2023届高三数学一轮复习大题专练13导数任意存在性问题1含解析

这是一份2023届高三数学一轮复习大题专练13导数任意存在性问题1含解析，共8页。试卷主要包含了已知是自然对数的底数，，，设函数，其中，已知函数，已知函数，，已知函数，，等内容，欢迎下载使用。
一轮大题专练13—导数（任意、存在性问题1）
1．已知是自然对数的底数，，．
（1）当时，求证：在上单调递增；
（2）是否存在实数，对任何，都有？若存在，求出的所有值；若不存在，请说明理由．
解：（1）证明：，
分
，，
，
当时，在上单调递增；
（2）解：由（1）知，当时，在上单调递增，
此时，，由于，，
，与题意不符；分
当时，设，则在上单调递增，
根据函数与的性质得与的图象在第一象限有唯一的交点，设交点的横坐标为，
则，即，
，即，
，
当时，，故，所以在上是减函数；
当时，，，所以在，上是增函数，
当时，取得最小值，且的最小值为，
对，都有，分
设（a），则（a），
当时，（a），所以（a）在上是增函数；
当时，（a），所以（a）在上是减函数；
当时，（a）取得最大值，且（a）的最大值为（1）；
当时，（a），即，且“”成立，
由得，
，
综上所述，存在唯一的实数，且，，都有．分
2．设函数，其中．
（1）讨论的单调性；
（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围；
（3）求证：对于任意，存在实数，当时，恒成立．
解：（1），，
①当时，恒成立，所以在上为减函数；
②当时，由，得，由，得；
由，得，
所以在上为减函数，在上为增函数；
（2）由得，，即不等式，恒成立，
记，则，由得，；
由得，；由得，．
所以在为增函数，在上为减函数，
所以，所以；
（3）证明：由（1）知，
当时，在上为减函数，在上为增函数．
①当，即时，因为在上为增函数，
又（1），所以，当时，，此时取；
②当，即时，
因为，
所以，，
令，，则上式，
记，，则，
所以在上为增函数，
所以（1），即，
因为在上为增函数，且，
所以当时，，此时取．
综上，对于任意，存在实数，当时，恒成立．
3．已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若存在实数，使得恒成立的值有且只有一个，求的值．
解：（1），的定义域是，
，
当时，，在上单调递增，
当时，令，解得：，
当时，，当，时，，
在上单调递增，在，上单调递减；
综上：当时，在上单调递增，
当时，在上单调递增，在，上单调递减；
（2）恒成立，即恒成立，
令，则，
①当时，，单调递增，
要使在上恒成立，
只需，
，此时不唯一，不合题意；
②当时，令，解得：，
在上单调递增，
要使在上恒成立，只需，
，此时不唯一，不合题意；
③当时，令，解得：，
当时，，单调递减，
当，时，，单调递增，
，
要使在上恒成立，且的值唯一，只需，
整理得，
令，则，
令，解得：，
当时，，单调递增，
当，时，，单调递减，
，
要使的值唯一，只需，
解得：，，
．
4．已知函数．
（1）设，求函数的最小值；
（2）设，对任意，，恒成立，求的最大值．
解：（1），
令，则，，
则，
当时，，单调递减，
当，时，，单调递增，
故的最小值是，
即的最小值是；
（2），
则



，
由（1）知，
故，
故，
故的最大值是．
5．已知函数，．
（1）若对任意给定的，，总存在唯一一个，，使得成立，求实数的取值范围；
（2）若对任意给定的，，在区间，上总存在两个不同的，使得成立，求实数的取值范围．
解：（1）由题意知，，
因为，所以由，解得或，由，解得，
故的单调递增区间为，单调递减区间为，和，，
，，（1），，
所以的值域为，，
又因为在，上单调递增，
所以的值域为，，
问题转化为直线，，和曲线，的图象只有一个交点，
结合图象，有，解得的取值范围是，．
（2）由（1）可知，问题转化为，，和曲线，二者的图象有两个不同的交点，
结合图象，有，解得的取值范围是．

6．已知函数，，．
（1）若在，上单调递减，求实数的取值范围；
（2）若对于，总存在，，且满，，其中为自然对数的底数，求实数的取值范围．
解：（1），
，
令，因为对，恒成立，
，即在，上为增函数，
，
在，上单调递减，
对，恒成立，即
，
即实数的取值范围是，．
（2）当时，，
在区间上为增函数，
时，，
的对称轴为，
由题意可得，此时，
的值恒小于和（4）中最大的一个
对于，总存在，，且满足，，
，，，（4），
，
，
即实数的取值范围是．