2023年湖南省长沙市长沙县中考数学三模试卷（含解析）

这是一份2023年湖南省长沙市长沙县中考数学三模试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年湖南省长沙市长沙县中考数学三模试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 在数轴上表示负数a的点与原点O的距离是1，则负数a等于(    )
A. 1 B. −1 C. ±1 D. 0
2. “着眼长远，共同推动中法中欧关系行稳致远”.2023年4月初，国家主席习近平同法国总统马克龙，欧盟委员会主席冯德莱恩举行中法中欧三方会唔，共同呵护中法中欧关系的稳定性.2022年中欧双边货物贸易总额达847300000000美元，同比增长2.4%，中欧双方互为重要贸易伙伴，双边贸易持续上升，中欧合作关系良好.将数据“847300000000”用科学记数法表示为(    )
A. 0.8473×1012 B. 8.473×1011 C. 84.73×1010 D. 847.3×109
3. 如图，是一个几何体的表面展开图，那么这个几何体的名称是(    )
A. 正三棱柱
B. 正三棱锥
C. 圆柱
D. 圆锥
4. 如图，将一束平行光线射入一张对边平行的纸板，若图中∠1=75°，则∠2的度数是(    )
A. 75°
B. 105°
C. 110°
D. 120°
5. 如图，AB是半圆O的直径，点D，C是半圆上的三等分点，则∠ACD的度数是(    )


A. 20° B. 30° C. 40° D. 50°
6. 下列计算，正确的是(    )
A. 4a−2a=2 B. a+3a=3a2 C. 8a6÷4a2=2a3 D. 5a⋅a=5a2
7. 如图，在平面直角坐标系中，点A(1,2)，B(2,2)，C(3,2)，D(−1,2)，平移这四个点中的一个点，使得这四个点关于y轴对称，则正确的平移过程是(    )


A. 将点A向左平移3个单位长度 B. 将点B向左平移4个单位长度
C. 将点C向左平移5个单位长度 D. 将点D向右平移6个单位长度
8. 在2023年长沙中考理科实验考查中，某校九年级毕业生的插标成绩统计如下：
插标成绩(分)
20
19
18
17
16
15
得分人数(人)
9
4
2
1
1
1
那么该校九年级毕业生理科实验插标成绩的中位数和众数分别是(    )
A. 18，19 B. 18.5，20 C. 19，20 D. 19.5，20
9. 《九章算术》中记载：“今有上禾三秉，益实六斗，当下禾十秉；下禾五秉，益实一斗，当上禾二秉．问上、下禾实一秉各几何？”其大意是：今有上等稻子三捆，若打出来的谷子再加六斗，则相当于十捆下等稻子打出来的谷子；有下等稻子五捆，若打出来的谷子再加一斗，则相当于两捆上等稻子打岀来的谷子．问上等、下等稻子每捆打多少斗谷子？设上等稻子每捆打x斗谷子，下等稻子每捆打y斗谷子，根据题意可列方程组为(    )
A. 3x+6=10y5y+1=2x B. 3x−6=10y5y−1=2x C. 3y+6=10x5x+1=2y D. 3y−6=10x5x−1=2y
10. 如图，AB⊥BC于点B，DC⊥BC于点C，点E是线段BC上一个动点，AE⊥EF于点E，射线EF交射线CD于点F，BC=2AB=8，设BE=x，CF=y，当点E从点B运动到点C时，y与x的函数图象大致是(    )
A. B.
C. D.
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 49=______．
12. 若x=1是一元二次方程2x2−4x+k=0的根，则k的值等于______ ．
13. 分解因式：3x2y−6xy2+xy= ______ ．
14. 如图，在△ABC中，∠ABC=50°，AB=AC=4，点D是BC边的中点，则AD的长等于______ .(用含50°的三角函数值表示)


15. 为拓展学生视野，某校今年春季开展了研学活动，研学基地平面图大致如图所示，学生李想，瑞希从A入口进入基地开展活动，2小时后活动结束.若学生从每个出口离开的可能性相等，则李想，瑞希两位同学都从C出口离开的概率是______ ．


