )
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 已知复数z，z1，z2，z−是z的共轭复数，则下列说法正确的是(    )
A. z⋅z−=|z|2
B. 若|z|=1，则z=±1
C. |z1⋅z2|=|z1|⋅|z2|
D. 若|z−1|=1，则|z+1|的最小值为1
10. 若向量a=(1,2)，b=(λ,1)，则下列说法正确的是(    )
A. 若a⊥b，则λ=−2
B. 若a//b，则λ=12
C. 当λ∈(−2,+∞)时，a，b的夹角为锐角
D. 当λ=1时，a在b上的投影向量为32b
11. 已知△ABC中，AB=2，BC=3，AC= 7，D在AC上，BD为∠ABC的角平分线，E为BC中点，下列结论正确的是(    )
A. △ABC的面积为3 3 B. AE= 132
C. BD=6 35 D. ADCD=32
12. 已知正四棱锥P−ABCD的所有棱长均为2 2，E，F分别是PC，AB的中点，M为棱PB上异于P，B的一动点，则以下结论正确的是(    )
A. 直线EF//平面APD
B. 异面直线EF、PD所成角的大小为π3
C. 直线EF与平面ABCD所成角的正弦值为 66
D. 存在点M使得PB⊥平面MEF
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 求值：sin21°cos81°−sin69°cos9°= ______ ．
14. 在△ABC中，AB=1，BC= 2，AC= 3，则AB⋅BC+BC⋅CA+CA⋅AB= ______ ．
15. 如图，在棱长为4的正方体ABCD−A1B1C1D1中，A1B1的中点是P，过直线A1C作与平面PBC1平行的截面，则该截面的面积为______ ．


16. 天文学家设计了一种方案可以测定流星的高度.如图，将地球看成一个球O，半径为R，两个观察者在地球上A，B两地同时观察到一颗流星S，仰角分别是α和β(MA,MB表示当地的地平线)，由平面几何相关知识，∠MAB=∠MBA=12∠AOB，MA⊥OA，MB⊥OB，设AB弧长为πR2，α=π12，β=π6，则流星高度为______ .(流星高度为SO减去地球半径，结果用R表示)


四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题10.0分)
已知z是复数，z−i为实数，z−3i−2−i为纯虚数(i为虚数单位)．
(1)求复数z；
(2)复数z1=zm+i2023在复平面对应的点在第二象限，求实数m的取值范围．
18. (本小题12.0分)
已知向量a，b满足|a|=1，|b|=2，且(2a−b)(a+3b)=−5．
(1)若(a−kb)⊥(ka+b)，求实数k的值；
(2)求a与2a+b的夹角．
19. (本小题12.0分)
已知f(x)=4cosx⋅sin(x+π6)−1．
(1)求f(x)的周期；
(2)若f(α)=65，其中α∈(0,π4)，求cos2α．
20. (本小题12.0分)
如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB= 3，BC=1，P为△ABC内一点，∠BPC=90°．
(1)若PC= 32，求PA的长；
(2)若∠APB=120°，求PA的长．

21. (本小题12.0分)
如图，四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为菱形，且有AB=1，PA= 2，∠ABC=60°，E为PC中点．
(1)证明：AC⊥面BED；
(2)求二面角E−AB−C的平面角的正弦值．

22. (本小题12.0分)
如图，已知△ABC是边长为2的正三角形，点P在边BC上，且3BP=BC，点Q为线段AP上一点．
(1)若AQ=λAB+115BC，求实数λ的值；
(2)求QA⋅QC的最小值；
(3)求△QPC周长的取值范围．


答案和解析

1.【答案】C 
【解析】解：根据题意，已知AB=(2,3)，AC=(−1,−1)，
则2AB=(4,6)，故2AB−AC=(5,7)．
故选：C．
根据题意，由向量的坐标计算公式计算可得答案．
本题考查向量的坐标计算，涉及向量的坐标，属于基础题．

2.【答案】A 
【解析】解：i(z−1)=1，
则z−1=1i=−i，
故z=1−i，z−=1+i，
所以z−+z=1+i+1−i=2．
故选：A．
根据已知条件，结合共轭复数的定义，以及复数的四则运算，即可求解．
本题主要考查共轭复数的定义，以及复数的四则运算，属于基础题．

