2022-2023学年湖南省岳阳七中八年级（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年湖南省岳阳七中八年级（下）期末数学试卷（含解析），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年湖南省岳阳七中八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 若点P(a,b)是第四象限的点，且|a|=2，|b|=3，则P的坐标是(    )
A. (2,−3) B. (−2,3) C. (−3,2) D. (3,−2)
2. 为推动世界冰雪运动的发展，我国将于2022年举办北京冬奥会，在此之前进行了冬奥会会标的征集活动，以下是部分参选作品，其文字上方的图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )
A. B. C. D.
3. 下列各组线段中，不能构成直角三角形的是(    )
A. 3，4，5 B. 5，12，13 C. 8，16，17 D. 7，24，25
4. 为推广全民健身运动，某单位组织员工进行爬山比赛，在50名报名者中，青年组有20人，中年组17人，老年组13人，则中年组的频率是(    )
A. 0.4 B. 0.34 C. 0.26 D. 0.6
5. 小华和小侨合作，用一块含30°的直角三角板，旗杆顶端垂到地面的绳子，测量长度的工具，测量学校旗杆的高度，如图，测得AD=0.5米，绳子部分长CD=6米，则学校旗杆AB的高度为(    )
A. 6.5米
B. (6 3+0.5)米
C. 12.5米
D. (6 5+0.5)米


6. 学校与科技园两地相距24km，小明8：00骑自行车从学校去科技园；小红8：30坐公交车从学校去科技园．在同一平面直角坐标系中，小明和小红离学校的距离y(km)与所用的时间x(h)的函数图象如图所示，根据图象信息，下列结论不正确的是(    )

A. 小明比小红晚0.5小时到达科技园 B. 小明骑自行车的平均速度是12km/h
C. 小红到达科技园所用时间为1.5h D. 小红在距离学校12 km处追上小明
7. 下列命题是假命题的是(    )
A. 任意一个三角形中，三角形两边的差小于第三边
B. 三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半
C. 如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角一定相等
D. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
8. 如图，等腰直角三角形ABC的直角顶点C与坐标原点重合，分别过点A、B作x轴的垂线，垂足为D、E，点A的坐标为(−2,5)，则线段DE的长为(    )
A. 4
B. 6
C. 6.5
D. 7
9. 在平面直角坐标系中一组菱形A1C1B1O，A2C2B2C1，A3C3B3C2，A4C4B4C3，…按如图方式放置，已知点A1(1,0)，A2(3,0)，A3(5,0)，…，An(2n−1,0)，点B1(0,1)，B2(0,3)，B3(0,5)，…，Bn(0,2n−1)，则菱形A5C5B5C4的面积为(    )


A. 5 B. 9 C. 5 2 D. 9 2
10. 如图，AE，BD是△ABC的角平分线，AE，BD相交于点O，OF⊥AB于F，∠C=60°，下列四个结论：①∠AOB=120°；②AD+BE=AB；③若△ABC的周长为m，OF=n，则S△ABC=mn；④若OE：OA=1：3，则OD：OB=2：3.其中正确的结论有个．(    )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
11. 已知五边形各内角的度数如图所示，则图中x= ______ °.


12. 一个容量为100的样本的最大值是120，最小值是48，取组距为10，则可分成______组．
13. 在平面直角坐标内，将△ABC平移得到△DEF，且点A(−2,3)平移后与点D(1,2)重合，则△ABC内部一点M(3,−1)平移后的坐标为______ ．
14. 如图，AB=AC，四边形AEDF是平行四边形，△CFD和△DEB的周长分别为5和10，则△ABC的周长是          ．






15. 中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出入相补法.如图所示，在△ABC中，分别取AB、AC的中点D、E，连接DE，过点A作AF⊥DE，垂足为F，将△ABC分割后拼接成矩形BCHG.若DE=3，AF=2，则△ABC的面积是______ ．

