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2022-2023学年山东省东营市河口区八年级（下）期末数学试卷（五四学制）（含解析）
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这是一份2022-2023学年山东省东营市河口区八年级（下）期末数学试卷（五四学制）（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年山东省东营市河口区八年级（下）期末数学试卷（五四学制）
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 要使二次根式 x−3有意义，则x的值可以为( )
A. −2 B. 4 C. 2 D. 0
2. 下列计算结果，正确的是( )
A. (−3)2=−3 B. 2+ 5= 7 C. 2 3− 3=1 D. ( 5)2=5
3. 下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是( )
A. x2+1=0 B. x2−2x+1=0 C. x2+2x+4=0 D. x2−x−3=0
4. 若点A(−1,y1)，B(2,y2)，C(3,y3)在反比例函数y=−6x的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是( )
A. y1>y2>y3 B. y2>y3>y1 C. y1>y3>y2 D. y3>y2>y1
5. 已知四边形ABCD是平行四边形，下列说法正确的有( )
①当AB=BC时，它是矩形
②AC⊥BD时，它是菱形
③当∠ABC=90°时，它是菱形
④当AC=BD时，它是正方形
A. ①② B. ② C. ②④ D. ③④
6. 已知a4=b3，则a−bb的值是( )
A. 34 B. 43 C. 3 D. 13
7. 一次会议上，每两个参加会议的人都互相握了一次手，有人统计一共共握66次手．若设这次会议到会的人数为x人，依题意可列方程( )
A. 12x(x−1)=66 B. 12(1+x)2=66 C. x(1+x)=66 D. x(x−1)=66
8. 如图，在平行四边形ABCD中，E为BC边上的点，若BE：EC=1：2，AE交BD于F，则S△BEF：S△DFA等于( )
A. 1：2
B. 1：3
C. 1：4
D. 1：9
9. 如图，O是矩形ABCD的对角线交点，AE平分∠BAD，∠AOD=120°，∠AEO的度数为( )
A. 15° B. 25° C. 30° D. 35°
10. 如图，在正方形ABCD中，点O是对角AC、BD的交点，过点O作射线OM、ON分别交BC、CD于点E、F，且∠EOF=90°，EF、OC交于点G.给出下列结论：①△COE≌△DOF；②△OGE∽△FGC；③四边形CEOF的面积为正方形ABCD面积的14；④DF2+BE2=OG⋅OC.其中正确的是( )
A. ①②③ B. ①②③④ C. ①②④ D. ③④
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
11. 48与最简二次根式 2a−3是同类二次根式，则a=______．
12. 如果关于x的一元二次方程(m+3)x2+3x+m2−9=0有一个解是0，那么m的值是______．
13. 若点A(−2,3)、B(m,−6)都在反比例函数y=kx(k≠0)的图象上，则m的值是______．
14. 如图，点M是反比例函数y=ax(a≠0)的图象上一点，过M点作x轴、y轴的平行线，若S阴影=3，则此反比例函数的解析式为______ ．
15. 如图，已知矩形ABCD和矩形BEFG是位似图形，点O是位似中心，若点D的坐标为(1,2)，点F的坐标为(4,4)，则点G的坐标是______．
16. 如图，是一个长为30m，宽为20m的矩形花园，现要在花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草.如图所示，要使种植花草的面积为468m2，那么小道进出口的宽度应为______ m.
17. 14.(4分)如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，AC=12，BD=16，点P为边BC上一点，且P不与写B、C重合．过P作PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，连接EF，则EF的最小值等于____．
18. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=4.点M1，N1，P1分别在AC、BC、AB上，且四边形M1CN1P1是正方形，点M2，N2，P2分别在P1N1、BN1，BP1上，且四边形M2N1N2P2是正方形，…，点Mn，Nn，Pn分别在Pn−1Nn−1，BNn−1，BPn−1上，且四边形MnNn−1NnPn是正方形，则线段M2023P2023的长度是______ ．
三、解答题（本大题共7小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题12.0分)
计算、解方程：
(1) 32− 18− 18；
(2)(7+4 3)(7−4 3)−( 3−1)2；
(3)3x2−6x−5=0；
(4)x(x−1)=2(1−x)．
20. (本小题8.0分)
学完了《图形的相似》这一章后，某中学数学实践小组决定利用所学知识去测量一棵大树CD的高度，如图，直立在B处的标杆AB=2.9米，小爱站在F处，眼睛E处看到标杆顶A，树顶C在同一条直线上(人，标杆和树在同一平面内，且点F，B，D在同一条直线上).已知BD=6米，FB=2米，EF=1.7米，请根据以上测量数据，帮助实践小组求出该树的高度．
21. (本小题8.0分)
某商场以每件210元的价格购进一批商品，当每件商品售价为270元时，每天可售出30件，为了迎接“双十一购物节”，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价1元，那么商场每天就可以多售出3件．
(1)降价前商场每天销售该商品的利润是多少元？
(2)要使商场每天销售这种商品的利润达到降价前每天利润的两倍，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？
22. (本小题8.0分)
如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，且DE//AC，CE//BD．
(1)求证：四边形OCED是菱形；
(2)若∠BAC=30°，AC=4，求菱形OCED的面积．
23. (本小题9.0分)
如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，DE//AC，EF//AB．
(1)求证：△BDE∽△EFC．
(2)设AFFC=12，
①若BC=12，求线段BE的长；
②若△EFC的面积是20，求△ABC的面积．
24. (本小题10.0分)
如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=mx的图象交于点A(1,3)，B(3,n)．
