四川省攀枝花市2022-2023学年高一下学期期末数学试题

这是一份四川省攀枝花市2022-2023学年高一下学期期末数学试题，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

四川省攀枝花市2022-2023学年高一下学期期末数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．已知向量，，若，则（    ）
A． B． C． D．2
2．计算
A． B． C． D．
3．已知一组数据的方差是，那么另一组数据，，，，的方差是（    ）
A． B． C．1 D．3
4．在中，为上一点，且，则（    ）
A． B．
C． D．
5．在单位圆中，已知角的终边与单位圆交于点，现将角的终边按逆时针方向旋转，记此时角的终边与单位圆交于点，则点的坐标为（    ）
A． B． C． D．
6．在正方体中，与直线不垂直的直线是（    ）
A． B． C． D．
7．设l，m是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题不正确的是（    ）
A．若l∥m，l⊥，则m⊥ B．若l∥m，l∥，则m∥
C．若l∥，m⊥，则l⊥m D．若，则l⊥m
8．已知平面向量，，.则下列结论正确的是（    ）
A．的最小正周期为
B．在区间上单调递增
C．点为图象的一个对称中心
D．将的图象向左平移个单位长度后得到的函数图象关于轴对称

二、多选题
9．对于复数（，），下列说法正确的是（    ）
A．若，则为实数
B．若，则为纯虚数
C．若，，则在复平面上对应的点位于第四象限
D．若，则在复平面上对应的点的集合所构成的图形的面积为4
10．甲、乙两人在相同的条件下投篮5轮，每轮甲、乙各投篮10次，投篮命中次数的情况如图所示（实线为甲的折线图，虚线为乙的折线图），则以下说法正确的是（　　）.

A．甲投篮命中次数的众数比乙的大
B．甲投篮命中的成绩比乙的稳定
C．甲投篮命中次数的平均数为7
D．甲投篮命中次数的第40百分位数是6
11．的内角的对边分别为，，，则下列判断正确的是（    ）
A．若，则
B．若，则是钝角三角形
C．在锐角中，不等式恒成立
D．在中，若，则是等腰三角形
12．如图，在菱形中，，，将沿折起，使A到，点不落在底面内，若为线段的中点，则在翻折过程中，以下说法正确的是（    ）
  
A．存在某一位置，使得
B．异面直线，所成的角为定值
C．四面体的表面积的最大值为
D．当二面角的余弦值为时，四面体的外接球的半径为

三、填空题
13．已知复数，则 .
14．已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标是 .
15．口味鲜美的甜筒冰淇淋是人们在炎炎夏日中消暑解渴的必备佳品.如图，甜筒冰淇淋形状为旋转体，由一个圆锥与一个半球组合而成，其中圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，则这个组合体的体积为 .
  

四、双空题
16．已知的内角的对边分别为，，，且满足，，则 ；的中线的最大值为 .

五、解答题
17．已知向量与的夹角为，，.
(1)求及；
(2)求向量与向量的夹角.
18．如图，正三棱柱的各条棱长均为2，是的中点.

(1)求证：平面；
(2)求点到平面的距离.
19．某校对高一下学期期中数学考试成绩（单位：分）进行分析，随机抽取100名学生，将分数按照，，，，，分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图：
  
(1)求的值，并计算样本学生的数学考试成绩的平均分；
(2)为了进一步了解学生数学成绩与学习习惯等方面的关系，按数学考试成绩再从这100人中用分层抽样的方法抽出20人进行分析，则数学考试成绩在内的应抽多少人？
20．在①，②，③这三个条件中任选一个作为已知条件，补充在下面的问题中，然后解答补充完整的题.的内角所对的边分别为，，，已知 （只需填序号）.
(1)求角；
(2)若是锐角三角形，边长，求面积的取值范围.
注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
21．2023年4月20日，今年第1号台风“珊瑚”在西北太平洋洋面上生成，其中心附近最大风力8级.台风中心A位于某海岛正东方向200处，且它正向西北方向移动，移动速度的大小为20，距台风中心150以内的地区都将受到影响.若台风中心的这种移动趋势不变，请解答以下问题：
(1)海岛所在地是否会受到台风的影响？请说明理由；
(2)若海岛所在地受到台风的影响，大约多长时间后受到影响？持续时间有多长？
（参考数据：）
22．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，平面，平面平面，，，为的中点．

(1)求证：；
(2)求二面角的正切值．

参考答案：
1．B
【分析】根据向量共线的坐标表示，列式计算，即得答案.
【详解】由题意知向量，，
故由，得,
故选:B
2．B
【详解】试题分析：
考点：复数运算