16. 如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC=70°，延长BC到E，在∠DCE内作射线CM，使得∠ECM=15°，过点D作DF⊥CM，垂足为F，若DF= 5，则对角线BD的长为______ .(结果保留根号)

三、解答题（本大题共9小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题6.0分)
已知函数y=(m−1)x+m2−1．
(1)当m为何值时，y是x的一次函数？
(2)当m为何值时，y是x的正比例函数？
18. (本小题6.0分)
如图，线段AD上有两点E，B，且AE=DB，分别以AB，DE为直角边在线段AD同侧作Rt△ABC和Rt△DEF，∠A=∠D=90°，BC=EF.求证：∠AEG=∠DBG．

19. (本小题6.0分)
某大型机械厂因工作需要，要焊接一个如图所示的钢架，已知AD=2m，CD=4m，BD=8m，且已知CD⊥AB于D．
(1)求焊接一个这样的钢架大约需要多少钢材？( 5≈2.236，结果精确到0.01m)(2)求证：△ACB是直角三角形．

20. (本小题6.0分)
如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，在OA上取一点C，连接PC，使PC=OC，BP=12PC．
(1)求证：PC//OB；
(2)求∠CPO的度数．

21. (本小题8.0分)
随着无人机高科技产业的快速发展，无人机航拍逐渐成为摄影创作的重要形式.某日，学校摄影社团组织汾河冬景无人机航拍活动.如图的平面直角坐标系中，线段OA，BC分别表示拍摄某镜头时1号、2号无人机飞行高度y1，y2(米)与飞行时间x(秒)的函数关系，其中y2=−4x+150，线段OA与BC相交于点P，AB⊥y轴于点B，点A的横坐标为25．

(1)图中点B的坐标为______ ；
(2)求线段OA对应的函数表达式(0≤x≤25)；
(3)求点P的坐标，并写出点P坐标表示的实际意义．
22. (本小题8.0分)
为落实湖南省共青团“青年大学习”的号召，某校团委针对该校学生每周参加“青年大学习”的时间(单位：h)进行了随机抽样调查，并将获得的数据绘制成如下统计表和如图所示的统计图，请根据图表中的信息回答下列问题．
周学习时间
频数
频率
0≤t<1
5
0.05
1≤t<2
20
0.20
2≤t<3
a
0.35
3≤t<4
25
m
4≤t<5
15
0.15
(1)求统计表中a，m的值．
(2)甲同学说“我的周学习时间是此次抽样调查所得数据的中位数”.求甲同学的周学习时间在哪个范围内．
(3)已知该校学生约有20000人，试估计该校学生每周参加“青年大学习”的时间不少于3h的人数．

23. (本小题8.0分)
如图，D、E、F分别是△ABC各边的中点，连接DE、EF、AE．
(1)求证：四边形ADEF为平行四边形；
(2)加上条件______ 后，能使得四边形ADEF为菱形，请从①∠BAC=90°；②AE平分∠BAC；③AB=AC这三个条件中选择1个条件填空(写序号)，并加以证明．





24. (本小题8.0分)
2020年以来，新冠肺炎的蔓延促使世界各国在线教育用户规模不断增大.网络教师小李抓住时机，开始组建团队，制作面向A、B两个不同需求学生群体的微课视频.已知制作3个A类微课和5个B类微课需要4600元成本，制作5个A类微课和10个B类微课需要8500元成本.李老师又把做好的微课出售给某视频播放网站，每个A类微课售价1500元，每个B类微课售价1000元.该团队每天可以制作1个A类微课或者1.5个B类微课，且团队每月制作的B类微课数不少于A类微课数的2倍(注：每月制作的A、B两类微课的个数均为整数).假设团队每月有22天制作微课，其中制作A类微课a天，制作A、B两类微课的月利润为w元．
(1)求团队制作一个A类微课和一个B类微课的成本分别是多少元？
(2)求w与a之间的函数关系式，并写出a的取值范围；
(3)每月制作A类微课多少个时，该团队月利润w最大，最大利润是多少元？
25. (本小题10.0分)
【基础巩固】
(1)如图1，四边形ABCD的两条对角线AC，BD交于点O，若AC⊥BD，求证：AB2+CD2=AD2+BC2．
【尝试应用】
(2)如图2，在△ABC中，AB=3，BC=6，AC=4，分别以AB，AC为边向外作两个等腰直角三角形BAD和CAE，使得∠BAD=∠CAE=90°，连接DE，求DE的长．
【拓展提高】
(3)如图3，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O，点E，F分别是OA，OD的中点，连接BE，CF并延长交于点P.若BP2+CP2=60，求菱形的周长．