(1)直接写出m=______；n=______；
(2)请结合图象直接写出不等式kx+b>mx的解集是______；
(3)若点P为y轴上一点，△PAB的面积为4，求点P的坐标．
25. (本小题11.0分)
如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=60cm，∠A=60°，点D从点A出发沿AC方向以4cm/s的速度向点C匀速运动，同时点E从点B出发沿BA方向以2cm/s的速度向点A匀速运动，设点D、E运动的时间是t秒(0
(2)当t为何值时，四边形AEFD为菱形？说明理由；
(3)当t为何值时，△ADE与△ABC相似？说明理由．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：由题意得：x−3≥0，
解得：x≥3，
因此，只有B选项的4满足条件，
故选：B．
根据二次根式有意义的条件可得x−3≥0，再解即可．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．
2.【答案】D
【解析】解： (−3)2=3，故选项A错误，不符合题意；
2+ 5不能合并，故选项B错误，不符合题意；
2 3− 3= 3，故选项C错误，不符合题意；
( 5)2=5，故选项D正确，符合题意；
故选：D．
计算出各个选项中式子的正确结果，即可判断哪个选项符合题意．
本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：A.x2+1=0中△=02−4×1×1=−4<0，没有实数根；
B.x2−2x+1=0中△=(−2)2−4×1×1=0，有两个相等实数根；
C.x2+2x+4=0中△=22−4×1×4=−12<0，没有实数根；
D.x2−x−3=0中△=(−1)2−4×1×(−3)=13>0，有两个不相等的实数根；
故选：D．
分别计算四个方程的判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2−4ac：当△>0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△<0，方程没有实数根．
4.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，利用反比例函数图象上点的坐标特征求出y1、y2、y3的值是解题的关键．
根据反比例函数图象上点的坐标特征求出y1、y2、y3的值，比较后即可得出结论．
【解答】
解：∵点A(−1,y1)、B(2,y2)、C(3,y3)在反比例函数y=−6x的图象上，
∴y1=−6−1=6，y2=−62=−3，y3=−63=−2，
又∵6>−2>−3，
∴y1>y3>y2.
故选：C．
5.【答案】B
【解析】解：①若AB=BC，则▱ABCD是菱形，选项说法错误；
②若AC⊥BD，则▱ABCD是菱形，选项说法正确；
③若∠ABC=90°，则▱ABCD是矩形，选项说法错误；
④若AC=BD，则▱ABCD是矩形，选项说法错误；
故选：B．
根据已知及各个特殊四边形的判定方法对各个选项进行分析从而得到最后答案．
此题考查了菱形，矩形，正方形的判定方法，对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形．
6.【答案】D
【解析】解：∵a4=b3，
∴ab=43，
∴a−bb=ab−1=43−1=13．
故选：D．
根据a4=b3得出ab=43，再把要求的式子化成ab−1，然后进行计算即可得出答案．
7.【答案】A
【解析】解：依题意得：12x(x−1)=66．
故选：A．
利用参会人员共握手次数=参会人数×(参会人数−1)÷2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：∵BE：EC=1：2，
∴设BE=x，则EC=2x，BC=3x，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=3x，AD//BC，
∴△BEF∽△DAF，
∴S△BEFS△DFA=(BEAD)2=19，
故选D．
通过证明△BEF∽△DAF，可得S△BEF：S△DFA=(BEAD)2=19，即可求解．
本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，∠ABC=∠BAD=90°，AC=BD，OB=12BD，OC=12AC，
∴OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∵∠BOC=∠AOD=120°，
∴∠OBC=30°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠EAD=45°，
∴∠AEB=∠EAD=∠BAE=45°，
∴AB=BE，
∵∠AOD=120°，
∴∠AOB=60°，
∴AB=OA=OB，
∴OB=BE，
∴∠BOE=∠BEO，
∴∠OEB=75°，
∴∠AEO=∠OEB−∠AEB=75°−45°=30°．
故选：C．
根据矩形的性质可得：OB=OC，AD//BC，∠ABC=∠BAD=90°，又由AE平分∠BAD，∠AOD=120°，即可求得：∠OBE与∠AEB的度数，以及△OAB是等边三角形，△ABE是等腰三角形，即可得：△OBE是等腰三角形，求得∠OEB的度数，则问题得解．
此题考查了矩形的性质，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的性质与判定，关键在证明OB=BE．
10.【答案】A
【解析】解：①在正方形ABCD中，OC=OD，∠COD=90°，∠ODC=∠OCB=45°，
∵∠EOF=90°，
∴∠COE=∠EOF−∠COF=90°−∠COF，
∴∠COE=∠DOF，
∴△COE≅△DOF(ASA)，
故①正确；
②由①全等可得OE=OF，
∴∠OEF=∠OCF=45°，∠OGE=∠CGF，
∴△OGE∽△FGC，
故②正确；
③由①全等可得四边形CEOF的面积与△OCD面积相等，
∴四边形CEOF的面积为正方形ABCD面积的14，
故③正确；
④∵△COE≅△DOF，
∴CE=DF，
∵四边形ABCD为正方形，
∴BC=CD，
∴BE=CF，
在Rt△ECF中，CE2+CF2=EF2，
∴DF2+BE2=EF2，
∵∠OCE=∠OEG=45°，∠EOG=∠COE，
∴△EOG∽△COE，
∴OGOE=EOCO，
∴OG⋅OC=EO2≠EF2，
∴DF2+BE2≠OG⋅OC，
故④不正确；
综上所述，正确的是①②③，
故选：A．
利用相似三角形的判定与性质和全等三角形的判定逐一分析即可得出正确答案．
本题主要考查相似三角形的判定与性质和全等三角形的判定，解题的关键是利用旋转全等证明出△COE≅△DOF，属于选择压轴题．
11.【答案】3
【解析】解： 48= 16×3=4 3，
∵ 48与最简二次根式 2a−3是同类二次根式，
∴2a−3=3，
解得：a=3，
故答案为：3．
首先化简二次根式 48，再根据同类二次根式定义可得2a−3=3，再解即可．
此题主要考查了同类二次根式，关键是掌握把二次根式化为最简二次根式后被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．