16. 小丽、小刚、小亮三人按如下步骤玩扑克牌：
第一步：每个人取相同数量的扑克牌(每个人扑克牌的数量相等，且均不少于2张)．
第二步：小丽拿出2张扑克牌给小亮．
第三步：小刚拿出1张扑克牌给小亮．
第四步；小丽现在有几张扑克牌，小亮就拿出几张扑克牌给小丽．
若此时小丽的扑克牌数是小亮的扑克牌数的2倍，则此时小刚有______ 张扑克牌．
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题6.0分)
计算：(2023−π)0+(−13)−2−4sin60°+ 12．
18. (本小题6.0分)
先化简，再求值：(1x+1−1)÷x3−xx2+2x+1，其中x=2．
19. (本小题6.0分)
阅读下列作图过程，完成解答.第(1)问将正确答案填写在横线上，第(2)问将正确答案的序号填写在括号内.如图，线段AB是半圆O的直径，按如下步骤作图：
第一步：分别以点B、点O为圆心，大于12OB的长为半径作弧，两弧交于点E，F；
第二步：作直线EF交半圆于点C，交AB于点D；
第三步：连接AC、BC．
(1)求证：△ACD∽△ABC；
证明：因为线段AB是半圆O的直径，所以∠ACB= ______ ．
由作图可知，直线EF垂直平分OB，所以∠ADC= ______ ．
所以∠ADC=∠ACB，且∠CAD= ______ ．
所以△ACD∽△ABC.(推理依据：______ )
(2)若BD=2，则AC的长等于______ ．
A.4
B.5
C.4 3
D.5 3

20. (本小题8.0分)
为提升学生的核心素养，长沙县某教育教学联合体开展了城乡读书交流活动.该教育教学联合体的某成员校号召全体师生积极捐书.为了解所捐书的种类，校团委对部分书籍进行了随机抽样调查，所捐书籍分为四类：文学类(记作A类)，艺术类(记作B类)，科普类(记作C类)，其他类(记作D类).学生张华根据收集的数据绘制了如图1，图2所示的不完整的统计图，请根据统计图提供的信息，解答下面的问题：

(1)木次随机抽样调查的书籍的本数是______ 本；a= ______ ；D类扇形圆心角的度数等于______ °；
(2)通过计算，补全图①中的条形统计图．
(3)本次活动，该校一共捐书1000本，请你估计文学类的书籍约有多少本？
21. (本小题8.0分)
如图，在△ABC中，点E是BC边的中点，点D是AB边上的一个动点，且不与点A，点B重合，过点C作CF//AB交DE的延长线于点F．
(1)求证：△BED≌△CEF；
(2)若∠BAC=90°，AC=6，当DE⊥AB时，求DF的值．

22. (本小题9.0分)
“叶儿粑”被引进长沙后，经过改良，成为了长沙的特色小吃，深受广大市民的喜爱.某商家推出了“芽菜肉馅叶儿粑”和“花生芝麻馅叶儿粑”销售，其中“花生芝麻馅叶儿粑”比“芽菜肉馅叶儿粑”每个贵1元，且销售20个“花生芝麻馅叶儿粑”和销售30个“芽菜肉馅叶儿粑”价格相同．
(1)求“芽菜肉馅叶儿粑”和“花生芝麻馅叶儿粑”销售价每个分别是多少元？
(2)若“芽菜肉馅叶儿粑”成本是每个1元，“花生芝麻馅叶儿粑”成本是每个2.5元.五一劳动节这天，该商家准备生产2000个“叶儿粑”销售，其中“花生芝麻馅叶儿粑”的数量不少于“芽菜肉馅叶儿粑”数量的2倍，试求该商家这天利润的最大值，此时这两种“叶儿粑”的数量分别是多少个？
23. (本小题9.0分)
如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点F是DC边上个动点．
(1)若AO=AD，求证：△ADO是等边三角形；
(2)在(1)的条件下，若∠DCO=2∠CAF，DF=3，求矩形ABCD的面积．

24. (本小题10.0分)
如图，△ABC内接于半径为1的⊙O，AB=AC，过点A作AD//BC，BO的延长线交AC于点E，交直线AD于点D，连接AO．
(1)求证：AD是⊙O的切线；
(2)若DA=DE，求图中阴影部分的面积；
(3)记△ABO的面积为S1，△AEO的面积为S2，△BEC的面积为S3，若S1S3+S2S3=15，求AE2的值．

