2023届高三数学寒假二轮微专题45讲10三角形四心及应用

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新教材惊现“四心”，距离它现身高考还有多久？
一．重要结论
1.重心：三角形三条中线的交点，重心为

证明：是所在平面内一点，=0点G是△ABC的重心.
证明:作图如右，图中
连结BE和CE，则CE=GB，BE=GCBGCE为平行四边形D是BC的中点，AD为BC边上的中线.
将代入=0，得=0，故G是△ABC的重心.（反之亦然（证略））


重心性质1．是△ABC所在平面内任一点.G是△ABC的重心.
证明：
∵G是△ABC的重心∴=0=0，
即，由此可得.（反之亦然（证略））
重心性质2. 如图，已知点G是的重心，过G作直线与AB，AC两边分别交于M，N两点，且，，则.





证明：点G是的重心，知O，
得O，有.又M，N，G三点共线（A不在直线MN上），于是存在，使得，
有=，
得，于是得
2．外心：三角形三条中垂线的交点.外心

外心性质：如图，为的外心，证明：
1.；，同理可得等.
2.，同理可得等.
3.，同理可得等.
证明：结合三角形中线向量公式及极化恒等式即可完成证明.
附：如图，直角三角形中，.
3．内心.
三角形三条角平分线的交点.内心为
内心性质.是平面上的一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足
，则P点的轨迹一定通过的（ ）
A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心
解：因为是向量的单位向量设与方向上的单位向量分别为， 又，则原式可化为，由菱形的基本性质知AP平分，那么在中，AP平分，则知选B.
4．垂心：三角形三条高线的交点.垂心为
垂心性质.点是△ABC所在平面内任一点，点是△ABC的垂心.由,
同理，.故H是△ABC的垂心. （反之亦然（证略））
二．典例分析
1．若O在△ABC所在的平面内，a，b，c是△ABC的三边，满足以下条件，则O是△ABC的（     ）
A．垂心 B．重心 C．内心 D．外心
解析：且，，
化简得，设，又与分别为和方向上的单位向量，
平分，又共线，故平分，同理可得平分，平分，故O是△ABC的内心.故选：C.
2．在中，向量与满足，且，则为（       ）
A．等边三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰直角三角形
解析：∵，∴的角平分线垂直于，根据等腰三角形三线合一定理得到为等腰三角形，又∵，∴，则为等腰直角三角形，
故选：D.
3．已知是内部（不含边界）一点，若，，则（       ）
A． B． C． D．1
解析：如图，连接AD并延长交BC与点M,

设点B到直线AD的距离为,点C到直线AD的距离为,因为，所以设，
因为AM与向量AD共线，设,,
所以，即，
,所以故选：A
4．已知点是所在平面内的动点，且满足，射线与边交于点，若，，则的最小值为（       ）
A． B．2 C． D．
解析：表示与共线的单位向量，表示与共线的单位向量，
所以点在的平分线上，即为的角平分线，
在中，，，利用正弦定理知：
同理，在中，
，，
其中，分析可知当时，取得最小值，即

5．在中，设，那么动点的轨迹必通过的（       ）
A．垂心 B．内心 C．外心 D．重心
【答案】C
6．已知点是锐角的外心，，，，若，则（       ）
A．6 B．5 C．4 D．3
解析：
如图所示，过点分别作，，垂足分别为，；则，分别为，的中点，∴，
；又，∴，
∵，∴，，
化为①，②，联立①②解得，；
∴．故选：B
7．为所在平面内一点，，，则的面积等于（       ）
A． B． C． D．
解析：如图所示，以为相邻边作平行四边形，连接，交于点，
则为的中点，也是的中点，
因为，所以，
又因为，所以，
因为，所以且，
又因为，所以，且,
所以，
所以的面积.
故选：C.

8．已知外接圆圆心为， G为所在平面内一点，且．若，则（       ）
A． B． C． D．
解析：取的中点，连接AD， 由，知为的重心，则G在AD上，所以，而，
所以，，，四点共线，所以，即，
不妨令，则，．
所以．

故选：C．
9．设H是的垂心，且，则______.
解析：是的垂心

由题设得.再由，得，.故.故答案为:
【点睛】
本题考查三角形的垂心与向量关系求三角形角的余弦值，属于中档题.
10．已知点为三角形所在平面内的一点，且满足，，则___．
解析：∵， ，∴，
两边同时平方可得，，∴，
∵，则
，故答案为．