3.【答案】A 
【解析】解：若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点，所以A正确；
若直线l上有无数个点不在平面α内，则直线l与平面α平行或相交，所以B错误；
若直线l与平面α平行，则l与平面α内的直线平行或异面，所以C错误；
若两条平行直线中的一条直线与一个平面平行，
那么另一条直线与这个平面平行或在该平面内，所以D错误；
故选：A．
根据空间中各要素的关系及空间想象，即可判断．
本题考查直线与平面的位置关系的判断，属基础题．

4.【答案】C 
【解析】解：tanα=−2，tan(α+β)=1，
则tanβ=tan[(α+β)−α]=tan(α+β)−tanα1+tan(α+β)tanα=1+21+(−2)×1=−3．
故选：C．
直接利用三角函数关系式的变换的应用求出结果．
本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，角的恒等变换的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．

5.【答案】D 
【解析】
【分析】
本题考查的知识点是利用空间直线与平面之间的位置关系及平面与平面之间的位置关系判断命题的真假，处理此类问题的关键是熟练掌握线、面平行或垂直的判定方法和性质，属于中档题．
对4个命题分别进行判断，即可得出结论．
【解答】
解：由m⊥l，n⊥l，在同一个平面可得m//n，在空间不成立，故A错误；
若α⊥γ，β⊥γ，则α与β可能平行，也可能相交，故B错误；
m//α，n//α，则m、n可能平行、相交或异面，故C错误；
α//γ，β//γ，利用平面与平面平行的性质与判定，可得α//β，故D正确．
故选：D．
  
6.【答案】B 
【解析】解：∵sinθ+sin(θ+π3)= 3，
∴sinθ+12sinθ+ 32cosθ= 3，
即32sinθ+ 32cosθ= 3，
得12cosθ+ 32sinθ=1，
即sin(θ+π6)=1．
故选：B．
利用两角和差的三角公式，进行转化，利用辅助角公式进行化简即可．
本题主要考查三角函数值的化简和求值，利用两角和差的三角公式以及辅助角公式进行转化是解决本题的关键．难度不大．

7.【答案】B 
【解析】解：由题意可知BC=10，又∠CAB=45°，∠CBA=90°，所以AC= 2BC=10 2，
在三角形MAC中，∠MAC=75°，∠MCA=60°，所以∠AMC=45°，
则由正弦定理可得：ACsin∠AMC=AMsin∠MCA，即10 2 22=AM 32，解得AM=10 3，
在直角三角形AMN中，∠MAN=60°,AM=10 3，
则MN=AM⋅sin∠MAN=10 3× 32=15．
故选：B．
由题意可知BC=10，在直角三角形ABC中，求出AC的大小，再在三角形MAC中，利用正弦定理求出AM的大小，最后在三角形AMN中，利用直角三角形的性质即可求解．
本题考查了解三角形问题，涉及到正弦定理的应用，属于基础题．

8.【答案】D 
【解析】解：若甲为真命题，即CP=12CA+12CB，则点P为AB中点．
由CQ=2QB可得CQ=23CB，
因为A，M，Q三点共线，故可设CM=tCA+(1−t)CQ，
即CM=tCA+2(1−t)3CB，
因为C，M，P三点共线，故可设CM=λCP=λ2(CA+CB)，
∴t=λ22−2t3=λ2，解得λ=45，即CM=45CP，∴CM=4MP，乙为真命题；
由S△AMP：S△ACP=MP：CP=1：5可知，命题丙为真命题；
由P，M，C共线，可设AM=mAP+(1−m)AC，
即AM=m2AB+(1−m)AC，
因为A，M，Q三点共线，故可设AM=μAQ=μ(23AB+13AC)，
∴m2=2μ31−m=μ3，解得μ=35，即2AM=3MQ，故命题丁为假命题．
综上，甲乙丙为真命题，丁为假命题．
故选：D．
首先假设甲是真命题，得到P为中点，在此基础上，利用平面向量基本定理和向量线性运算，可判断乙丙均为真命题，丁为假命题，符合题意．
本题主要考查向量的线性运算和平面向量基本定理，属中档题．