25. (本小题10.0分)
已知m (1)当1≤x≤2时，试判断下列函数哪些是“星联函数”？是“星联函数”的在括号内划“√”，不是“星联函数”的在括号内划“×”；
①y=4x ______ ；
②y=−2x ______ ；
③y=−3x2+1 ______ ．
(2)若当m≤x≤n时，一次函数y=nx+m(n≠0)是“星联函数”，试求出该一次函数的解析式，并求出该函数的“星联距离”；
(3)当m≤x≤n时，“星联函数”解析式为y=−x2+72，求该函数的“星联距离”．
答案和解析

1.【答案】B 
【解析】解：∵数轴上点a与原点的距离等于1，
则|a|=1，
∴a=±1，
∵a是负数，
∴a=−1，
故选：B．
设数轴上与原点的距离等于1的点所表示的数是a，则|a|=1，由a为负数，即可得出结论．
本题考查了数轴及绝对值，熟知数轴的定义和绝对值的定义是解题的关键．

2.【答案】B 
【解析】解：84 730 0000 000=8.473×1011，
故选：B．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

3.【答案】A 
【解析】解：由题意知，这个几何体的名称是正三棱柱，
故选：A．
由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题．
本题主要考查几何体的展开图，熟练掌握简单几何体的展开图是解题的关键．

4.【答案】B 
【解析】解：如图，

∵AB//CD，
∴∠1=∠ABC=75°，
∵AD//BC，
∴∠2+∠ABC=180°，
∴∠2=180°−∠ABC=180°−75°=105°．
故选：B．
由平行线的性质可得∠1=∠ABC，∠2+∠ABC=180°，以此即可求出∠2的度数．
本题主要考查平行线的性质，熟知平行线的性质是解题关键．平行线性质定理：定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．

5.【答案】B 
【解析】解：如图，连接OC，OD，

∵C，D是半圆上的三等分点，
∴AD=CD=BC，
∴∠AOD=∠COD=∠BOC=13×180°=60°，
∴∠ACD=12∠AOD=30°，
故选：B．
连接OC，OD，根据圆心角、弧、弦的关系求得∠AOD的度数，再利用圆周角定理即可求得答案．
本题考查圆心角、弧、弦的关系及圆周角定理，结合已知条件求得∠AOD的度数是解题的关键．

6.【答案】D 
【解析】解：4a−2a=2a，故选项A错误，不符合题意；
a+3a=4a，故选项B错误，不符合题意；
8a6÷4a2=2a4，故选项C错误，不符合题意；
5a⋅a=5a2，故选项D正确，符合题意；
故选：D．
根据合并同类项的方法可以判断A、B；根据单项式的除法可以判断C；根据单项式的乘法可以判断D．
本题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．

7.【答案】C 
【解析】解：如图，在平面直角坐标系中，点A(1,2)，B(2,2)，C(3,2)，D(−1,2)，平移这四个点中的一个点，使得这四个点关于y轴对称，则正确的平移过程是：将点B向左平移5个单位长度或者将点C向左平移5个单位长度，
故选：C．
根据题意可得：点A和点D已经关于y轴对称，然后平移点B或点C，即可解答．
本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，坐标与图形变化−平移，熟练掌握关于y轴对称的点的坐标特征是解题的关键．

8.【答案】D 
【解析】解：共有9+4+2+1+1+1+1=18(人)，20分出现的次数最多，众数为20，
第9和10两个数的平均数为20+192=19.5，故中位数为19.5，
故选：D．
根据众数、中位数的定义进行计算即可．
本题考查了众数、中位数，掌握它们的计算方法是解题的关键．

9.【答案】A 
【解析】解：设上等稻子每捆打x斗谷子，下等稻子每捆打y斗谷子，
根据题意可列方程组为：3x+6=10y5y+1=2x．
故选：A．
设上等稻子每捆打x斗谷子，下等稻子每捆打y斗谷子，分别利用已知“今有上等稻子三捆+6=十捆下等稻子打出来的谷子；有下等稻子五捆+1=两捆上等稻子打岀来的谷子“分别得出等量关系求出答案．
此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，正确得出等量关系是解题关键．