12.【答案】3
【解析】解：由题意，把x=0代入(m+3)x2+3x+m2−9=0，得m2−9=0，
解得m1=3，m2=−3．
又∵m+3≠0，即m≠−3，
则m=3符合题意．
故答案是：3．
把x=0代入(m+3)x2+3x+m2−9=0计算即可得到m的值，注意二次项系数不为0．
本题考查了一元二次方程的解的定义和一元二次方程的定义．已知方程的一个根，解题时往往都是将其代入方程进行计算其它字母的值或是去求方程的另一根等．
13.【答案】1
【解析】
【分析】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是求出k值．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据反比例函数图象上点的坐标特征得出与点的坐标有关的方程是关键．由点A的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可得出k值，再结合点B在反比例函数图象上，由此即可得出关于m的一元一次方程，解方程即可得出结论．
【解答】
解：∵点A(−2,3)在反比例函数y=kx(k≠0)的图象上，
∴k=−2×3=−6．
∵点B(m,−6)在反比例函数y=kx(k≠0)的图象上，
∴k=−6=−6m，
解得：m=1．
故答案为：1．
14.【答案】y=−3x
【解析】解：∵S阴影=3，
∴|a|=3，
∵图象在二、四象限，
∴a<0，
∴a=−3，
∴反比例函数解析式为y=−3x．
故答案为：y=−3x．
根据反比例函数k的几何意义可得|a|=3，再根据图象在二、四象限可确定a=−3，进而得到解析式．
此题主要考查了反比例函数k的几何意义，关键是掌握y=kx(k≠0)图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
15.【答案】(2,4)
【解析】解：∵矩形ABCD，点D的坐标为(1,2)，
∴AD=BC=2，
∵矩形BEFG，点F的坐标为(4,4)，
∴EF=BG=4，
∴ADBG=OAOB=24=12，
∴OB=2，
故点G的坐标是(2,4)．
故答案为：(2,4)．
直接利用位似图形的性质结合矩形的性质得出OB，BG的长，即可得出答案．
此题主要考查了位似变换，正确得出对应边的长是解题关键．
16.【答案】2
【解析】解：设小道进出口的宽度应为x m，则剩余部分可合成长为(30−2x)m，宽为(20−x)m的矩形，
依题意得：(30−2x)(20−x)=468，
整理得：x2−35x+300=0，
解得：x1=2，x2=35．
当x=2时，30−2x=26，符合题意；
当x=35时，30−2x=−40<0，不合题意，舍去．
故答案为：2．
设小道进出口的宽度应为xm，则剩余部分可合成长为(30−2x)m，宽为(20−x)m的矩形，根据矩形的面积计算公式，结合种植花草的面积为468m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
17.【答案】略
【解析】解：连接OP，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，AC=12，BD=16，
∴AC⊥BD，BO=12BD=8，OC=12AC=6，
∴BC= OB2+OC2= 82+62=10，
∵PE⊥AC，PF⊥BD，AC⊥BD，
∴四边形OEPF是矩形，
∴FE=OP，
∵当OP⊥BC时，OP有最小值，
此时S△OBC=12OB×OC=12BC×OP，
∴OP=6×810=4.8，
∴EF的最小值为4.8，
故答案为：4.8．
由菱形的性质可得AC⊥BD，BO=12BD=8，OC=12AC=6，再由勾股定理可求BC的长，然后证四边形OEPF是矩形，得EF=OP，OP⊥BC时，OP有最小值，最后由面积法可求解．
本题考查了菱形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理以及三角形面积等知识；掌握菱形的性质好矩形的判定与性质是解题的关键．
18.【答案】2202432023
【解析】解：设正方形CN1P1M1的边长为x，正方形M2N1N2P2的边长为y，正方形M3N2N3P3的边长为z，
由题意得：△ABC∽△AM1P1，
∴x=2(2−x)，
解得：x=43，即：P1M1=43=223，
同理：△AM1P1∽△P1M2P2，
∴y=2(43−y)，
解得：y=89，即：M2P2=89=2332，
同理：△P2M3P3∽△P1M2P2，
∴z=2(89−y)，
解得：z=89，即：M3P3=1627=2433，
由此规律得：
线段M2023P2023的长为：2202432023．
先根据相似三角形的性质求出前几个正方形的边长，找出它们之间案的关系，再求解．
本题考查了图形的变化类，找出变化规律是解题的关键．
19.【答案】解：(1)原式=4 2−3 2− 24
=3 24；
(2)原式=49−48−(3−2 3+1)
=1−4+2 3
=2 3−3；
(3)3x2−6x−5=0；
∴x2−2x=53，
则x2−2x+1=83，
即(x−1)2=83，
∴x−1=±2 63，
x1=1+2 63，x2=1−2 63；
(4)∵x(x−1)=2(1−x)，
∴x(x−1)+2(x−1)=0，
则(x−1)(x+2)=0，
∴x−1=0或x+2=0，
解得x1=1，x2=−2．
【解析】(1)先化简二次根式，再合并即可得答案；
(2)利用平方差公式和完全平方公式去括号，再合并即可得答案；
(3)利用配方法解方程即可；
(4)先移项，再提公因式，即可解方程．
本题考查二次根式的计算和解一元二次方程，掌握二次根式的计算法则和配方法，因式分解法解一元二次方程是解题关键．
20.【答案】解：过E作EH⊥CD交CD于H点，交AB于点G，
由已知得，EF⊥FD，AB⊥FD，CD⊥FD，
∵EH⊥CD，EH⊥AB，
∴四边形EFDH为矩形，
∴EF=GB=DH=1.7米，EG=FB=2米，GH=BD=6米，
∴AG=AB−GB=2.9−1.7=1.2(米)，
∵EH⊥CD，EH⊥AB，
∴AG//CH，
∴△AEG∽△CEH，
∴AGCH=EGEH，
∴1.2CH=22+6，
解得：CH=4.8，
∴CD=CH+DH=4.8+1.7=6.5(米)，
答：树高CD为6.5米．
【解析】过E作EH⊥CD交CD于H点，交AB于点G，可证明四边形EFDH为长方形，可得HD的长；可证明△AEG∽△CEH，故可求得CH的长，所以树高CD的长即可知．
本题考查了相似三角形在实际问题中的运用，关键是正确作出辅助线，构造出相似三角形．
21.【答案】解：(1)(270−210)×30=1800 (元)．
∴降价前商场每天销售该商品的利润是1800元．
(2)设每件商品应降价x元，
由题意，得(270−x−210)(30+3x)=1800×2，
解得x1=20，x2=30．
∵要更有利于减少库存，
∴x=30．
答：每件商品应降价30元．
【解析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
(1)根据总利润=单件利润×销售数量解答；
(2)根据总利润=单件利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论．