答案和解析

1.【答案】A 
【解析】解：∵点P(a,b)在第四象限，
∴点P(a,b)的横坐标是正数，纵坐标是负数，
∵|a|=2，|b|=3，
∴a=2，b=−3，
∴点P的坐标为(2,−3)．
故选：A．
根据第四象限内的点的横坐标是正数，纵坐标是负数解答即可．
本题考查了点的坐标．解题的关键是记住各象限点的坐标特征，理解坐标的意义．

2.【答案】B 
【解析】解：A.不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B.既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；
C.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D.不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：B．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．

3.【答案】C 
【解析】解：A、32+42=52，故是直角三角形，故本选项不符合题意；
B、52+122=132，故是直角三角形，故本选项不符合题意；
C、82+162≠172，故不是直角三角形，故本选项符合题意；
D、72+242=252，故是直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：C．
由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．

4.【答案】B 
【解析】解：17÷50=0.34，
故选：B．
根据频率=频数总数进行计算即可．
本题考查频数与频率，掌握频率=频数总数是正确解答的关键．

5.【答案】B 
【解析】解：由题意知∠ABC=30°，CD⊥AB，
∴BC=2CD=12米，BD=6 3米，
∵AD=0.5米，
∴AB=(6 3+0.5)米，
故选：B．
根据含30°角的直角三角形的性质得出2DC=BC，进而利用勾股定理解答即可．
本题考查了含30度直角三角形的性质及勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键．

6.【答案】C 
【解析】解：A、由图象可知，小明到达科技园是10：00，小红到达科技园是9：30，
∴小明比小红晚0.5小时到达科技园，该选项正确；
B、根据函数图象小明去科技园所用时间为10−8=2(h)，
∴小明骑自行车的平均速度为：24÷2=12(km/h)．
小明骑自行车的平均速度是12km/h，该选项正确；
C、小红到达科技园所用时间为9.5−8.5=1(h)，该选项错误，符合题意；
D，由图象可知，当：x=9时，小红追上小明，此时小明离学校的时间为9−8=1小时，
∴小明走的路程为：1×12=12km，
∴小红在距离学校12km处追上小明，该选项正确．
故选：C．
根据函数图象可知根据函数图象小明去科技园所用时间为10−8=2小时，进而得到小明骑自行车的平均速度，对应函数图象，得到小红到科技园所用的时间，根据交点坐标确定小红追上小明所用时间，即可解答．
本题考查了从函数图象获取信息，解决本题的关键是读懂函数图象，获取相关信息．

7.【答案】C 
【解析】解：A、任意一个三角形中，三角形两边的差小于第三边，正确，是真命题，不符合题意；
B、三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半，正确，是真命题，不符合题意；
C、如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角一定相等或互补，故原命题错误，是假命题，符合题意；
D、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，正确，是真命题，不符合题意，
故选：C．
利用三角形的三边关系、三角形的中位线定理、平行线的性质及平行四边形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．
考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解三角形的三边关系、三角形的中位线定理、平行线的性质及平行四边形的判定方法，难度不大．