9.【答案】ACD 
【解析】解：对于A，设z=a+bi(a,b∈R)，
则z⋅z−=(a+bi)(a−bi)=a2+b2=|z|2，故A正确；
对于B，令z=i，满足|z|=|i|=1，故B错误；
对于C，结合复数模的性质可知，|z1z2|=|z1||z2|，故C正确；
对于D，设z=c+di(c,d∈R)，
|z−1|=1，
则|c−1+di|= (c−1)2+d2=1，即(c−1)2+d2=1，表示以(1,0)为圆心，半径为1的圆，
|z+1|= (c+1)2+d2表示圆上的点到点(−1,0)的距离，
故|z+1|的最小值为 (1+1)2−02−1=1，故D正确．
故选：ACD．
对于A，结合复数的四则运算，共轭复数的定义，复数模公式，即可求解；
对于B，结合特殊值法，即可求解；
对于C，结合复数模的性质，即可求解；
对于D，结合复数的几何意义，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，考查转化能力，属于中档题．

10.【答案】ABD 
【解析】解：对于A，当a⊥b时，λ+2=0，
解得λ=−2，选项A正确；
对于B，当a//b时，1−2λ=0，
解得λ=12，选项B正确；
对于C，由选项B可知，当λ=12时，a//b且a，b同向，
此时a，b的夹角为0，不为锐角，选项C错误；
对于D，当λ=1时，a在b上的投影向量为a⋅b|b|b|b|=32b，选项D正确．
故选：ABD．
由两向量垂直的条件可判断选项A，与两向量平行的条件可判断选项B，根据选项B取特殊值可判断选项C，由投影向量的公式可判断选项D．
本题考查平面向量的综合运用，考查运算求解能力，属于基础题．

11.【答案】BC 
【解析】解：∵△ABC中，AB=2，BC=3，AC= 7，
∴cos∠BAC=4+7−92×2× 7=12 7，
∴cos∠BAC= 1−cos2∠BAC= 1−128=3 32 7，
∴S△ABC=12×AB×AC×sin∠BAC=12×2× 7×3 32 7=3 32，∴A选项错误；
又E为BC中点，∴2AE=AC+AB，
∴4AE2=AC2+AB2+2AC⋅AE=7+4+2×2× 7×12 7=13，
∴AE= 132，∴B选项正确；
∵BD为∠ABC的角平分线，
∴ADCD=ABBC=23，∴D选项错误；
∴AD=25AC=2 75，
∴在△ABD中，由余弦定理可得：
BD2=AB2+AD2−2AB×AD×cos∠BAC
=4+2825−2×2×2 75×12 7=10825，
∴BD=6 35，∴C选项正确．
故选：BC．
根据余弦定理，三角形面积公式，向量中点公式与向量数量积的性质，角平分线的性质，即可分别求解．
本题考查解三角形问题，余弦定理，三角形面积公式，向量中点公式与向量数量积的性质，角平分线的性质，属中档题．

12.【答案】AC 
【解析】解：如图1，取PD的中点Q，连接EQ，AQ，

因为E，F分别是PC，AB的中点，
所以EQ//DC//AF，且EQ=AF，所以四边形AFEQ为平行四边形，
则EF//AQ，又因为EF⊄平面PAD，AQ⊂平面PAD，
所以EF//平面PAD，故A正确；
又正四棱锥P−ABCD的所有棱长均为2 2，
则AQ⊥PD，所以异面直线EF，PD所成角为π2，故B错误；
设正方形ABCD的中心为O，连接OC，PO，
则PO⊥平面ABCD，OC=OP=2，
设OC的中点为H，连接EH，FH，
则EH//OP，且EH⊥平面ABCD，
所以∠EFH为直线EF与平面ABCD所成角，所以EH=12PO=1，△OFH中，OH=1，OF= 2，∠FOC=135°，
所以由余弦定理可得FH= 5，所以EF= EH2+FH2= 6，
所以sin∠EFH=EHEF=1 6= 66，故C正确；
若PB⊥平面MEF，则PB⊥ME，此时点M为PB上靠近点P的四等分点，
而此时，PB与FM显然不垂直，故D错误．
故选：AC．
根据空间中异面直线所成角，直线与平面所成角的定义，空间中折叠问题以及垂直关系的判定与性质，逐个选项运算求解即可．
本题主要考查了直线与平面垂直的判定定理，考查了直线与平面所成的角，属于中档题．