22.【答案】(1)证明：∵CE//OD，DE//OC，
∴四边形OCED是平行四边形，
∵矩形ABCD，
∴AC=BD，OC=12AC，OD=12BD，
∴OC=OD，
∴平行四边形OCED是菱形；
(2)解：在矩形ABCD中，∠ABC=90°，∠BAC=30°，AC=4，
∴BC=2，
∴AB=DC=2 3，
连接OE，交CD于点F，
∵四边形OCED为菱形，
∴F为CD中点，
∵O为BD中点，
∴OF=12BC=1，
∴OE=2OF=2，
∴S菱形OCED=12×OE×CD=12×2×2 3=2 3．
【解析】(1)根据平行四边形的判定得出四边形OCED是平行四边形，根据矩形的性质求出OC=OD，根据菱形的判定得出即可．
(2)利用含30度角的直角三角形的性质求出BC=2，AB=DC=2 3，连接OE，交CD于点F，根据菱形的性质得出F为CD中点，求出OF=12BC=1，求出OE=2OF=2，求出菱形的面积即可．
本题考查了矩形的性质，菱形的性质和判定，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键，
注意：菱形的面积等于对角线积的一半．
23.【答案】解：(1)证明：∵DE//AC，
∴∠DEB=∠FCE．
∵EF//AB，
∴∠DBE=∠FEC，
∴△BDE∽△EFC；
(2)①∵EF//AB，
∴BEEC=AFFC=12．
∵EC=BC−BE=12−BE，
∴BE12−BE=12，
解得：BE=4；
②∵AFFC=12，
∴FCAC=23．
∵EF//AB，
∴△EFC∽△BAC，
∴S△EFCS△ABC=(FCAC)2=(23)2=49，
∴S△ABC=94S△EFC=94×20=45．
【解析】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
(1)由平行线的性质得出∠DEB=∠FCE，∠DBE=∠FEC，即可得出结论；
(2)①由平行线分线段成比例得出BEEC=AFFC=12，即可得出结果；
②先求出FCAC=23，易证△EFC∽△BAC，由相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得出结果．
24.【答案】解：(1)3 ；1
(2) x<0或1
∴k+b=33k+b=1，
解得k=−1b=4，
∴一次函数的表达式为y=−x+4；
设直线y=−x+4与y轴交于点C，
则C(0,4)，
∵S△PAB=S△PBC−S△PAC=12PC⋅(3−1)=4，
∴PC=4，
∴P(0,0)或(0,8)．
【解析】解：(1)∵反比例函数y=mx的图象经过A(1,3)，
∴3=m1，则m=3，
∴反比例函数的表达式为y=3x，
又∵点B(3,n)在反比例函数y=3x的图象上．
∴n=1，
故答案为：3，1；
(2)∵A(1,3)，B(3,1)，
观察图象可知，不等式kx+b>mx的解集为x<0或1
(1)先把点A的坐标代入反比例函数解析式求出m的值，从而得出反比例函数解析式，再把点B的坐标代入反比例函数解析式求出n的值；
(2)根据图象即可求得；
(3)利用待定系数法求出一次函数解析式，根据直线解析式求出与y轴的交点C的坐标，然后根据三角形的面积公式S△PAB=S△PBC−S△PAC=4，列式进行计算即可求解．
本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，三角形的面积，根据点A的坐标求出反比例函数解析式是解题的突破口，也是解题的关键．
25.【答案】(1)证明：由题意知，BE=2t，AD=4t，则CD=AC−AD=60−4t，AE=AB−BE=30−2t，
∵DF⊥BC，∠A=60°，∠B=90°，
∴∠C=30°，∠DFC=∠B=90°，即DF//AE．
∴DF=12DC=30−2t，
∴DF=AE，
∴四边形AEFD是平行四边形；
(2)解：∵四边形AEFD是平行四边形，且AE=30−2t，AD=4t，
∴当AD=AE，即30−2t=4t时，四边形AEFD是菱形．
解得t=5，
故当t=5时，四边形AEFD为菱形；
(3)解：①当∠AED=90°时，△AED∽△ABC，
∴ADAC=AEAB，
∴4t60=30−2t30，
∴t=7.5秒；
②当∠ADE=90°时，△ADE∽△ABC，
∴ADAB=AEAC．
∴4t30=30−2t60．
∴t=3秒．
∴t=3秒或7.5秒时△AED与△ABC相似．
【解析】(1)由题意知BE=2t、AD=4t，根据Rt△ABC中∠A=60°得CD=60−4t、AE=30−2t，由DF⊥BC知DF//AE、DF=12DC=30−2t，从而得出DF=AE，据此可得证；
(2)由AD=AE即可得；
(3)分△AED∽△ABC、△ADE∽△ABC两种情况，根据相似三角形的性质列出比例式，代入计算即可．
本题属于相似综合题，主要考查的是菱形的判定、相似三角形的性质、直角三角形的性质，掌握相似三角形的性质定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
2022-2023学年山东省东营市河口区八年级（下）期末数学试卷（五四学制）
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 要使二次根式 x−3有意义，则x的值可以为( )
A. −2 B. 4 C. 2 D. 0
2. 下列计算结果，正确的是( )
A. (−3)2=−3 B. 2+ 5= 7 C. 2 3− 3=1 D. ( 5)2=5
3. 下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是( )
A. x2+1=0 B. x2−2x+1=0 C. x2+2x+4=0 D. x2−x−3=0
4. 若点A(−1,y1)，B(2,y2)，C(3,y3)在反比例函数y=−6x的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是( )
A. y1>y2>y3 B. y2>y3>y1 C. y1>y3>y2 D. y3>y2>y1
5. 已知四边形ABCD是平行四边形，下列说法正确的有( )
①当AB=BC时，它是矩形
②AC⊥BD时，它是菱形
③当∠ABC=90°时，它是菱形
④当AC=BD时，它是正方形
A. ①② B. ② C. ②④ D. ③④
6. 已知a4=b3，则a−bb的值是( )
A. 34 B. 43 C. 3 D. 13
7. 一次会议上，每两个参加会议的人都互相握了一次手，有人统计一共共握66次手．若设这次会议到会的人数为x人，依题意可列方程( )
A. 12x(x−1)=66 B. 12(1+x)2=66 C. x(1+x)=66 D. x(x−1)=66
8. 如图，在平行四边形ABCD中，E为BC边上的点，若BE：EC=1：2，AE交BD于F，则S△BEF：S△DFA等于( )
A. 1：2
B. 1：3
C. 1：4
D. 1：9
9. 如图，O是矩形ABCD的对角线交点，AE平分∠BAD，∠AOD=120°，∠AEO的度数为( )
A. 15° B. 25° C. 30° D. 35°