10.【答案】C 
【解析】解：∵AE⊥EF，
∴∠AEB+∠FEC=90°，
∵AB⊥BC于点B，DC⊥BC于点C，
∴∠B=∠C=90°，
∴∠BAE+∠AEB=90°，
∴∠BAE=∠FEC，
∴△ABE∽△ECF，
∴ABEC=BEFC，
∵BC=2AB=8，BE=x，CF=y，
∴EC=8−x，
∴48−x=xy，
整理后得：y=−14x2+2x，
配方后得到：y=−14(x−4)2+4，
从而得到图象为抛物线，开口朝下，顶点坐标为(4,4)．
故选：C．
点E在运动过程中，AE⊥EF是保持不变的，则可以证出△ABE∽△ECF，通过边的比值计算得出y与x的函数关系式为二次函数，从而确定了选项在C、D中产生，再通过配方法得出顶点坐标就能得到答案．
本题考查了动点问题的函数图象，函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．

11.【答案】7 
【解析】解： 49=7，
故答案为：7．
根据开方运算，可得一个正数的算术平方根．
本题考查了算术平方根，利用了开方运算，注意一个正数只有一个算术平方根．

12.【答案】2 
【解析】解：把x=1代入方程2x2−4x+k=0得2−4+k=0，
解得k=2，
即k的值为2．
故答案为：2．
把x=1代入一元二次方程得2−4+k=0，然后解关于k的方程即可．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．

13.【答案】xy(3x−6y+1) 
【解析】解：3x2y−6xy2+xy
=xy(3x−6y+1)，
故答案为：xy(3x−6y+1)．
通过提取公因式进行解题即可．
本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法，能正确提取公因式是解题的关键．

14.【答案】4sin50° 
【解析】解：∵AB=AC=4，
∴△ABC是等腰三角形，
而D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
在Rt△ADB中，
AD=AB⋅sin∠ABC=4sin50°，
故答案为：4sin50°．
由AB=AC=4，则△ABC是等腰三角形，而D是中点，所以AD⊥BC，在Rt△ADB中，AD=AB⋅sin∠ABC，进而作答．
本题考查了等腰三角形中线的性质和三角函数，解题的关键是在直角三角形中三角函数的应用

15.【答案】19 
【解析】解：列树状图如下：

一共有9种等可能的情况，其中李想，瑞希两位同学都从C出口离开的有1种情况，
∴李想，瑞希两位同学都从C出口离开的概率是19．
故答案为：19．
画树状图，共有9种等可能的结果，再由概率公式求解即可．
本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

16.【答案】6 
【解析】解：设每个人的扑克牌有a张，
根据第二、三步得：小丽：(a−2)张；小刚：(a−1)张；小亮：(a+3)张；
根据第四步得：小亮取出(a−2)张扑克给小丽，
此时小丽：2(a−2)张，小亮：(a+3)−(a−2)=a+3−a+2=5(张)，
∵此时小丽的扑克牌数是小亮的扑克牌数的2倍，
∴2(a−2)=10，
解得：a=7，
∴a−1=7−1=6，
则小刚此时有6张扑克．
故答案为：6．
设每个人的扑克牌有a张，根据二、三、四步表示出此时小丽与小亮的扑克数，由小丽的扑克牌数是小亮的扑克牌数的2倍列出方程，求出方程的解得到a的值，进而确定出此时小刚的扑克数．
此题考查了整式的加减，弄清题意是解本题的关键．

17.【答案】解：(2023−π)0+(−13)−2−4sin60°+ 12
=1+9−4× 32+2 3
=1+9−2 3+2 3
=10． 
【解析】先计算二次根式、零次幂、负整数指数幂和特殊角的三角函数值，再计算乘法，最后计算加减．
先计算二次根式、零次幂、负整数指数幂和特殊角的三角函数值，再计算乘法，最后计算加减．