8.【答案】D 
【解析】解：∵A(−2,5)，AD⊥x轴，
∴AD=5，OD=2，
∵△ABO为等腰直角三角形，
∴OA=BO，∠AOB=90°，
∴∠AOD+∠DAO=∠AOD+∠BOE=90°，
∴∠DAO=∠BOE，
在△ADO和△OEB中，
∠DAO=∠BOE∠ADO=∠OEBOA=BO，
∴△ADO≌△OEB(AAS)，
∴AD=OE=5，OD=BE=2，
∴DE=OD+OE=5+2=7．
故选：D．
由等腰直角三角形的性质得出OA=BO，∠AOB=90°，证明△ADO≌△OEB(AAS)，由全等三角形的性质得出AD=OE=5，OD=BE=2，则可得出答案．
本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．

9.【答案】B 
【解析】解：∵OC1= 12+12= 2，
∴C1C2=2×(3 2− 2)= 2，
C2C3=2×(5 2−2 2)= 2，
根据此规律可得C4C5= 2，
又∵A5(9,0)，B5(0,9)，
∴A5B5= 92+92=9 2，
∴菱形A5C5B5C4的面积为12× 2×9 2=9，
故选：B．
先求出A5B5的长度，再求出C4C5的长度，根据菱形的面积公式即可得出答案．
本题主要考查菱形的面积公式，关键是要找出CnCn+1的长度的规律，牢记菱形的面积公式．

10.【答案】C 
【解析】解：①∵∠BAC+∠C+∠ABC=180°，∠C=60°，
∴∠BAC+∠ABC=180°−∠C=120°，
∵AE、BD是ABC的角平分线，
∴∠EAB=12∠CAB，∠DBA=12∠ABC，
∴∠EAB+∠DBA=12(∠CAB+∠CBA)=12×120°=60°，
在AOB中，∠OAB+∠OBA+∠AOB=180°
∴∠AOB=180°−(∠OAB+∠OBA)=180°−60°=120°，
∴结论①正确；
②由①正确可知，∠AOB=120°，
∴∠AOD=∠BOE=180°−∠AOB=120°，
在AB上截取AK=AD，连接OK，如图所示，

∵AE、BD是ABC的角平分线，
∴∠DAO=∠KAO，∠KBO=∠EBO，
在△AOD和△AOK中，
AK=AD∠DAO=∠KAOOB=OB，
∴△△AOD≌△AOK(SAS)，
∴∠AOD=∠AOK=60°，
∴∠BOK=∠AOB−∠AOK=120°−60°=60°，
∴∠BOK=∠BOE=60°，
在△BOK和△BOE中，
∠BOK=∠BOE=60°BO=BO∠KBO=∠EBO，
∴△BOK≌△BOE(SAS)
∴BE=BK，
∴AB=AK+BK=AD+BE，
∴结论②正确；
③过点O作OH⊥AC于H，OT⊥BC于T，连接OC，如图所示：

∵△ABC的周长为m，
∴AB+AC+BC=m，
∵AE、BD是ABC的角平分线，
∴OH=OF=OE=n，
∴S△AOB=12AB⋅OF=12n⋅AB，S△AOC=12AC⋅OH=12n⋅AC，S△BOC=12BC⋅OT=12n⋅BC，
∴S△ABC=S△AOB+S△AOC+S△BOC=12n⋅(AB+AC+BC)=12mn，
∴结论③不正确；
④过点B作BP⊥AE于点P，如图所示：

