2023年中考数学 章节专项练习12 一元二次方程

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一、选择题
1.（2019湖南怀化，9，4分）一元二次方程x2+2x+1=0的解是（ ）
A.x1=1，x2=-1 B.x1=x2=1 C.x1=x2=-1 D.x1=-1，x2=2
【答案】C.
【思路分析】利用配方法将方程化为(x+1)2=0即可.
【解答过程】解：方程x2+2x+1=0，
配方可得(x+1)2=0，
解得x1=x2=-1.
故选C.
【知识点】解一元二次方程-配方法

2.（2019山东滨州，8，3分）用配方法解一元二次方程x2－4x+1＝0时，下列变形正确的是（　　）
A．（x－2）2＝1 B．（x－2）2＝5 C．（x+2）2＝3 D．（x－2）2＝3
【答案】D
【解析】x2－4x+1=0，移项得x2－4x=－1，两边配方得x2－4x+4=－1+4，即（x－2）2=3．故选D．
【知识点】配方法解一元二次方程

3. (2019山东聊城,9,3分)若关于x的一元二次方程(k－2)x2－2kx+k＝6有实数根,则k的取值范围为（ ）
A.k≥0 B.k≥0且k≠2 C.k≥ D.k≥且k≠2
【答案】D
【解析】∵原方程是一元二次方程,∴k－2≠0,∴k≠2,∵其有实数根,∴(－2k)2－4(k－2)k≥0,解之得,k≥,∴k的取值范围为k≥且k≠2,故选D.
【知识点】一元二次方程根的判别式

4.（2019山东潍坊，10，3分）关于x的一元二次方程的两个实数根的平方和为12，则m的值为（ ）
A．m=－2 B．m=3 C．m=3或m=－2 D．m=3或m=2
【答案】A
【解析】由题意可得：，
因为：
所以：，
解得：m1=3，m2=－2；
当m=3时Δ=62－4×1×12＜0，所以m=3应舍去；
当m=－2时Δ=(－4)2－4×1×2＞0，符合题意．
所以m=－2，故选择A．
【知识点】一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式

5.（2019山东淄博，9，4分）若则以为根的一元二次方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A.
【思路分析】已知再求出的值，进而求出以为根的一元二次方程
【解题过程】
又∵
∴
∴，
∴以为根的一元二次方程是.
故选：A.
【知识点】一元二次方程根与系数的关系

6.（2019四川自贡，8，4分）关于x的一元二次方程x2-2x+m=0无实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A.m＜1 B.m≥1 C.m≤1 D.m＞1
【答案】D.
【解析】解：∵方程无实数根，
∴△=(-2)2-4×1·m=4-4m＜0.
解得，m＞1.
故选D.
【知识点】一元二次方程根的判别式.

7.（2019浙江金华，7，3分）用配方法解方程x2－6x－8＝0时，配方结果正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A．
【解析】解方程x2－6x－8＝0，配方,得（x－3）2＝17，故选A．
【知识点】配方法解一元二次方程

8. (2019浙江宁波,7,4分)能说明命题”关于x的方程x2－4x+m＝0一定有实数根”是假命题的反例为（ ）
A.m＝－1 B.m＝0 C.m＝4 D.m＝5
【答案】D
【解析】方程的根的判别式＝(－4)2－4m＝16－4m,当<0时,方程无实数根,∴应使16－4m<0,即m>4,可得原方程无实数根,四个选项中,只有m＝5符合条件,故选D.
【知识点】一元二次方程根的判别式,解不等式,反例

9.（2019山东省济宁市，11，3分）已知x＝1是方程x2＋bx－2＝0的一个根，则方程的另一个根是（ ）．
【答案】－2
【解析】方法1：把x＝1代入得1＋b－2＝0，解得b＝1，所以方程是x2＋x－2＝0，解得x1＝1，x2＝－2．
方法2：设方程另一个根为x1，由根与系数的关系知1×x1＝－2．∴x1＝－2．
【知识点】方程根的意义，一元二次方程解法，根与系数关系．

10.（2019安徽省，9，4分）已知三个实数，，满足，，则　　
A．， B．， C．， D．，
【答案】D
【解析】解：，，
，，
，
，
，
即，，故选D．
【知识点】不等式的性质

11.（2019四川南充，5，4分）是关于的一元二次方程的解，则　 　
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解：把代入方程得，
所以，
所以．
故选：A．
【知识点】一元二次方程的解

12.（2019甘肃省，7，3分）若一元二次方程的一根为，则的值为　　
A． B．0 C．1或 D．2或0
【答案】A
【解析】解：把代入方程得，解得：，故选A．
【知识点】一元二次方程的解

13.（2019广东广州，10，3分）关于x的一元二次方程x2﹣（k﹣1）x﹣k+2＝0有两个实数根x1，x2，若（x1﹣x2+2）（x1﹣x2﹣2）+2x1x2＝﹣3，则k的值（　 　）
A．0或2 B．﹣2或2 C．﹣2 D．2
【答案】D
【解析】∵关于x的一元二次方程x2﹣（k﹣1）x﹣k+2＝0的两个实数根为x1，x2，
∴x1+x2＝k﹣1，x1x2＝﹣k+2．
∵（x1﹣x2+2）（x1﹣x2﹣2）+2x1x2＝﹣3，即（x1+x2）2﹣2x1x2﹣4＝﹣3，
∴（k﹣1）2+2k﹣4﹣4＝﹣3，
解得：k＝±2．
∵关于x的一元二次方程x2﹣（k﹣1）x﹣k+2＝0有实数根，
∴△＝[﹣（k﹣1）]2﹣4×1×（﹣k+2）≥0，
解得：k≥21或k≤﹣21，
∴k＝2．
故选：D．
【知识点】一元二次方程根的判别式；根与系数的关系