10. 如图，在正方形ABCD中，点O是对角AC、BD的交点，过点O作射线OM、ON分别交BC、CD于点E、F，且∠EOF=90°，EF、OC交于点G.给出下列结论：①△COE≌△DOF；②△OGE∽△FGC；③四边形CEOF的面积为正方形ABCD面积的14；④DF2+BE2=OG⋅OC.其中正确的是( )
A. ①②③ B. ①②③④ C. ①②④ D. ③④
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
11. 48与最简二次根式 2a−3是同类二次根式，则a=______．
12. 如果关于x的一元二次方程(m+3)x2+3x+m2−9=0有一个解是0，那么m的值是______．
13. 若点A(−2,3)、B(m,−6)都在反比例函数y=kx(k≠0)的图象上，则m的值是______．
14. 如图，点M是反比例函数y=ax(a≠0)的图象上一点，过M点作x轴、y轴的平行线，若S阴影=3，则此反比例函数的解析式为______ ．
15. 如图，已知矩形ABCD和矩形BEFG是位似图形，点O是位似中心，若点D的坐标为(1,2)，点F的坐标为(4,4)，则点G的坐标是______．
16. 如图，是一个长为30m，宽为20m的矩形花园，现要在花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草.如图所示，要使种植花草的面积为468m2，那么小道进出口的宽度应为______ m.
17. 14.(4分)如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，AC=12，BD=16，点P为边BC上一点，且P不与写B、C重合．过P作PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，连接EF，则EF的最小值等于____．
18. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=4.点M1，N1，P1分别在AC、BC、AB上，且四边形M1CN1P1是正方形，点M2，N2，P2分别在P1N1、BN1，BP1上，且四边形M2N1N2P2是正方形，…，点Mn，Nn，Pn分别在Pn−1Nn−1，BNn−1，BPn−1上，且四边形MnNn−1NnPn是正方形，则线段M2023P2023的长度是______ ．
三、解答题（本大题共7小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题12.0分)
计算、解方程：
(1) 32− 18− 18；
(2)(7+4 3)(7−4 3)−( 3−1)2；
(3)3x2−6x−5=0；
(4)x(x−1)=2(1−x)．
20. (本小题8.0分)
学完了《图形的相似》这一章后，某中学数学实践小组决定利用所学知识去测量一棵大树CD的高度，如图，直立在B处的标杆AB=2.9米，小爱站在F处，眼睛E处看到标杆顶A，树顶C在同一条直线上(人，标杆和树在同一平面内，且点F，B，D在同一条直线上).已知BD=6米，FB=2米，EF=1.7米，请根据以上测量数据，帮助实践小组求出该树的高度．
21. (本小题8.0分)
某商场以每件210元的价格购进一批商品，当每件商品售价为270元时，每天可售出30件，为了迎接“双十一购物节”，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价1元，那么商场每天就可以多售出3件．
(1)降价前商场每天销售该商品的利润是多少元？
(2)要使商场每天销售这种商品的利润达到降价前每天利润的两倍，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？
22. (本小题8.0分)
如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，且DE//AC，CE//BD．
(1)求证：四边形OCED是菱形；
(2)若∠BAC=30°，AC=4，求菱形OCED的面积．
23. (本小题9.0分)
如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，DE//AC，EF//AB．
(1)求证：△BDE∽△EFC．
(2)设AFFC=12，
①若BC=12，求线段BE的长；
②若△EFC的面积是20，求△ABC的面积．
24. (本小题10.0分)
如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=mx的图象交于点A(1,3)，B(3,n)．
(1)直接写出m=______；n=______；
(2)请结合图象直接写出不等式kx+b>mx的解集是______；
(3)若点P为y轴上一点，△PAB的面积为4，求点P的坐标．
25. (本小题11.0分)
如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=60cm，∠A=60°，点D从点A出发沿AC方向以4cm/s的速度向点C匀速运动，同时点E从点B出发沿BA方向以2cm/s的速度向点A匀速运动，设点D、E运动的时间是t秒(0
(2)当t为何值时，四边形AEFD为菱形？说明理由；
(3)当t为何值时，△ADE与△ABC相似？说明理由．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：由题意得：x−3≥0，
解得：x≥3，
因此，只有B选项的4满足条件，
故选：B．
根据二次根式有意义的条件可得x−3≥0，再解即可．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．
2.【答案】D
【解析】解： (−3)2=3，故选项A错误，不符合题意；
2+ 5不能合并，故选项B错误，不符合题意；
2 3− 3= 3，故选项C错误，不符合题意；
( 5)2=5，故选项D正确，符合题意；
故选：D．
计算出各个选项中式子的正确结果，即可判断哪个选项符合题意．
本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：A.x2+1=0中△=02−4×1×1=−4<0，没有实数根；
B.x2−2x+1=0中△=(−2)2−4×1×1=0，有两个相等实数根；
C.x2+2x+4=0中△=22−4×1×4=−12<0，没有实数根；
D.x2−x−3=0中△=(−1)2−4×1×(−3)=13>0，有两个不相等的实数根；
故选：D．
分别计算四个方程的判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2−4ac：当△>0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△<0，方程没有实数根．
4.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，利用反比例函数图象上点的坐标特征求出y1、y2、y3的值是解题的关键．
根据反比例函数图象上点的坐标特征求出y1、y2、y3的值，比较后即可得出结论．
【解答】
解：∵点A(−1,y1)、B(2,y2)、C(3,y3)在反比例函数y=−6x的图象上，
∴y1=−6−1=6，y2=−62=−3，y3=−63=−2，
又∵6>−2>−3，
∴y1>y3>y2.