18.【答案】解：(1x+1−1)÷x3−xx2+2x+1
=1−x−1x+1⋅(x+1)2x(x+1)(x−1)
=−xx(x−1)
=11−x，
当x=2时，原式=11−2=−1． 
【解析】先算括号内的式子，然后计算括号外的除法，最后将x的值代入化简后的式子计算即可．
本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．

19.【答案】90°  90°  ∠BAC  有两个角对应相等的两个三角形相似  C 
【解析】(1)证明：∵线段AB是半圆O的直径，
∴∠ACB=90°，
由作图可知，直线EF垂直平分OB，
∴∠ADC=90°，
∴∠ADC=∠ACB，
∵∠CAD=∠BAC，
∴△ACD∽△ABC.(推理依据：有两个角对应相等的两个三角形相似)．
故答案为：90°；90°；∠BAC；有两个角对应相等的两个三角形相似；
(2)解：由作图可知，BD=OD=2，
∴OA=OB=4，
∴AD=6，AB=8．
由(1)知：△ACD∽△ABC，
∴ACAB=ADAC，
∴AC2=AB⋅AD=8×6=48，
∴AC=4 3．
故选：C．
(1)利用基本作图的性质，线段垂直平分线的作法与性质，圆周角定理和相似三角形的判定解答即可；
(2)利用相似三角形的性质解答即可得出结论．
本题主要考查了尺规作图，圆的有关性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，线段垂直平分线的作法与性质，熟练掌握圆的有关性质是解题的关键．

20.【答案】100  25  54 
【解析】解：(1)本木次随机抽样调查的书籍的本数是40÷40%=100(本)，
扇形统计图中a%=25100×100%=25%，即a=25；
D类扇形圆心角的度数为：360°×15100=54°．
故答案为：100，25，54；
(2)B类别人数为：100−(25+40+15)=20，
补全图形如下：

(3)1000×25%=250(本)，
答：估计文学类的书籍约有250本．
(1)由C类别数量除以其所占百分比可得样本容量，用A类别数量除以总数量可得a的值，再用360°乘以D类别数量所占比例即可得；
(2)根据各类别数量之和等于总数量求得B的数量，据此可补全图形；
(3)用总数量乘以样本中A类别所占比例．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．

21.【答案】(1)证明：∵点E是BC边的中点，
∴BE=CE，
∵CF//AB，
∴∠BDE=∠F，
在△BED和△CEF中，
∠BDE=∠F∠BED=∠CEFBE=CE，
∴△BED≌△CEF(AAS)．
(2)解：∵DE⊥AB
∴∠BDE=∠ADE=90°，
∴∠F=∠BDE=90°，
∵∠BAC=90°，
∴四边形ACFD是矩形，
∴DF=AC=6，
∴DF的值为6． 
【解析】(1)由中点的定义得BE=CE，由CF//AB得∠BDE=∠F，而∠BED=∠CEF，即可根据全等三角形的判定定理“AAS”证明△BED≌△CEF；
(2)由DE⊥AB得∠BDE=∠ADE=90°，由平行线的性质得∠F=∠BDE=90°，而∠BAC=90°，则四边形ACFD是矩形，所以DF=AC=6．
此题重点考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定等知识，适当选择全等三角形的判定定理证明△BED≌△CEF是解题的关键．

