2023届高三数学一轮复习大题专练15导数数列不等式的证明1含解析

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一轮大题专练15—导数（数列不等式的证明1）
1．已知函数．
（1）若，，证明：在区间内存在唯一零点；
（2）若，，
（Ⅰ）证明：时，；
（Ⅱ）证明：（其中，且．
证明：（1）若，，则，，
当时，，当时，，
在上单调递增，在上单调递减，
又，
在区间内存在唯一零点；
（2）若，，则，
（Ⅰ），
令，易知在上单调递增，
，即，
在上单调递减，
，即得证；
（Ⅱ）当，时，，
又，故，则，
由（Ⅰ）知，时，，
令，，
，，
以上各式相加得，，
即，即，即得证．
2．已知函数．
（1）求曲线在点，（1）处的切线方程；
（2）求证：．
解：（1）函数，（1），
，（1），
曲线在处的切线方程为：，
；
（2）证明：令，，
则，
，
函数在单调递增，
（1），
函数在单调递增，
（1）．
当时：，
令，则化为：，
，，，，，
，，，
．
3．设函数．
（1）若，求的极值；
（2）讨论函数的单调性；
（3）若，证明：．
解：（1）的定义域是，
当时，，
令，解得：，令，解得：，
在递减，在递增，
（1），无极大值．
（2），
①当时，若，则，若，则，
在递减，在递增；
②当即时，
若，则或，若，则，
在，递减，在，递增；
③当，即时，恒成立，
在上单调递增；
④当即时，
若，则或，若，则，
在递减，在，，递增，
综上：当时，在递增，在递减，在，递增，
当时，在递增，
当时，在递增，在，递减，在递增，
当时，在递减，在递增．
（3）由（1）知在递减，
时，（1），，
令，得，
，即，
，，，，，
累加得：，
．
4．已知函数，．
（1）若不等式对恒成立，求实数的范围；
（2）若正项数列满足，，数列的前项和为，求证：．
解：（1）不等式对恒成立，
对恒成立，
设，则，
令，解得，令，解得，
故在递增，在递减，
（1），
的取值范围是，；
（2）证明：取，由（1）可知对恒成立，
则，，，，
，
，，
，
数列是常数列，
，
，
，
，
，，原结论成立．
5．已知函数，．
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）证明：．
解：（Ⅰ）由于，
故在上单调递减．
（Ⅱ）证明：当时，．
由（Ⅰ）知在上单调递减．
注意到（1），则当时，恒有．
取，有，即，
又，
因此
6．函数．
（1），求的单调区间；
（2）若在，上恒成立，求实数的取值范围；
（3）令函数，求证：．
解：（1），，，
当，时，，
当，时，，
所以的单调递增区间是，，
的单调递减区间是，．
（2）不等式恒成立等价于，
令，则由，可得到，
可以看作是关于的一次函数，单调递增，
令，
对于，，，恒成立，
只需证明即可，
，
当，，
则，在上单调递减，又，
所以此时恒成立．
当时，恒成立；
当时，单调递增，
，，所以在上存在唯一的，使得，
当时，，当，时，，
所以在时单调递减，在，时单调递增，
，，，
恒成立，故恒成立，
．
（3）证明：由（2）可知，
，令，，，2，，8，
可得到，
从而，
即得证．