故选：C．
5.【答案】B
【解析】解：①若AB=BC，则▱ABCD是菱形，选项说法错误；
②若AC⊥BD，则▱ABCD是菱形，选项说法正确；
③若∠ABC=90°，则▱ABCD是矩形，选项说法错误；
④若AC=BD，则▱ABCD是矩形，选项说法错误；
故选：B．
根据已知及各个特殊四边形的判定方法对各个选项进行分析从而得到最后答案．
此题考查了菱形，矩形，正方形的判定方法，对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形．
6.【答案】D
【解析】解：∵a4=b3，
∴ab=43，
∴a−bb=ab−1=43−1=13．
故选：D．
根据a4=b3得出ab=43，再把要求的式子化成ab−1，然后进行计算即可得出答案．
7.【答案】A
【解析】解：依题意得：12x(x−1)=66．
故选：A．
利用参会人员共握手次数=参会人数×(参会人数−1)÷2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：∵BE：EC=1：2，
∴设BE=x，则EC=2x，BC=3x，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=3x，AD//BC，
∴△BEF∽△DAF，
∴S△BEFS△DFA=(BEAD)2=19，
故选D．
通过证明△BEF∽△DAF，可得S△BEF：S△DFA=(BEAD)2=19，即可求解．
本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，∠ABC=∠BAD=90°，AC=BD，OB=12BD，OC=12AC，
∴OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∵∠BOC=∠AOD=120°，
∴∠OBC=30°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠EAD=45°，
∴∠AEB=∠EAD=∠BAE=45°，
∴AB=BE，
∵∠AOD=120°，
∴∠AOB=60°，
∴AB=OA=OB，
∴OB=BE，
∴∠BOE=∠BEO，
∴∠OEB=75°，
∴∠AEO=∠OEB−∠AEB=75°−45°=30°．
故选：C．
根据矩形的性质可得：OB=OC，AD//BC，∠ABC=∠BAD=90°，又由AE平分∠BAD，∠AOD=120°，即可求得：∠OBE与∠AEB的度数，以及△OAB是等边三角形，△ABE是等腰三角形，即可得：△OBE是等腰三角形，求得∠OEB的度数，则问题得解．
此题考查了矩形的性质，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的性质与判定，关键在证明OB=BE．
10.【答案】A
【解析】解：①在正方形ABCD中，OC=OD，∠COD=90°，∠ODC=∠OCB=45°，
∵∠EOF=90°，
∴∠COE=∠EOF−∠COF=90°−∠COF，
∴∠COE=∠DOF，
∴△COE≅△DOF(ASA)，
故①正确；
②由①全等可得OE=OF，
∴∠OEF=∠OCF=45°，∠OGE=∠CGF，
∴△OGE∽△FGC，
故②正确；
③由①全等可得四边形CEOF的面积与△OCD面积相等，
∴四边形CEOF的面积为正方形ABCD面积的14，
故③正确；
④∵△COE≅△DOF，
∴CE=DF，
∵四边形ABCD为正方形，
∴BC=CD，
∴BE=CF，
在Rt△ECF中，CE2+CF2=EF2，
∴DF2+BE2=EF2，
∵∠OCE=∠OEG=45°，∠EOG=∠COE，
∴△EOG∽△COE，
∴OGOE=EOCO，
∴OG⋅OC=EO2≠EF2，
∴DF2+BE2≠OG⋅OC，
故④不正确；
综上所述，正确的是①②③，
故选：A．
利用相似三角形的判定与性质和全等三角形的判定逐一分析即可得出正确答案．
本题主要考查相似三角形的判定与性质和全等三角形的判定，解题的关键是利用旋转全等证明出△COE≅△DOF，属于选择压轴题．
11.【答案】3
【解析】解： 48= 16×3=4 3，
∵ 48与最简二次根式 2a−3是同类二次根式，
∴2a−3=3，
解得：a=3，
故答案为：3．
首先化简二次根式 48，再根据同类二次根式定义可得2a−3=3，再解即可．
此题主要考查了同类二次根式，关键是掌握把二次根式化为最简二次根式后被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．
12.【答案】3
【解析】解：由题意，把x=0代入(m+3)x2+3x+m2−9=0，得m2−9=0，
解得m1=3，m2=−3．
又∵m+3≠0，即m≠−3，
则m=3符合题意．
故答案是：3．
把x=0代入(m+3)x2+3x+m2−9=0计算即可得到m的值，注意二次项系数不为0．
本题考查了一元二次方程的解的定义和一元二次方程的定义．已知方程的一个根，解题时往往都是将其代入方程进行计算其它字母的值或是去求方程的另一根等．
13.【答案】1
【解析】
【分析】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是求出k值．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据反比例函数图象上点的坐标特征得出与点的坐标有关的方程是关键．由点A的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可得出k值，再结合点B在反比例函数图象上，由此即可得出关于m的一元一次方程，解方程即可得出结论．