22.【答案】解：(1)设“花生芝麻馅叶儿粑”每个销售价为x元，则“芽菜肉馅叶儿粑”每个销售价为(x−1)元．
依题意得：20x=30(x−1)，
解得：x=3，
∴x−1=2(元)．
答：“芽菜肉馅叶儿粑”每个销售价为2元，“花生芝麻馅叶儿粑”销售价每个3元．
(2)设准备“花生芝麻馅叶儿粑”a个，a为正整数，
则准备“芽菜肉馅叶儿粑”(2000−a)个，总利润为W元．
∵“花生芝麻馅叶儿粑”的数量不少于“芽菜肉馅叶儿粑”数量的2倍，
∴a≥2(2000−a)，
解得：a≥40003，
由(1)可知：“芽菜肉馅叶儿粑”每个销售价为2元，“花生芝麻馅叶儿粑”销售价每个3元．
∴W=(2−1)⋅(2000−a)+(3−2.5)a，
整理得：W=−0.5a+2000，
对于W=−0.5a+2000，W随a的增大而减小，
∴当a为最小时，W为最大，
又∵a≥40003，且a为正整数，
∴a的最小值为1333，
∴当a=1333时，W为最大，此时W=−0.5×1333+2000=1333.5(元)．
∴当a=1333时，2000−a=667(个)
答：该商家这天利润的最大值为1333.5元，“花生芝麻馅叶儿粑”的数量为1333个，“芽菜肉馅叶儿粑”的数量为667个． 
【解析】(1)设“花生芝麻馅叶儿粑”每个销售价为x元，则“芽菜肉馅叶儿粑”每个销售价为(x−1)元，然后根据：销售20个“花生芝麻馅叶儿粑”和销售30个“芽菜肉馅叶儿粑”价格相同，列出方程求解即可；
(2)设准备“花生芝麻馅叶儿粑”a个，a为正整数，则准备“芽菜肉馅叶儿粑”(2000−a)个，总利润为W元，首先根据“花生芝麻馅叶儿粑”的数量不少于“芽菜肉馅叶儿粑”数量的2倍得：a≥40003，再由(1)的结论得W=−0.5a+2000，最后再根据一次函数的增减性可得出答案．
此题主要考查了一元一次方程和一次函数的应用，解答(1)的关键是设置适当的未知数，根据等量关系“销售20个“花生芝麻馅叶儿粑”和销售30个“芽菜肉馅叶儿粑”价格相同”列出方程；解答(2)的关键是设置适当的未知数，求出一次函数关系式和自变量的取值范围，难点是根据一次函数的增减性求出函数的最大值．

23.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO=DO，
∵AO=AD，
∴AO=AD=OD，
∴△ADO是等边三角形．
(2)解：由(1)可得∠DAO=60°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB=90°，∠DCO=∠CAB=2∠CAF，
∴∠CAB=30°，
∴∠CAF=15°，∠DAF=45°，
∴DA=DF=3，AC=BD=6，
由勾股定理可得AB=3 3，
∴矩形的面积为3×3 3=9 3， 
【解析】(1)根据矩形的性质可得AO=DO，又AO=AD可：△ADO是等边三角形．
(2)由矩形的性质中可得∠DAB=90°，∠DCO=∠CAB=2∠CAF，由(1)可得∠DAO=60°，进而求得∠CAB=30°，∠CAF=15°，∠DAF=45°，故DA=DF=3，AC=BD=6，由勾股定理可得AB=3 3即可求出矩形的面积．
本题主要考查矩形的性质，等边三角形的判定，特殊直角三角形的性质，掌握性质是解题关键．

24.【答案】(1)证明：延长AO，交BC于点F，如图，
∵AB=AC，
∴AB=AC，
∵OA为⊙O的半径，
∴OF⊥BC．
∵AD//BC，
∴OA⊥AD．
∵OA为⊙O的半径，
∴AD是⊙O的切线；
(2)解：∵AB=AC，OF⊥BC，
∴∠ABC=∠ACB，AF平分∠BAC，
∴∠BAO=∠CAO．
设∠BAO=∠CAO=α，
∴∠BAC=2α，
∴∠ABC=∠ACB=90°−α，
∵DA//BC，
∴∠DAE=∠C=90°−α．
∵DA=DE，
∴∠DAE=∠DEA=90°−α．
∵OA=OB，
∴∠OBA=∠OAB=α，
∴∠AOD=2α．
∵∠AED=∠AOD+∠OAC，
∴∠AED=3α．
∴3α=90°−α，
∴α=22.5°，
∴∠AOD=2α=45°．
∴△AOD为等腰直角三角形．
∵△ABC内接于半径为1的⊙O，
∴OA=AD=1，
∴图中阴影部分的面积=S△OAD−S扇形OAD
=12OA⋅AD−45π×12360
=12−π8．
(3)解：∵S1S3+S2S3=15，
∴S1+S2=15S3．
∵S1+S2=S△ABE，
∴S△ABES△BEC=15．
∵S△ABES△BEC=AEEC，
∴AEEC=15．
∴AEAC=16．
∵AB=AC，
∴AEAB=16．
由(2)知：∠BAO=∠CAO，
∴EOOB=AEAB=16，
∴EO=16OB=16．
∵∠CAO=∠ABO=α，∠AEB=∠OEA，
∴△AEB∽△OEA，
∴AEOE=BEAE，
∴AE2=OE⋅BE=16(16+1)=736． 
【解析】(1)延长AO，交BC于点F，利用垂径定理，平行线的性质和圆的切线的判定定理解答即可；
(2)设∠BAO=∠CAO=α，三角形的内角和定理及其推论和圆周角定理求得α值，再利用图中阴影部分的面积=S△OAD−S扇形OAD解答即可；
(3)利用等高的三角形的面积比等于底的比，得到AEEC=15，进而得到AEAB=16，利用角平分线的性质定理得到OE的长度，再利用相似三角形的判定与性质解答即可得出结论．
本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形的内角和定理及其推论，圆的有关计算，扇形的面积，三角形的面积，角平分线的性质定理，等腰直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握圆的有关性质是解题的关键．