13.【答案】− 32 
【解析】解：sin21°cos81°−sin69°cos9°=sin21°cos(90°−9°)−sin(90°−21°)cos9°
=sin21°sin9°−cos21°cos9°=−(cos21°cos9°−sin21°sin9°)=−cos(21°+9°)=−cos30°=− 32
故答案为：− 32
根据21°+69°=90°，81°+9°=90°，利用诱导公式把原式化简后，再利用两角和的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简即可得到值．
考查学生灵活运用诱导公式及两角和的余弦函数公式化简求值．解此题的关键是角度的变换．

14.【答案】−3 
【解析】解：△ABC中，AB=1，BC= 2，AC= 3，
所以AB2+BC2=AC2，
所以AB⊥BC，
所以AB⋅BC=0，
所以AB⋅BC+BC⋅CA+CA⋅AB
=0+BC⋅(CB+BA)+(CB+BA)⋅AB
=−BC2+BC⋅BA+CB⋅AB−AB2
=−2+0+0−1
=−3．
根据勾股定理的逆定理判断AB⊥BC，再利用平面向量的数量积公式计算即可．
本题考查了平面向量的数量积计算问题，是基础题．

15.【答案】8 6 
【解析】解：分别取棱AB，C1D1的中点M，N，连接A1M，CM，CN，A1N，
∴A1M//PB，A1N//PC1，
又∵A1M∩A1N=A1，PB∩PC1=P，
∴平面PBC1//平面A1MCN，
∴过直线A1C与平面PBC1平行的截面为平行四边形A1MCN，
∵正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为4，
∴A1M=MC=CN=NA1=2 5，
∴平行四边形A1MCN为菱形，
又∵A1C=4 3，MN=4 2，
∴菱形A1MCN的面积为12×A1C×MN=12×4 3×4 2=8 6，
即截面的面积为8 6．
故答案为：8 6．
分别取棱AB，C1D1的中点M，N，连接A1M，CM，CN，A1N，可证平面PBC1//平面A1MCN，截面为平行四边形A1MCN，进而可得答案．
本题主要考查了正方体的截面问题，解题关键是找到截面，属于中档题．

16.【答案】( 4+ 3−1)R 
【解析】解：由题意知，弧长l=∠AOB⋅R=π2R，∴∠AOB=π2，
∵OA=OB，∴△AOB是等腰直角三角形，∴AB= 2R，
∴∠MAB=∠MBA=12∠AOB=π4，
在△SAB中，∠SAB=∠MAB+α=π4+π12=π3，
∠SBA=∠MBA+β=π4+π6=512π，
∴∠ASB=π−∠SAB−∠SBA=π−π3−5π12=π4，
由正弦定理：ABsin∠ASB=SBsin∠SAB，
∴SB=AB⋅sin∠SABsin∠ASB= 2R× 32 22= 3R，
在△SBD中，∠OBS=∠OBM+β=π2+π6=23π，
由余弦定理：SO2=BO2+SB2−2BO⋅SB⋅cos∠OBS=(4+ 3)R2，
∴SO= 4+ 3R，
∴流星高度为SO−R= 4+ 3R−R=( 4+ 3−1)R．
故答案为：( 4+ 3−1)R．
由扇形的弧长公式求出∠AOB，解△AOB得AB= 2R，在△SAB中由正弦定理求出SB，在△SBO中由余弦定理求出SO即可求出．
本题考查解三角形的实际应用问题，属于中档题．

17.【答案】解：(1)设z=a+bi，a，b∈R，
∵z−i=a+(b−1)i为实数，∴b−1=0，∴b=1，
∴z−3i−2−i=a+i−3i−2−i=a−2i−2−i=(a−2i)(−2+i)(−2−i)(−2+i)
=−2a+ai+4i−2i24−i2=(2−2a)+(a+4)i5=2−2a5+a+45i，
∵z−3i−2−i为纯虚数，
∴2−2a5=0a+45≠0，∴a=1，∴z=1+i；
(2)由(1)知，z=1+i，∵i2023=i4×505+3=i3=−i，
∴z1=zm+i2023=1+im−i=(1+i)(m+i)(m−i)(m+i)=m+mi+i+i2m2−i2=(m−1)+(m+1)im2+1，
∵复数z1=zm+i2023在复平面对应的点在第二象限，
∴m−1m2+10，∴−12PC=83，
当Q到A点时，CQ+QP