初中数学人教版八年级上册第十四章 整式的乘法与因式分解14.3 因式分解14.3.1 提公因式法一等奖教学作业课件ppt

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14.3.1 提公因式法
人教版数学八年级上册
1.理解因式分解的意义和概念及其与整式乘法的区别和联系.（重点）2.理解并掌握提公因式法并能熟练地运用提公因式法分解因式.（难点）
(1)已知：a=46，b=54，x=6，求ax2+bx2的值；(2)已知：a=101，b=99，求a2-b2的值.
=3600
=400
你能说说算得快的原因吗？
解：(1)ax2+bx2=x2(a+b)=36×(46+54)=3600(2)a2-b2=(a+b)(a-b)=(101+99)(101-99)=200×2=400
我们知道，利用整式的乘法运算，有时可以将几个整式的乘积化为一个多项式的形式. 反过来，在式的变形中，有时需要将一个多项式写成几个整式的乘积的形式.
请把下列多项式写成整式的乘积的形式：(1) x2+x=__________；(2) x2-1=__________.
x(x+1)
(x+1) (x-1)
我们把一个多项式化成了几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.
因式分解与整式乘法是方向相反的变形，即
因式分解
整式乘法
 
 
A
【点睛】因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解的右边是两个或几个因式积的形式，整式乘法的右边是多项式的形式．
 
D
观察下列多项式有何共同特点？ ab+ac； 3x2+x； mb2+nb+b.
ab+ac； 3x2+x； mb2+nb+b.
多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式. 如：pa+pb+pc的公因式是p.
说出下列各多项式的公因式：(1) ma+mb；_____ (2) 4kx-8ky；_____(3) 5y3+20y2；_____ (4) a2b-2ab2+ab. _____
m
4k
5y2
ab

正确找出多项式的公因式的步骤：
1.定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数.2.定字母：字母取多项式各项中都有的相同的字母.3.定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母的最低次数.
 
【分析】解：因为5a2b(b−a)＝−5a2b(a−b)，−120a3b3(a2−b2)＝−120a3b3(a＋b)(a−b)，所以式子15a3b3(a−b)，5a2b(b−a)，−120a3b3(a2−b2)中的公因式是5a2b(b−a)．故选：A．
 
C
A
 
3．多项式2xmyn-1﹣4xm-1yn（m，n均为大于1的整数）各项的公因式是（　 ）A．4xm-1yn-1 B．2xm-1yn-1 C．2xmyn D．4xmyn
 
C
C
B
ma+mb+mc=
m(a+b+c)
公因式
提公因式法
如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.
例3.把8a3b2 + 12ab3c分解因式.
分析：8与12的最大公约数是___；相同字母有___和___；a的最低指数___，b的最低指数___；公因式是_____.
解：8a3b2+12ab3c=4ab2·2a2+4ab2·3bc=4ab2(2a2+3bc)
4
a
b
1
2
4ab2
可用整式乘法来检验因式分解是否正确.
例4.把下列各式分解因式：(1) 2a(b+c) - 3(b+c)； (2) 3x2-6xy+x.
解：(1) 2a(b+c)-3(b+c)=(b+c)(2a-3)
(2) 3x2-6xy+x=x(3x-6y+1)
【点睛】提公因式法步骤（分两步） 第一步：找出公因式； 第二步：提取公因式，将多项式化为两个因式的乘积.公因式既可以是一个单项式的形式，也可以是一个多项式的形式.可用整式乘法来检验因式分解是否正确.
把下列各式分解因式：(1) ax+ay (2) 3mx-6my (3) 8m2n+2mn (4) 12xyz-9x2y2(5) 2a(y-z)-3b(z-y) (6) p(a2+b2)-q(a2+b2)
解：(1) ax+ay=a(x+y)(2) 3mx-6my=3m(x-2y)(3) 8m2n+2mn=2mn(4m+1)(4) 12xyz-9x2y2=3xy(4z-3xy)(5) 2a(y-z)-3b(z-y)=2a(y-z)+3b(y-z)=(y-z)(2a+3b)(6) p(a2+b2)-q(a2+b2)=(a2+b2)(p-q)
例5.计算：(1)39×37－13×91； (2)29×20.21＋72×20.21＋13×20.21－20.21×14.
解：(1)原式＝3×13×37－13×91＝13×(3×37－91)＝13×20＝260；(2)原式＝20.21×(29＋72＋13－14)＝2021.
【点睛】在计算求值时，若式子各项都含有公因式，用提取公因式的方法可使运算简便．
 
 
B
 
B
C
B
 
A
C
B
 
11
-10
2017
2018
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
16．阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：1+x+x(x+1)+x(x+1)2=(1+x)[1+x+x(x+1)]=(1+x)2(1+x)=(1+x)3(1)上述分解因式的方法是____________，共应用了______次.(2)若分解1+x+x(x+1)+x(x+1)2+···+ x(x+1)2004，则需应用上述方法______次，结果是_______.(3)分解因式：1+x+x(x+1)+x(x+1)2+···+ x(x+1)n(n为正整数).
（3）分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）2···+x（x+1）n（n为正整数）的结果是：（x+1）n+1．
提公因式法
2
2004
(x+1)2005
我们把一个多项式化成了几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.
因式分解与整式乘法是方向相反的变形，即
因式分解
整式乘法

正确找出多项式的公因式的步骤：
1.定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数.2.定字母：字母取多项式各项中都有的相同的字母.3.定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母的最低次数.
多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式. 如：pa+pb+pc的公因式是p.
ma+mb+mc=
m(a+b+c)
公因式
提公因式法
如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.