【解答】
解：∵点A(−2,3)在反比例函数y=kx(k≠0)的图象上，
∴k=−2×3=−6．
∵点B(m,−6)在反比例函数y=kx(k≠0)的图象上，
∴k=−6=−6m，
解得：m=1．
故答案为：1．
14.【答案】y=−3x
【解析】解：∵S阴影=3，
∴|a|=3，
∵图象在二、四象限，
∴a<0，
∴a=−3，
∴反比例函数解析式为y=−3x．
故答案为：y=−3x．
根据反比例函数k的几何意义可得|a|=3，再根据图象在二、四象限可确定a=−3，进而得到解析式．
此题主要考查了反比例函数k的几何意义，关键是掌握y=kx(k≠0)图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
15.【答案】(2,4)
【解析】解：∵矩形ABCD，点D的坐标为(1,2)，
∴AD=BC=2，
∵矩形BEFG，点F的坐标为(4,4)，
∴EF=BG=4，
∴ADBG=OAOB=24=12，
∴OB=2，
故点G的坐标是(2,4)．
故答案为：(2,4)．
直接利用位似图形的性质结合矩形的性质得出OB，BG的长，即可得出答案．
此题主要考查了位似变换，正确得出对应边的长是解题关键．
16.【答案】2
【解析】解：设小道进出口的宽度应为x m，则剩余部分可合成长为(30−2x)m，宽为(20−x)m的矩形，
依题意得：(30−2x)(20−x)=468，
整理得：x2−35x+300=0，
解得：x1=2，x2=35．
当x=2时，30−2x=26，符合题意；
当x=35时，30−2x=−40<0，不合题意，舍去．
故答案为：2．
设小道进出口的宽度应为xm，则剩余部分可合成长为(30−2x)m，宽为(20−x)m的矩形，根据矩形的面积计算公式，结合种植花草的面积为468m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
17.【答案】略
【解析】解：连接OP，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，AC=12，BD=16，
∴AC⊥BD，BO=12BD=8，OC=12AC=6，
∴BC= OB2+OC2= 82+62=10，
∵PE⊥AC，PF⊥BD，AC⊥BD，
∴四边形OEPF是矩形，
∴FE=OP，
∵当OP⊥BC时，OP有最小值，
此时S△OBC=12OB×OC=12BC×OP，
∴OP=6×810=4.8，
∴EF的最小值为4.8，
故答案为：4.8．
由菱形的性质可得AC⊥BD，BO=12BD=8，OC=12AC=6，再由勾股定理可求BC的长，然后证四边形OEPF是矩形，得EF=OP，OP⊥BC时，OP有最小值，最后由面积法可求解．
本题考查了菱形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理以及三角形面积等知识；掌握菱形的性质好矩形的判定与性质是解题的关键．
18.【答案】2202432023
【解析】解：设正方形CN1P1M1的边长为x，正方形M2N1N2P2的边长为y，正方形M3N2N3P3的边长为z，
由题意得：△ABC∽△AM1P1，
∴x=2(2−x)，
解得：x=43，即：P1M1=43=223，
同理：△AM1P1∽△P1M2P2，
∴y=2(43−y)，
解得：y=89，即：M2P2=89=2332，
同理：△P2M3P3∽△P1M2P2，
∴z=2(89−y)，
解得：z=89，即：M3P3=1627=2433，
由此规律得：
线段M2023P2023的长为：2202432023．
先根据相似三角形的性质求出前几个正方形的边长，找出它们之间案的关系，再求解．
本题考查了图形的变化类，找出变化规律是解题的关键．
19.【答案】解：(1)原式=4 2−3 2− 24
=3 24；
(2)原式=49−48−(3−2 3+1)
=1−4+2 3
=2 3−3；
(3)3x2−6x−5=0；
∴x2−2x=53，
则x2−2x+1=83，
即(x−1)2=83，
∴x−1=±2 63，
x1=1+2 63，x2=1−2 63；
(4)∵x(x−1)=2(1−x)，
∴x(x−1)+2(x−1)=0，
则(x−1)(x+2)=0，
∴x−1=0或x+2=0，
解得x1=1，x2=−2．
【解析】(1)先化简二次根式，再合并即可得答案；
(2)利用平方差公式和完全平方公式去括号，再合并即可得答案；
(3)利用配方法解方程即可；
(4)先移项，再提公因式，即可解方程．
本题考查二次根式的计算和解一元二次方程，掌握二次根式的计算法则和配方法，因式分解法解一元二次方程是解题关键．
20.【答案】解：过E作EH⊥CD交CD于H点，交AB于点G，
由已知得，EF⊥FD，AB⊥FD，CD⊥FD，
∵EH⊥CD，EH⊥AB，
∴四边形EFDH为矩形，
∴EF=GB=DH=1.7米，EG=FB=2米，GH=BD=6米，
∴AG=AB−GB=2.9−1.7=1.2(米)，
∵EH⊥CD，EH⊥AB，
∴AG//CH，
∴△AEG∽△CEH，
∴AGCH=EGEH，
∴1.2CH=22+6，
解得：CH=4.8，
∴CD=CH+DH=4.8+1.7=6.5(米)，
答：树高CD为6.5米．
【解析】过E作EH⊥CD交CD于H点，交AB于点G，可证明四边形EFDH为长方形，可得HD的长；可证明△AEG∽△CEH，故可求得CH的长，所以树高CD的长即可知．
本题考查了相似三角形在实际问题中的运用，关键是正确作出辅助线，构造出相似三角形．
21.【答案】解：(1)(270−210)×30=1800 (元)．
∴降价前商场每天销售该商品的利润是1800元．
(2)设每件商品应降价x元，