14.（2019广东省，9，3分）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣2x＝0的两个实数根，下列结论错误的是（　　）
A．x1≠x2 B．x12﹣2x1＝0 C．x1+x2＝2 D．x1•x2＝2
【答案】D
【解析】解：∵△＝（﹣2）2﹣4×1×0＝4＞0，
∴x1≠x2，选项A不符合题意；
∵x1是一元二次方程x2﹣2x＝0的实数根，
∴x12﹣2x1＝0，选项B不符合题意；
∵x1，x2是一元二次方程x2﹣2x＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝2，x1•x2＝0，选项C不符合题意，选项D符合题意．
故选：D．
【知识点】一元二次方程根与系数的关系


15.（2019湖北鄂州，7，3分）关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0的两实数根分别为x1、x2，且x1+3x2＝5，则m的值为（　　）
A． B． C． D．0
【答案】A
【解析】解：∵x1+x2＝4，
∴x1+3x2＝x1+x2+2x2＝4+2x2＝5，
∴x2，
把x2代入x2﹣4x+m＝0得：（）2﹣4m＝0，
解得：m，
故选：A．
【知识点】一元二次方程根与系数的关系

二、填空题
1.(2019山东泰安,13,4分)已知关于x的一元二次方程x2－(2k－1)x+k2+3＝0有两个不相等的实数根,则实数k的取值范围是________.
【答案】k<
【解析】∵关于x的一元二次方程x2－(2k－1)x+k2+3＝0有两个不相等的实数根,∴＝(2k－1)2－4(k2+3)>0,解之,得k<.
【知识点】一元二次方程根的判别式

2. (2019山东枣庄,14,4分)已知关于x的方程ax2+2x－3＝0有两个不相等的实数根,则a的取值范围是________.
【答案】a>且a≠0
【解析】因为关于x的方程ax2+2x－3＝0有两个不相等的实数根,∴a≠0,且22－4a(－3)>0,解之得,a>且a≠0.
【知识点】一元二次方程根的判别式

3.（2019四川眉山，14，3分）设a、b是方程x2+x-2019=0的两个实数，根则（a-1）（b-1）的值为 ．
【答案】-2017
【解析】解：根据题意，得：a+b=-1，ab=-2019，∴（a-1）（b-1）=ab-（a+b）+1=-2019+1+1=-2017，故答案为：-2017.
【知识点】一元二次方程根与系数的关系，整式的乘法，化简求值

4.（2019四川攀枝花，14，4分）已知x1、x2是方程x2－2x－1＝0的两根，则＝ 。
【答案】6
【解析】由一元二次方程根与系数的关系可得x1＋x2＝2，x1x2＝－1，∴＝（x1＋x2）2－2x1x2＝22＋2＝6．
【知识点】一元二次方程根与系数的关系

5.（2019甘肃武威，14，4分）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的取值为 ．
【答案】4
【解析】解：由△得,故答案为4．
【知识点】根的判别式
三、解答题
1.(2019四川巴中,22,8分)已知关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2－1＝0有两个不相等的实数根.
①求m的取值范围;
②设x1,x2是方程的两根且x12+x22+x1x2－17＝0,求m的值.
【思路分析】①根据根的判别式得到关于m的代数式,使其大于零,即可解得m的范围;②由根与系数的关系,将原方程化为关于m的一元二次方程,求得其解,根据①中的范围进行取舍,可得最后结果.
【解题过程】①＝(2m+1)2－4(m2－1)＝4m+5,因为原方程有两个不相等的实数根,所以4m+5>0,m>;
②由根与系数的关系,x1+x2＝－(2m+1),x1x2＝m2－1,所以原方程可化为(x1+x2)2－x1x2－17＝0,即(2m+1)2－(m2－1)－17＝0,解之,得m1＝,m2＝－3,因为m>,所以m＝.
【知识点】一元二次方程,根的判别式,根与系数的关系

2.（2019江苏省无锡市，20，8）解方程：（1）
【思路分析】本题考查了利用公式法解一元二次方程，先确认a、b、c，再算△，最后套公式.
【解题过程】解：，∵△＝4+20＝24＞0，∴x1，x2 =1-．
【知识点】一元二次方程的解法

3.（2019安徽省，15，8分）解方程：．
【思路分析】方程两边直接开平方即可．
【解题过程】解：两边直接开平方得：，
或，
解得，．
【知识点】直接开平方法

4.（2019湖北鄂州，20，8分）已知关于x的方程x2﹣2x+2k﹣1＝0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）设方程的两根分别是x1、x2，且x1•x2，试求k的值．
【思路分析】（1）根据一元二次方程x2﹣2x+2k﹣1＝0有两个不相等的实数根得到△＝（﹣2）2﹣4（2k﹣1）≥0，求出k的取值范围即可；
（2）根据根与系数的关系得出方程解答即可．
【解题过程】解：（1）解：∵原方程有实数根，
∴b2﹣4ac≥0∴（﹣2）2﹣4（2k﹣1）≥0
∴k≤1
（2）∵x1，x2是方程的两根，根据一元二次方程根与系数的关系，得：
x1+x2 ＝2，x1 •x2 ＝2k﹣1
又∵x1•x2，
∴
∴（x1+x2）2﹣2x1 x2 ＝（x1 •x2）2
∴22﹣2（2k﹣1）＝（2k﹣1）2
解之，得：．经检验，都符合原分式方程的根
∵k≤1
∴．
【知识点】一元二次方程及应用