人教版八年级上册13.3.1 等腰三角形精品教学作业ppt课件

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13.3.2 等腰三角形的判定
人教版数学八年级上册
1.掌握等腰三角形的判定方法.（重点）2.掌握等腰三角形的判定定理，并运用其进行证明和计算.（难点）
性质1:等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”)性质2:等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合(简写成“三线合一”)
在△ABC中，AB=AC，倘若不留神，它的一部分被墨水涂没了，只留下一条底边BC和一个底角∠C，请问，有没有办法把原来的等腰三角形画出来？
已知：如图，在△ABC中, ∠B=∠C,那么它们所对的边AB和AC有什么数量关系?
证明：作△ABC的角平分线AD.在△BAD与△CAD中， ∴△BAD≌△CAD (AAS) ∴AB=AC
猜想：AB=AC
等腰三角形判定定理： 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等 (简写成“等角对等边”).
例1.求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形.
已知：如图，∠CAE是△ABC的外角，∠1=∠2，AD∥BC.  求证：AB=AC.
分析：要证明AB=AC，可先证明∠B=∠C. 因为∠1=∠2，所以可以设法找出∠B，∠C与∠1，∠2的关系.  
证明：∵AD∥AC∴∠1=∠B (_______________________) ∠2=∠C (_______________________)又∵∠1=∠2∴∠B=∠C∴AB=AC (____________)
两直线平行，同位角相等
两直线平行，内错角相等
等角对等边
求证：如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形.
 
 
已知三角形的一条边及这条边上的高，你能作出三角形吗？如果能，能作几个？所作的三角形都全等吗？
如果已知是等腰三角形的底边及底边上的高，你能用尺规作出等腰三角形吗？能作几个？
例2.已知等腰三角形底边长为a，底边上的高的长为h，求作这个等腰三角形.
作法：1.作线段AB=a；2.作线段AB的垂直平分线MN，与AB相交于点D；3.在MN上取一点C，使DC=h；4.连接AC，BC.
如果已知是等腰三角形的底边及底边上的高，你能用尺规作出等腰三角形吗？能作几个？
例2.已知等腰三角形底边长为a，底边上的高的长为h，求作这个等腰三角形.
虽然满足条件的三角形可作出两个,但因它们全等,故只有一解.从这一意义上说，满足这一条件的等腰三角形是唯一确定的.
例3.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，AE是∠BAC的平分线，AE与CD交于点F，求证：△CEF是等腰三角形．
证明：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∴∠B＋∠BAC＝90°.∵CD是AB边上的高，∴∠ACD＋∠BAC＝90°，∴∠B＝∠ACD.∵AE是∠BAC的平分线，∴∠BAE＝∠EAC，∴∠B＋∠BAE＝∠ACD＋∠EAC，即∠CEF＝∠CFE，∴CE＝CF，∴△CEF是等腰三角形．
【点睛】“等角对等边”是判定等腰三角形的重要依据，是先有角相等再有边相等，只限于在同一个三角形中，若在两个不同的三角形中，此结论不一定成立．
如图，把一张长方形的纸沿对角线折叠，重合部分是一个等腰三角形吗？为什么？
解：△BED是等腰三角形. 理由如下：∵ △BC′D与△BCD关于直线BD对称∴ △BC′D≌△BCD∴ ∠C′BD=∠CBD又∵ AD∥BC∴ ∠ADB=∠CBD∴ ∠ADB=∠C′BD∴ EB=ED即△BED是等腰三角形.
例4.如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O.过O作EF∥BC交AB于E，交AC于F.探究EF、BE、FC之间的关系.
解：EF=BE+CF.理由如下：∵ EF∥BC,∴∠EOB=∠CBO，∠FOC=∠BCO. ∵BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，∴∠CBO＝∠ABO，∠BCO＝∠ACO，∴∠EOB＝∠ABO ，∠FOC＝∠ACO，∴BE＝OE，CF=OF，∴EF=EO+FO＝BE+CF.
【点睛】判定线段之间的数量关系，一般做法是通过全等或利用“等角对等边”，运用转化思想，解决问题.
例5.如图，点E在△ABC的AC边的延长线上，点D在AB边上，DE交BC于点F,DF=EF，BD=CE.求证:△ABC是等腰三角形.
证明:如图，过点D作DG//AE交BC于点G.∴∠GDF=∠CEF在△GDF和△CEF中，∴△GDF≌△CEF(ASA)∴GD=CE又∵BD=CE
例5.如图，点E在△ABC的AC边的延长线上，点D在AB边上，DE交BC于点F,DF=EF，BD=CE.求证:△ABC是等腰三角形.
∴BD=DG∴∠DBG=∠DGB∵DG//AC∴∠DGB=∠ACB∴∠ABC=∠ACB∴AB=AC，即△ABC是等腰三角形
1.在△ABC中，∠A和∠B的度数如下，其中能判定△ABC是等腰三角形的是( )A.∠A=55°，∠B=65° B.∠A=75°, ∠B=30°C.∠A=40°，∠B=80° D.∠A=60°，∠B=50°2.如图(2)，OC平分∠AOB，CD//OB，若OD=3cm，则CD等于( )A.3cm B.4cm C.1.5cm D.2cm
B
A
3.如图(3)，在△ABC中，∠A=36°，∠B=72°，AC的垂直平分线分别交AC，AB于点D，E，则图中等腰三角形的个数为( )A.2 B.3 C.4 D.5
B
4.如图，在△ABC中，D、E分别是AC、AB边上的点，BD与CE相交于点O，给出下列4个条件:①∠EBO=∠DCO;②∠BEO=∠CDO;③BE=CD;④OB=OC.从中选择2个条件，其中能判定△ABC为等腰三角形的组合有( )A.1种 B.2种 C.3种 D.4种
D
5.在△ABC中，若∠B=∠C，AB=6cm，则AC=_____cm;6.如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，AD是BC边上的中线,且AD=4cm，则BC=_____cm.
6
8
7.如图，△ABC中，AD⊥BC于点D.请你添加一个条件，确定△ABC是等腰三角形，你添加的条件是__________(除AB=AC外).8.如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，若C也是图中的格点，则使得△ABC是以AB为一腰的等腰三角形时，点C的个数是______.
BD=CD
4
9.如图，AC和BD相交于点O，且AB∥DC，OA=OB. 求证：OC=OD.
证明：∵AB∥DC∴∠A=∠C，∠B=∠D又∵OA=OB∴∠A=∠B∴∠C=∠D∴OC=OD
10.如图，∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°.分别计算∠1，∠2的度数，并说明图中有哪些等腰三角形.
解：∵ 在△BCD中，∠C=72°，∠DBC=36°∴ ∠1=180°-36°-72°=72°又∵ ∠1是△ABD的外角∴ ∠2=∠1-∠A=36°∴ ∠ABC=∠2+∠DBC=72°因此，由∠ABC=∠C=72°，得△ABC是等腰三角形；由∠1=∠C=72°，得△BCD是等腰三角形；由∠2=∠A=36°，得△ABD是等腰三角形.
11.如图，四边形ABCD中，AB=BC，∠A=∠C，求证:AD=CD.
证明:连接AC.∵AB=BC∴∠BAC=∠BCA又∵∠BAD=∠BCD∠BAD=∠BAC+∠CAD，∠BCD=∠BCA+∠ACD∴∠CAD=∠ACD∴AD=CD
12.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且D是BC的中点，DE⊥AB,DF⊥AC，垂足分别是E、F.求证:△ABC是等腰三角形.
等腰三角形判定定理： 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等 (简写成“等角对等边”).