由③可知：OF=OT=OH=n，
∴S△BOE=12BE⋅OT=12n⋅BE，S△AOB=12AB⋅OF=12n⋅AB，
∴S△BOES△AOB=12n⋅BE12n⋅AB=BEAB，
又∵S△BOE=12OE⋅BP，S△AOB=.12OA⋅BP，
∴S△BOES△AOB=12OE⋅BP12OA⋅BP=OEOA，
∴BEAB=OEOA，
同理：ADAB=ODOB，
设ODOB=t，则ADAB=t，
∴AD=t⋅AB，
又∵OE：OA=1：3，
∴BE：AB=1：3，
∴BE=13AB，
由②正确得：AB=AD+BE，
∴AB=t⋅AB+13AB，
解得：t=23，
∴ODOB=23，
即：OD：OB=2：3．
∴结论④正确．
综上所述，结论①②④正确，共有3个，结论②不正确．
故选：C．
①先利用三角形的内角和定理求出∠BAC+∠ABC=120°，再根据角平分线的定义得∠EAB+∠DBA=60°，进而再利用三角形的内角和定理求出∠AOB的度数，进而可对结论①进行判断；
②在AB上截取AK=AD，连接OK，先证△AOD和△AOK全等得∠AOD=∠AOK=60°，进而得∠BOK=∠BOE=60°，然后再证△BOK和△BOE全等得BE=BK，进而可对结论②进行判断；
③过点O作OH⊥AC于H，OT⊥BC于T，连接OC，则AB+AC+BC=m，根据角平分线的性质得OH=OF=OE=n，然后可分别求出△AOB，△AOC，△BOC的面积，最后再根据S△ABC=S△AOB+S△AOC+S△BOC即可对结论③进行判断；
④过点B作BP⊥AE于点P，由OF=OT=OH=n，可求出S△BOE=12n⋅BE，S△AOB=12n⋅AB，进而得S△BOES△AOB=BEAB，另一方面S△BOE=12OE⋅BP，S△AOB=12OA⋅BP，则S△BOES△AOB=OEOA，由此可得BEAB=OEOA，同理：ADAB=ODOB，然后设ODOB=t，则AD=t⋅AB，根据OEOA=13得BE=13AB，再根据②正确得AB=AD+BE，于是可得AB=t⋅AB+13AB，由此解得t=23，进而可对结论④正确；综上所述可得出答案．
此题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积，角平分线的性质，三角形的内角和定理，解答此题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，理解全等三角形的对应边相等、对应角相等；角平分线上的点到角两边的距离相等；难点是灵活利用三角形的面积求线段的比．

11.【答案】120 
【解析】解：依题意有
x°+x°+x°+x°+60°=(5−2)×180°，
解得：x=120．
故答案为：120．
利用多边形的内角和定理列方程求解即可．
本题主要考查的是多边形的内角和定理的应用，方程思想的应用是解题的关键．

12.【答案】8 
【解析】解：根据题意，极差为120−48=72，
而7210=7.2，
所以组数为7+1=8．
故答案为8．
先计算极差，再用极差除以组距10后取整数，然后把这个整数加1得到组数．
本题考查了频数(率)分布表：在统计数据时，经常把数据按照不同的范围分成几个组，分成的组的个数称为组数，每一组两个端点的差称为组距，称这样画出的统计图表为频数分布表．

13.【答案】(6,−2) 
【解析】解：∵点A(−2,3)平移后与点D(1,2)重合，
∴△ABC应先向右移动3格，再向下移动1格，
∵M(3,−1)，
∴平移后为：(6,−2)，
故答案为：(6,−2)．
先根据点A(−2,3)平移后与点D(1,2)重合的平移规律，得出点M(3,−1)平移后的坐标即可．
本题考查了坐标与图形的平移，熟知平面直角坐标系内：上加下减、右加左减的规律是解答此题的关键．

14.【答案】15 
【解析】
【分析】
根据平行四边形的对边相等可得DE=AF，DF=AE，再根据三角形周长的定义结合已知条件即可求出△ABC的周长．
此题主要考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的对边相等是解题的关键．
【解答】
解：∵四边形AEDF是平行四边形，
∴DE=AF，DF=AE，
∵△CFD和△DEB的周长分别为5和10，
∴CF+DF+CD=5，DE+EB+DB=10，
∴CF+AE+CD=5，AF+EB+DB=10，
∴△ABC的周长=CF+AF+AE+EB+BD+CD=15．
故答案为：15．  
15.【答案】12 
【解析】解：由题意，BG=CH=AF=2，DG=DF，EF=EH，
∴DG+EH=DE=3，
∴BC=GH=3+3=6，
∴△ABC的边BC上的高为4，
∴S△ABC=12×6×4=12，
故答案为：12．
根据图形的拼剪，求出BC以及BC边上的高即可解决问题．
本题考查图形的拼剪，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积等知识，解题的关键是读懂图象信息，属于中考常考题型．

