2023届高三数学一轮复习大题专练17导数最值问题含解析

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一轮大题专练17—导数（最值问题）
1．已知函数．
（1）求曲线上一点处的切线方程；
（2）当时，在区间，的最大值记为，最小值记为，设，求的最小值．
解：（1）因为点在曲线上，所以，解得，
所以，求导得，
切点为，，
故切线斜率，
所求切线方程为．
（2）因为，，，．
所以．令，得或．
所以，，为减函数；，，为增函数．
①当时，在，上单调递减
所以依题意，，，
所以．
②当时，在，上单调递减，在，上单调递增，
又因为，，，
当时，，所以，，
当时，，所以，．
设，所以，
当时，，所以在单调递减．
又因为，，
所以
所以，当且仅当时，取得最小值．
2．已知函数，．
（1）证明：有且仅有一个零点；
（2）当，时，试判断函数是否有最小值？若有，设最小值为（a），求（a）的值域；若没有，请说明理由．
（1）证明：因为，
所以时，，函数无零点；
又因为，
所以，时，，单调递增，
又（1），，，
即（1），
故存在唯一，使，
综上可知，函数有且仅有一个零点．
（2）解：，
，，，，单调递增，
又（1），，
故存在唯一，使，即，
，，单调递减；
，，，单调递增，
因此有最小值，
（a），
令，，，
故单调递减，
进而，（1），，
即（a）的值域为，．
3．已知函数，．
（1）设，求的极值：
（2）若函数有两个极值点，．求的最小值．
解：（1），定义域是，
，
令，解得：或，令，解得：，
故在递增，在，递减，在递增，
故，（1）；
（2）函数，，，
，是函数的极值点，，是方程的两不等正根，
则△，，，故，，
即，，，且，，




，
令，则，，，
，
当，上递减，当上递增，
故（1），
故的最小值为．
4．已知函数，．
（1）讨论的单调性；
（2）当时，函数的最小值为（其中为的导函数），求的值．
解：（1），
当时，，在区间上单调递减，在上单调递增，
当时，由，得，
在区间，上单调递增，在，上单调递减，在区间上单调递增，
当时，由，得，在上单调递增，
当时，由，得，
在区间上单调递增，在区间，上单调递减，在，上单调递增，
综上：当时，在区间上单调递减，在上单调递增，
当时，在区间，上单调递增，在，上单调递减，在区间上单调递增，
当时，在上单调递增，
当时，在区间上单调递增，在区间，上单调递减，在，上单调递增．
（2）设，且，
，
设，，
在上单调递减，在上单调递增，
且当时，，
又当时，，当时，，
在上必存在唯一零点，使得，
即在上，，单调递减，
在，上，，单调递增，
在处取得最小值，
又，，
则，
设，，
当时，，单调递增，
故，此时，当时，，单调递减，
故，又（1），故，
故．
5．已知函数，．
（1）求的单调性；
（2）若，且的最小值小于，求的取值范围．
解：（1），，
①当时，恒成立，在上单调递增，
②当时，令，则，令，则，
在上单调递减，在上单调递增，
综上：当时，在上单调递增，
当时，在上单调递减，在上单调递增，
（2）由（1）知，则，
令，则，
令，，
在上单调递减，又，（1），
存在，使得，
即，在上单调递增，在，上单调递减，
又，（2），
（a）．
的取值范围为．
6．已知函数，．
（Ⅰ）设，若函数在区间，上是减函数，求实数的取值范围；
（Ⅱ）若函数区间上的最小值为1，求实数的值．
解：（Ⅰ），，，
，
在，上单调递减，
当，时，恒成立，即，又，
，，又，，
时，取最小值，
故的取值范围是，；
（Ⅱ），
，在递增，
在递增，在上存在唯一零点，
使得，故，
在上单调递增，
时，，递减，，时，，递增，
，
显然是方程的解，
令是减函数，则，
有且只有唯一的解，
，，
又，
，．
7．设函数．
（1）若，求的极值；
（2）若，且当时，函数的图象在直线的上方，求整数的最大值．
解：（1），则，
若，令，解得：，令，解得：，
故在递减，在递增，
故的极小值是，无极大值；
（2）时，，，
故，
时函数的图象在直线的上方，
问题转化为在恒成立，
令，，，
①即时，，在单调递增，
故，符合题意；
②即时，令，解得：，令，解得：，
故在递减，在递增，
故，
由，令，则，
则，
令，，则，
故在递减，而（1），（2），
故整数的最大值是1，故的最大值是1，即整数的最大值是2．