3．D
【分析】根据方差的性质直接运算求解.
【详解】由题意可得：，，，，的方差是.
故选：D.
4．C
【分析】根据平面向量的加法、减法、数乘运算及平面向量基本定理即可求解.
【详解】  
由题意知，，因为，且，
所以，故答案为C.
故选：C
5．B
【分析】先由三角函数的定义求得，再由正余弦和角公式求得，即可求得点的坐标.
【详解】由三角函数定义知：，将角的终边按逆时针方向旋转，此时角变为，
故点的横坐标为，
点的纵坐标为，
故点的坐标为.
故选：B.
6．C
【分析】在正方体中，借助线面垂直关系进行判断.
【详解】如图所示，

在正方形中，；
因为平面，故；
连接、，因为，所以与所成的角为，不垂直；
易得平面，所以；所以C正确.
故选：C.
7．B
【分析】利用线面平行、垂直的判定及性质对各选项逐一分析判断即可作答.
【详解】对于A，由直线与平面垂直的判定知，A正确；
对于B，当l∥m，l∥时，m可以在内，此时m与不平行，B不正确；
对于C，l∥，过l的平面交于直线n，于是有l∥n，而m⊥，则有m⊥n，l⊥m，C正确；
对于D，由线面垂直的定义知，D正确.
故选：B
8．D
【分析】根据向量的数量积的坐标运算以及三角恒等变换整理得.对A、B、C：根据题意结合正弦函数分析判断；对D：根据三角函数图象变换结合诱导公式分析判断.
【详解】由题意可得：.
对于选项A：的最小正周期为，故A错误；
对于选项B：因为，则，
且在上单调递增，在上单调递减，
所以在区间上不单调，故B错误；
对于选项C：因为，
所以点不为图象的一个对称中心，故C错误；
对于选项D：将的图象向左平移个单位长度后，
得到，关于轴对称，故D正确；
故选：D.
9．AC
【分析】根据复数的概念以及几何意义，结合圆的性质，可得答案.
【详解】对于A，由，，则，故A正确；
对于B，当时，，故B错误；
对于C，由，则其在复平面上对应的点为，由，，则该点在第四象限，故C正确；
对于D，，则在复平面上对应的点的集合所构成的图形为以原点为圆心，以为半径的圆，则其面积，故D错误.
故选：AC.
10．BC
【分析】由折线图得到甲乙投篮5次命中次数的数据，再根据众数、方差和平均数与百分位数的计算，逐项判定，即可得到答案.
【详解】由折线图可知，甲投篮5轮，命中的次数分别为，
乙投篮5轮，命中的次数分别为，
对A，甲投篮命中次数的众数为，乙投篮命中的众数为9，所以A错误；
对B，甲投篮命中次数的数据集中在平均数的左右，方差较小，乙投篮命中的次数数据比较分散，方差较大，所以甲的成绩更稳定一些，所以B正确，
对C，甲投篮命中次数的平均数为，所以C正确；
对D，甲投篮5轮，命中的次数从小到大为，故第40百分位数是，故D错误；
故选：BC.
11．ABC
【分析】对A、B：根据正、余弦定理运算求解；对C：根据正弦定理结合诱导公式运算求解；对D：利用正弦定理结合三角恒等变换运算求解.
【详解】对于选项A：因为，由正弦定理可得，所以，故A正确；
对于选项B：因为，由正弦定理可得，
则，且，可得角为钝角，
所以是钝角三角形，故B正确；
对于选项C：因为为锐角三角形，则，，
可得，则，
又因为在上单调递增，所以，故C正确；
对于选项D：因为，有正弦定理可得，
则，且，，
可得，，即不可能同时大于，
所以或，即或，
可得是等腰三角形或直角三角形，故D错误；
故选：ABC.
12．ACD
【分析】假设存在某一位置，使得，根据空间线面垂直的判定，可判断A；作出异面直线，所成的角，结合余弦定理计算可判断B；利用基本不等式结合三棱锥表面积的计算，可判断C；判断四面体为正四面体，补成正方体，可求得外接球半径，判断D.
【详解】对于A，不妨假设存在某一位置，使得，
连接交于点O，连接，取的中点为N，连接，
为线段的中点，故；
  
由于在菱形中，，
而为线段的中点，故，
由于平面，故平面，
平面，故，
而，故，即为正三角形，则，
故，
又，且，故,
由于，故，
因为，满足，
即当时，使得，A正确；
对于B，因为，故异面直线，所成的角即为或其补角，
而，
由于长不是定值，故不是定值，
即异面直线，所成的角不为定值，B错误；
对于C，由题意可知,
因为，故，
当且仅当时取得等号，
故的最大值为2，而，
则四面体的表面积的最大值为，C正确；
对于D，因为，故为二面角的平面角，
即，所以，
即，而，
则四面体为正四面体，故将其补成如图所示正方体，且正方体棱长为，
  