由题意，得(270−x−210)(30+3x)=1800×2，
解得x1=20，x2=30．
∵要更有利于减少库存，
∴x=30．
答：每件商品应降价30元．
【解析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
(1)根据总利润=单件利润×销售数量解答；
(2)根据总利润=单件利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论．
22.【答案】(1)证明：∵CE//OD，DE//OC，
∴四边形OCED是平行四边形，
∵矩形ABCD，
∴AC=BD，OC=12AC，OD=12BD，
∴OC=OD，
∴平行四边形OCED是菱形；
(2)解：在矩形ABCD中，∠ABC=90°，∠BAC=30°，AC=4，
∴BC=2，
∴AB=DC=2 3，
连接OE，交CD于点F，
∵四边形OCED为菱形，
∴F为CD中点，
∵O为BD中点，
∴OF=12BC=1，
∴OE=2OF=2，
∴S菱形OCED=12×OE×CD=12×2×2 3=2 3．
【解析】(1)根据平行四边形的判定得出四边形OCED是平行四边形，根据矩形的性质求出OC=OD，根据菱形的判定得出即可．
(2)利用含30度角的直角三角形的性质求出BC=2，AB=DC=2 3，连接OE，交CD于点F，根据菱形的性质得出F为CD中点，求出OF=12BC=1，求出OE=2OF=2，求出菱形的面积即可．
本题考查了矩形的性质，菱形的性质和判定，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键，
注意：菱形的面积等于对角线积的一半．
23.【答案】解：(1)证明：∵DE//AC，
∴∠DEB=∠FCE．
∵EF//AB，
∴∠DBE=∠FEC，
∴△BDE∽△EFC；
(2)①∵EF//AB，
∴BEEC=AFFC=12．
∵EC=BC−BE=12−BE，
∴BE12−BE=12，
解得：BE=4；
②∵AFFC=12，
∴FCAC=23．
∵EF//AB，
∴△EFC∽△BAC，
∴S△EFCS△ABC=(FCAC)2=(23)2=49，
∴S△ABC=94S△EFC=94×20=45．
【解析】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
(1)由平行线的性质得出∠DEB=∠FCE，∠DBE=∠FEC，即可得出结论；
(2)①由平行线分线段成比例得出BEEC=AFFC=12，即可得出结果；
②先求出FCAC=23，易证△EFC∽△BAC，由相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得出结果．
24.【答案】解：(1)3 ；1
(2) x<0或1
∴k+b=33k+b=1，
解得k=−1b=4，
∴一次函数的表达式为y=−x+4；
设直线y=−x+4与y轴交于点C，
则C(0,4)，
∵S△PAB=S△PBC−S△PAC=12PC⋅(3−1)=4，
∴PC=4，
∴P(0,0)或(0,8)．
【解析】解：(1)∵反比例函数y=mx的图象经过A(1,3)，
∴3=m1，则m=3，
∴反比例函数的表达式为y=3x，
又∵点B(3,n)在反比例函数y=3x的图象上．
∴n=1，
故答案为：3，1；
(2)∵A(1,3)，B(3,1)，
观察图象可知，不等式kx+b>mx的解集为x<0或1
(1)先把点A的坐标代入反比例函数解析式求出m的值，从而得出反比例函数解析式，再把点B的坐标代入反比例函数解析式求出n的值；
(2)根据图象即可求得；
(3)利用待定系数法求出一次函数解析式，根据直线解析式求出与y轴的交点C的坐标，然后根据三角形的面积公式S△PAB=S△PBC−S△PAC=4，列式进行计算即可求解．
本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，三角形的面积，根据点A的坐标求出反比例函数解析式是解题的突破口，也是解题的关键．
25.【答案】(1)证明：由题意知，BE=2t，AD=4t，则CD=AC−AD=60−4t，AE=AB−BE=30−2t，
∵DF⊥BC，∠A=60°，∠B=90°，
∴∠C=30°，∠DFC=∠B=90°，即DF//AE．
∴DF=12DC=30−2t，
∴DF=AE，
∴四边形AEFD是平行四边形；
(2)解：∵四边形AEFD是平行四边形，且AE=30−2t，AD=4t，
∴当AD=AE，即30−2t=4t时，四边形AEFD是菱形．
解得t=5，
故当t=5时，四边形AEFD为菱形；
(3)解：①当∠AED=90°时，△AED∽△ABC，
∴ADAC=AEAB，
∴4t60=30−2t30，
∴t=7.5秒；
②当∠ADE=90°时，△ADE∽△ABC，
∴ADAB=AEAC．
∴4t30=30−2t60．
∴t=3秒．
∴t=3秒或7.5秒时△AED与△ABC相似．
【解析】(1)由题意知BE=2t、AD=4t，根据Rt△ABC中∠A=60°得CD=60−4t、AE=30−2t，由DF⊥BC知DF//AE、DF=12DC=30−2t，从而得出DF=AE，据此可得证；
(2)由AD=AE即可得；
(3)分△AED∽△ABC、△ADE∽△ABC两种情况，根据相似三角形的性质列出比例式，代入计算即可．
本题属于相似综合题，主要考查的是菱形的判定、相似三角形的性质、直角三角形的性质，掌握相似三角形的性质定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
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