2023届高三数学一轮复习大题专练11导数有解问题1含解析

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一轮大题专练11—导数（有解问题1）
1．已知函数，其中．
（1）当时，求函数的最值；
（2）若存在唯一整数，使得，求实数的取值范围．
解：（1）当时，，
，且为定义在，，上的偶函数，
令，解得，且当，，时，，当，，时，，
（1），无最大值；
（2）即，
令，，作出函数与的大致图象如下，

易知恒过点，且，
由图象可知，要使存在唯一整数，使得，则，即，解得．
故实数的取值范围为．
2．已知函数．
（1）当时，判断函数在区间内极值点的个数；
（2）当时，证明：方程在区间上有唯一解．
解：（1）当时，，，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以函数在区间内有且仅有1个极值点．
（2）方程，即为方程，
即为方程，
令，，
则，
又，所以在上恒成立，
所以在上单调递减，
又因为（1），
时，，
令，可得，
所以，
所以存在，，使，
即方程在区间上有唯一解．
3．记，为的导函数．若对，，则称函数为上的“凸函数”．已知函数．．
（1）若函数为，上的凸函数，求的取值范围；
（2）若方程在，上有且仅有一个实数解，求的取值范围．
解：（1），，
若为，上的凸函数，则对恒成立，
即对恒成立，而在，单调递增，
，，解得：，故的取值范围是．
（2）由得，令，（1），
，
当时，对恒成立，在，上单调递增，
又（1），在，上有且只有1个实数根，符合题意，
当时，令得，，
若即时，对恒成立，在，单调递减，
在，上有且只有1个实数根，符合题意，
若即时，在，递增，在，递减，
，，，
故存在，，即在，上有2个零点，
综上，的取值范围是，，．
4．已知函数．
（Ⅰ）求函数的单调递增区间；
（Ⅱ）若是函数的极值点，且关于的方程有两个实根，求实数的取值范围．
解：（Ⅰ），，，
当时，，函数在单调递增，
当时，令，解得：，
当时，，函数在递增；
综上：当时，函数的递增区间是，
当时，函数的递增区间是．
（Ⅱ），是函数的极值点，
（1），解得：，
，
方程即，
设，则，
故在递增，在递减，
故（1），
，，
设，则，
，
故函数在递减，在递增，
故（1），
又当无限增大或无限接近0时，都趋近于0，
故，
故实数的取值范围是，．
5．已知函数．
（1）当时，求曲线在点，（1）处的切线方程；
（2）当时，函数有两个零点，求正整数的最小值．
解：（1）时，，，
，（1），（1），
故切线方程是，即；
（2），当时，由可得，
由得，由，得，
①若时，在上单调递增，至多1个零点，不合题意，
②若时，函数在上单调递减，在上单调递减，
（1），故若函数有2个零点，则，
令，，则，在递减，
又（2），（3），（4），
故存在使得，则的解集是，，
综上，的取值范围是，，，
故正整数的最小值是4．
6．已知函数．
（1）设曲线在处的切线方程为，求证：；
（2）若方程有两个根，，求证：．
证明：（1），则，
故，，
故切线方程是：，即，
令，则，
令，解得：，令，解得：，
故在递减，在，递增，
故，即；
（2）不妨设，直线与相交于点，
又由（1）知：，则，
从而，当且仅当，时取“”，
下面证明：，
由于，故，即证，
令，则，
令，解得：，令，解得：，
故在递减，在递增，
故（e），即成立，当且仅当，时取“”，
由于等号成立的条件不同时满足，
故．
7．已知函数的导函数为．
（1）当时，求证：；
（2）若只有一个零点，求的取值范围．
解：，
（1）证明：当时，，
设，则，
故在单调递增，在单调递减，
又由于，故，由于，
故，即；
（2）注意到（1），
①若，，
故在上单调递减，取，
则，
故存在使得（a），即在上只有1个零点，
②若，当时，，而，故，
当时，，
故，即在上无零点，
③当时，，，在上单调递增，
设且，当时，，
故存在使得（b），即在上只有1个零点，
综上：若只有1个零点，，，．