则该正方体的外接球即为四面体的外接球，
正方体的体对角线长即为外接球直径，则外接球半径为，
即四面体的外接球半径为，D正确，
故选：ACD
【点睛】难点点睛：本题综合考查了空间线线、线面位置以及异面直线所成角以及几何体表面积和体积问题以及多面体外接球问题，综合性强，难度较大，解答的关键是要能灵活应用空间几何的相关知识，充分发挥空间想象，结合相关定义解决问题.
13．
【分析】根据复数的模长公式直接运算求解.
【详解】由题意可得：.
故答案为：.
14．
【分析】根据投影向量的定义，结合数量积以及模的计算，可得答案.
【详解】由题意得，，
故向量在向量上的投影向量是，
故答案为：
15．
【分析】根据题意结合圆锥和球的体积公式运算求解.
【详解】由题意可知：圆锥的母线长，底面半径，球的半径，
则圆锥的高，
所以组合体的体积为.
故答案为：.
16． /
【分析】空1：根据题意结合正、余弦定理运算求解；空2：根据基本不等式可得，结合向量的运算求解.
【详解】空1：因为，由正弦定理可得，
由余弦定理可得，
且，所以；
空2：因为，可得，
由，当且仅当时，等号成立，所以，
又因为为的中线，则，
可得
，
所以，即中线的最大值为.
故答案为：；.
17．(1)3；1
(2)

【分析】（1）根据数量积的定义可计算求得的值；根据模的计算公式可求得；
（2）求出的值，根据向量的夹角公式即可求得答案.
【详解】（1）由题意；
；
（2）由题意得，
故，由于，
故.
18．(1)证明见解析
(2)

【分析】（1）根据线面平行的判定定理即可证明结论；
（2）根据等体积法，即即可求得答案.
【详解】（1）证明：连接交于E点，连接，

在正三棱柱中，四边形为矩形，
故为的中点，而是的中点.，
故，平面，平面，
故平面；
（2）由于正三棱柱的各条棱长均为2，是的中点，
故，
而,
即有，即,
所以,
由于，设点到平面的距离为d，
则，则.
19．(1)，估计样本学生的数学考试成绩的平均分分
(2)数学考试成绩在内的应抽取人

【分析】（1）根据频率分布直方图结合频率的性质可得，进而可求平均数；
（2）根据分层抽样运算求解.
【详解】（1）由题意可知：分组的频率依次为，
则，解得，
估计样本学生的数学考试成绩的平均分（分）.
（2）由（1）可知：的频率为，
所以数学考试成绩在内的应抽取人.
20．(1)
(2)

【分析】（1）选①：根据正弦定理结合三角恒等变换运算求解；选②：根据正弦定理结合切化弦运算求解；选③：利用余弦定理边角转化，运算求解即可；
（2）利用正弦定理结合正切函数可得，再结合面积公式运算求解.
【详解】（1）若选①：因为，由正弦定理可得，
且，可得，整理得，
注意到，则，可得，所以；
若选②：因为，由正弦定理可得，
注意到，则，
可得，即，所以；
若选③：因为，由余弦定理可得，
整理得，则，
注意到，所以.
（2）因为是锐角三角形，，
则，解得，
由正弦定理可得，则，
可得，则，所以，
故面积，
所以面积的取值范围为.
21．(1)会；理由见解析
(2)大约4.57小时后受到影响，持续时间大约5小时

【分析】（1）建立平面直角坐标系，求出海岛到台风移动的方向的最短距离，比较即得结论；
（2）设t小时后台风中心的位置，根据距台风中心150以内的地区都将受到影响，列出关于t的不等式，求得t的范围，即可求得答案.
【详解】（1）如图，以某海岛为坐标原点，正东方向为x轴，过点B的垂直方向为y轴，
建立平面直角坐标系，
  
则(km)，设台风中心沿着l移动（西北方向），
作，垂足为D，则（km）,
由于，故海岛所在地会受到台风的影响；
（2）设t小时后台风中心的位置为，
即，
由于距台风中心150以内的地区都将受到影响，
故令，解得，
即约为，
即海岛所在地受到台风的影响，大约4.57小时后受到影响，持续时间大约5小时.
22．(1)证明见解析；
(2).

【分析】（1）过在平面内作，垂足为点，证明出，由线面垂直的性质可得出，利用线面垂直的判定和性质可证得结论成立；
（2）过点在平面内作，垂足为点，连接，证明出平面，可得出为二面角的平面角，计算出的长，即可求得的正切值，即可得解.
【详解】（1）证明：过在平面内作，垂足为点，
平面平面，平面平面，平面，
平面，
平面，则，
平面，平面，，
，平面，平面，.
（2）解：过点在平面内作，垂足为点，连接，

由（1）知平面，平面，，
，，所以，平面，
因为平面，所以，，
所以，为二面角的平面角，
平面，平面，，
，，则，
为的中点，所以，，
由，
，因此，二面角的正切值为.