2023届高三数学一轮复习大题专练06导数零点个数问题2含解析

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一轮大题专练6—导数（零点个数问题2）
1．已知函数．
（1）证明：有唯一极值点；
（2）讨论的零点个数．
解：（1）．
设，则，故单调递增．
又，．
故存在唯一，使得．
当时，，单调递减；当时，，单调递增．
故是的唯一极值点；
（2）由（1）是的极小值点，且满足．
又；
同理．
故时，有两个零点；时，有一个零点；时，无零点．
又
令，解得，即．
令，
此时关于单调递增，故．
令，解得，即．
此时，故
令，解得，即．
此时关于单调递增，故．
综上所述：当时，有两个零点；
当时，有一个零点；
当时，无零点．
2．已知函数．
（1）求函数的单调区间和极值；
（2）画出函数的大致图象，并说明理由；
（3）求函数的零点的个数．
解：（1）函数，定义域为，则，
令，解得，
当时，，则单调递减，当时，，则单调递增，
故当时，函数有极小值，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为，有极小值，，无极大值；
（2）令，解得，当时，，当时，，
所以的图象经过特殊点，，，
当时，与一次函数相比，指数函数呈爆炸式增长，增长速度更快，
结合（1）中的单调性与极值情况，作出函数的图象如图所示：
（3）函数的零点的个数为函数的图象与直线的交点个数，
由（1）以及（2）的图象可知，当时，有极小值，
结合函数的图象，所以关于函数的零点的个数如下：
当时，零点的个数为0个；
当或时，零点的个数为1个；
当时，零点的个数为2个．

3．已知函数．
（1）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围；
（2）当时，讨论函数的零点个数，并给予证明．
解：（1），
由题意得，即在区间上恒成立，
当时，，所以，
故实数的取值范围是，．
（2）由已知得，则，
当时，，函数单调递减，
又，（1），故函数有且只有一个零点．
当时，令，得，函数单调递减；
令，得，函数单调递增，
而，在上恒成立），
由于，所以，
所以在，上存在一个零点，
又，且，
设（a），（a）在恒成立，
故（a）在上单调递增，
而，所以（a）在上恒成立，所以，
所以在，上存在一个零点．
综上所述，当时，函数有且只有一个零点；
当时，有两个零点．
4．已知函数，其中，．
（1）当时，求曲线在点，处的切线方程；
（2）判断函数是否存在极值，若存在，请判断是极大值还是极小值；若不存在，说明理由；
（3）讨论函数在，上零点的个数．
解：（1）时，，，，
，，，
故切线方程是：；
（2），
设，，
故递减，，
又时，，
①若，即时，使，
当时，，递增，
当，时，，递减，
在处取极大值，不存在极小值，
②若，即，，
在，递增，此时无极值，
（3）由（2）可知：
若时，由上问可知：
，
即时函数没有零点，
若时，，时，递增，
，时，递减，
由得，从而，
再设，则从而关于递增，
①若，，此时，，
若得或，
时无零点，
得，
时有1个零点，
当时，，，有1个零点，
因此时无零点，时有1个零点；
②，，此时，，
，，
，
设，则，
故，
若即，即时无零点，
若即，即时有1个零点，
综上，，，时无零点，
，时有1个零点．
5．设，．
（1）讨论在，上的单调性；
（2）令，试判断在上的零点个数，并加以证明．
解：（1），
令，则，或，
时，，单调递增，
，时，，单调递减，
时，，单调递增，
，时，，单调递减，
综上，的单调递增区间为和，
单调递减区间为，和，．
（2）在上有3个零点，证明如下：
，则，
故是的一个零点，
，
是偶函数，
要确定在上的零点个数，只需确定时，的零点个数即可，
①当时，，
令，即，，
时，，单调递减，，
，时，，单调递增，，
在有唯一零点．
②当时，由于，，，
而在，单调递增，，故，
故在，无零点，
在有一个零点，
由于是偶函数，在有一个零点，而，
故在上有且仅有3个零点．
6．已知函数的图象在点处的切线方程为．
（1）若对任意有恒成立，求实数的取值范围；
（2）若函数在区间内有3个零点，求实数的范围．
解：（1），．
函数的图象在点处的切线的方程为．
（1），（1），
，解得，．
．
，
，．
当时，函数取得最大值，．
对任意有恒成立，．
．
实数的取值范围是，．
（2）由（1）可得：
，
，
令，解得，1．
列表如下：




1



0

0


单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
由表格可知：当时，函数取得极小值（1）；当时，函数取得极大值
．
要满足函数在区间内有3个零点，
，
解得，
则实数的取值范围．