25.【答案】√  ×  × 
【解析】解：(1)①∵1≤x≤2，
∴1≥1x≥12，
∴4≥4x≥2，
∴y=4x是“星联函数”．
故答案为：√．
②∵1≤x≤2，
∴−2≥−2x≥−4，
∴y=−2x不是“星联函数”．
故答案为：×．
③∵1≤x≤2，
∴−2≥y≥−11，
∴y=−3x2+1不是“星联函数”．
(2)①若n>0，y随x的增大而增大，
∴当x=m时，y=2m；当x=n时，y=2n，得mn+m=2mn2+m=2n，即m(n−1)=0n2−2n+m=0．
解得：m=0，n=2；n=1，m=1(根据题意，舍去)．
∴该一次函数的解析式为y=2x，星联距离为2n−2m=2(n−m)=4．
②若n<0，y随x的增大而减小，
∴当x=m时，y=2n；当x=n时，y=2m，得mn+m=2nn2+m=2m，即mn+m−2n=0n2=m．
解得：n=0，m=0(根据题意，舍去)；n=1，m=1(根据题意，舍去)；n=−2，m=4(根据题意，舍去)．
综上，该一次函数的解析式为y=2x，星联距离为2n−2m=2(n−m)=4．
(3)①若m≤x≤n≤0，y随x的增大而增大，得−m2+72=2m−n2+72=2n，即2m2+4m−7=02n2+4n−7=0．
解得：m=−1+3 22，n=−1+3 22(根据题意，舍去)；m=−1+3 22，n=−1−3 22(根据题意，舍去)；m=−1−3 22，n=−1+3 22；m=−1−3 22，n=−1−3 22(根据题意，舍去)．
∴星联距离为2n−2m=2(n−m)=2×[(−1+3 22)−(−1−3 22)]=3 2．
②若m≤x<0 当|m|≥|n|时，得−m2+72=2m2n=72，即2m2+4m−7=02n=72．
解得：m=−1+3 22，n=74(根据题意，舍去)；m=−1−3 22，n=74．
∴星联距离为2n−2m=2(n−m)=11+6 24．
当|m|<|n|时，得−n2+72=2m2n=72，即2n2+4m−7=02n=72．
解得：m=732，n=74(舍去)．
若0≤m≤x≤n，得−m2+72=2n−n2+72=2m，即2m2+4n−7=02n2+4m−7=0．
解得：m=n=−1±3 22(根据题意，舍去)；m=1− 22，n=1+ 22；m=1+ 22，n=1− 22(根据题意，舍去)．
∴星联距离为2n−2m=2(n−m)=2×[(1+ 22)−(1− 22)]=2 2．
综上，该函数的“星联距离”为2 2、3 2或11+6 24．
(1)根据“星联函数”的定义判断即可；
(2)根据一次函数的性质，讨论n分别为正负时y的最大值和最小值；
(3)讨论x在不同的取值区间，y的最大值和最小值．
本题主要考查一次函数、二次函数、反比例函数的性质及待定系数法求函数的解析式和一元一次不等式的解法，考查的内容比较多，综合性较强，分情况讨论较多，解题过程非常复杂，计算很容易出错，一定要认真、细心．