16.【答案】2 5 
【解析】解：如图，连接AC交BD于点H，

由菱形的性质得∠BDC=35°，∠DCE=70°，
又∵∠MCE=15°，
∴∠DCF=55°，
∵DF⊥CM，
∴∠CDF=35°，
又∵四边形ABCD是菱形，
∴BD平分∠ADC，
∴∠HDC=35°，
在△CDH和△CDF中，
∠CHD=∠CFD∠HDC=∠FDCDC=DC，
∴△CDH≌△CDF(AAS)，
∴DF=DH= 5，
∴DB=2 5，
故答案为2 5．
连接AC交BD于H，证明△DCH≌△DCF，得出DH的长度，再根据菱形的性质得出BD的长度．
本题主要考查菱形的性质和全等三角形的判定，菱形的对角线互相平分是此题的关键知识点，得出∠HDC=∠FDC是这个题最关键的一点．

17.【答案】解：(1)由题意得：m−1≠0，
解得：m≠1；

(2)由题意得：m2−1=0，且m−1≠0，
解得：m=−1． 
【解析】(1)利用一次函数定义进行解答即可；
(2)利用正比例函数定义进行解答．
此题主要考查了正比例函数定义和一次函数定义，关键是掌握形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数．

18.【答案】证明：∵AE=DB，
∴AE+EB=DB+EB，
即AB=DE，
∵∠A=∠D=90°，
在Rt△ABC和Rt△DEF中，
AB=DEBC=EF，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL)，
∴∠ABC=∠DEF，
∴∠AEG=∠DBG． 
【解析】根据HL证明Rt△ABC和Rt△DEF全等，进而利用全等三角形的性质解答即可．
此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据HL证明Rt△ABC和Rt△DEF全等解答．

19.【答案】(1)解：∵CD⊥AB，
∴∠ADC=∠BDC=90°，
∵AD=2m，CD=4m，BD=8m，
∴AC= AD2+CD2= 22+42=2 5(m)，
BC= CD2+BD2= 42+82=4 5(m)，
∴AC+BC+CD+AD+BD=2 5+4 5+4+2+8≈27.42(m)，
∴焊接一个这样的钢架大约需要27.42m的钢材；
(2)证明：∵AD=2m，BD=8m，
∴AB=AD+BD=10(m)，
∵AC2+BC2=(2 5)2+(4 5)2=100，AB2=102=100，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC是直角三角形． 
【解析】(1)根据垂直定义可得∠ADC=∠BDC=90°，然后分别在Rt△ADC和Rt△CDB中，利用勾股定理求出AC和BC的长，最后进行计算即可解答；
(2)先求出AB的长，然后利用勾股定理的逆定理进行计算，即可解答．
本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，近似数和有效数字，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及勾股定理是解题的关键．

20.【答案】(1)证明：∵PC=OC，
∴∠AOP=∠CPO，
∵OP平分∠AOB，
∴∠AOP=∠BOP，
∴∠BOP=∠CPO，
∴PC//OB；
(2)解：∵OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，
∴AP=BP，
∵BP=12PC，
∴AP=12PC，
∵PA⊥OA，
∴∠OAP=90°，
∴∠ACP=30°，
∵PC//OB，
∴∠AOB=∠ACP=30°，
∵∠AOP=∠BOP=∠CPO，
∴∠CPO=12∠AOB=12×30°=15°． 
【解析】本题考查了平行线的性质和判定，等腰三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，角平分线的性质等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．
(1)根据等腰三角形的性质得出∠AOP=∠CPO，根据角平分线的定义得出∠AOP=∠BOP，求出∠BOP=∠CPO即可；
(2)根据角平分线的性质得出AP=BP，求出AP=12PC，求出∠ACP=30°，根据平行线的性质得出∠AOB=∠ACP=30°，即可求出答案．

21.【答案】(0,150) 
【解析】解：(1)当x=0时，y2=150，
∴点B的坐标为(0,150)；
(2)由题意知点A的坐标为(25,150)，
设y1=kx(k≠0)，
将(25,150)代入y1=kx得150=25x，
∴x=6，
∴y1=6x，
∴线段OA对应的函数表达式为：y1=6x；
(3)联立y2=−4x+150与y1=6x6x=−4x+150，
解得：x=15，
∴6x=90，
∴点P的坐标为(15,90)，
点P坐标表示的实际意义是第15秒时1号和2号无人机在同一高度．
(1)当x=0时，y2=150，求出点B的坐标；
(2)求出点A的坐标为(25,150)，代入y1=kx；
(3)联立y2=−4x+150与y1=6x，求出点P的坐标．
本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，正确求出函数关系式．

22.【答案】解：(1)∵样本容量为5÷0.05=100，
∴a=100×0.35=35，m=25÷100=0.25；
(2)∵一共有100个数据，其中位数是第50、51个数据的平均数，而这2个数据均落在2≤t<3范围内，
∴甲同学的周学习时间在2≤t<3范围内；
(3)估计该校学生每周参加“青年大学习”的时间不少于3h的人数为20000×(0.25+0.15)=8000(人)． 
【解析】(1)由周学习时间在0≤t<1的频数及频率求出样本容量，再由频率=频数÷样本容量求解即可得出答案；
(2)根据中位数的定义可得答案；
(3)用总人数乘以样本中3≤t<4、4≤t<5的频率和．
本题考查的是频数(率)分布表、中位数及样本估计总体的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．

23.【答案】解：(1)证明：∵D、E、F为AB、BC、AC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，AF=12AC，
∴DE//AC，DE=12AC=AF．
即DE//AF，DE=AF，
∴四边形ADEF为平行四边形．
(2)②，证明如下：
∵AE平分∠BAC，
∴∠DAE=∠FAE，
又∵四边形ADEF为平行四边形，
∴EF//DA，
∴∠DAE=∠AEF，
∴∠FAE=∠AEF，
∴AF=EF，
∴平行四边形ADEF为菱形．
(答案不唯一) 
【解析】(1)见答案；
(2)若选②AE平分∠BAC，证明如下：
∵AE平分∠BAC，
∴∠DAE=∠FAE，
又∵四边形ADEF为平行四边形，
∴EF//DA，
∴∠DAE=∠AEF，
∴∠FAE=∠AEF，
∴AF=EF，
∴平行四边形ADEF为菱形．
若选③AB=AC，证明如下：
∵D、E、F为AB、BC、AC的中点，
∴EF=12AB，DE=12AC，
又∵AB=AC，
∴EF=DE，
∴平行四边形ADEF为菱形．
(1)根据三角形中位线定理可证；
(2)若选②AE平分∠BAC：则在(1)中四边形ADEF为平行四边形基础上，再证一组邻边相等即证明AF=EF；若选③AB=AC：根据三角形中位线定理即可证明．
本题考查了平行四边形的判定与性质，三角形中位线性质定理，菱形的判定定理．认真分析图中的几何关系，熟练掌握平行四边形以及菱形的判定定理是解题关键．

24.【答案】解：(1)设团队制作一个A类微课的成本为x元，制作一个B类微课的成本为y元，根据题意得：
3x+5y=46005x+10y=8500，
解得x=700y=500，
答：团队制作一个A类微课的成本为700元，制作一个B类微课的成本为500元；
(2)由题意，得w=(1500−700)a+(1000−500)×1.5(22−a)=50a+16500；
1.5(22−a)≥2a，
解得a≤937，
又∵每月制作的A、B两类微课的个数均为整数，
∴a的值为0，1，2，3，4，5，6，7，8，9；
(3)由(2)得w=50a+16500，
∵50>0，
∴w随a的增大而增大，
∴当a=9时，w有最大值，w最大=50×9+16500=16950(元)．
答：每月制作A类微课9个时，该团队月利润w最大，最大利润是16950元． 
【解析】(1)设团队制作一个A类微课的成本为x元，制作一个B类微课的成本为y元，根据“制作3个A类微课和5个B类微课需要4600元成本，制作5个A类微课和10个B类微课需要8500元成本”列方程组解答即可；
(2)由纯利润=销售利润−各种费用支出就可以得出结论；根据“团队每天可以制作1个A类微课或者1.5个B类微课，且团队每月制作的B类微课数不少于A类微课数的2倍”可得a的取值范围；
(3)根据(2)的结论，结合一次函数的性质解答即可．
本题考查了一次函数的运用，二元一次方程组的运用，销售问题的数量关系月利润=每件利润×数量的运用，解答时求出函数的解析式是关键．

25.【答案】(1)证明：∵AC⊥BD，
∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠AOD=90°，
∴OA2+OB2=AB2，OB2+OC2=BC2，OC2+OD2=CD2，OD2+OA2=AD2，
∴AB2+CD2=OA2+OB2+OC2+OD2，AD2+BC2=OD2+OA2+OB2+OC2，
∴AB2+CD2=AD2+BC2．
(2)解：连接CD、BE交于点F，BE交AD于G，如图2所示：
∵△BAD和△CAE是等腰直角三角形，
∴AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE=90°，
∴∠BAD+∠DAE=∠CAE+∠DAE，
即∠BAE=∠DAC，
∴△BAE≌△DAC(SAS)，
∴∠ABE=∠ADC，
∵∠ABE+∠AGB=90°，∠DGF=∠AGB，
∴∠ADC+∠DGF=90°，
∴∠BFD=90°，
∴BE⊥CD，
由(1)得：BD2+CE2=BC2+DE2，
在Rt△ABD中，AD=AB=3，
∴BD= 2AB=3 3，
在Rt△ACE中，AE=AC=4，
∴CE= 2AC=4 2，
∴(3 2)2+(4 2)2=62+DE2，
解得：DE= 14；
(3)解：连接EF，如图3所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD，AC⊥BD，AD//BC，
∵点E，F分别是OA，OD的中点，
∴EF是△AOD的中位线，
∴EF//AD//BC，EF=12AD=12BC，
∴EF是△BCP的中位线，
∴EP=BE=12BP，CF=FP=12CP，
在四边形BCFE中，CE⊥BF，
∴BE2+CF2=BC2+EF2，
即(12BP)2+(12CP)2=BC2+(12BC)2，
∴14(BP2+CP2)=54BC2，
∵BP2+CP2=60，
∴14×60=54BC2，
∴BC= 12=2 3，
∴菱形的周长=4BC=8 3． 
【解析】(1)由勾股定理得OA2+OB2=AB2，OB2+OC2=BC2，OC2+OD2=CD2，OD2+OA2=AD2，即可得出结论；
(2)连接CD、BE交于点F，BE交AD于G，先证△BAE≌△DAC(SAS)，得∠ABE=∠ADC，再证BE⊥CD，则BD2+CE2=BC2+DE2，然后求出BD= 2AB=3 3，CE= 2AC=4 2，代入计算即可求出DE的长；
(3)连接EF，先证EF是△AOD的中位线，得EF//AD//BC，EF=12AD=12BC，则EF是△BCP的中位线，得EP=BE=12BP，CF=FP=12CP，然后由BE2+CF2=BC2+EF2求出BC的长，即可求解．
本题是四边形综合题目，考查了菱形的性质、对角线互相垂直的四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、三角形中位线定理等知识；本题综合性强，熟练掌握菱形的性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理是解题的关键．