2023年中考数学 章节专项练习29 等腰三角形与等边三角形

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一、选择题
1.（2019山东潍坊，8，3分）如图已知∠AOB，按照以下步骤作图：
①以点O为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交∠AOB的两边于C，D两点，连接CD．
②分别以点C，D为圆心，以大于线段OC的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点E，连接CE，DE．
③连接OE交CD于点M．

下列结论中错误的是（ ）
A．∠CEO=∠DEOB．CM=MDC．∠OCD=∠ECDD．S四边形OCED=CD·OE
【答案】C
【解析】由作图可知OC=OD，CE＝DE，OE＝OE，所以△OCE≌ODE，∴∠CEO=∠DEO，选项A正确，根据“三线合一”可知，CM=MD，CD⊥OE，所以选项B、D正确；选项C错误；故答案选择C.
【知识点】尺规作图，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质

2.（2019浙江衢州，7，3分）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角。这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动。C点固定，OC=CD=DE，点D，E可在槽中滑动，若∠BDE=75°，则∠CDE的度数是（ ）
A.60° B.65° C.75° D.80°

【答案】D
【解析】本题考查等腰三角形及三角形外角的性质，因为OC=CD=DE，所以∠O=∠CDO,∠DCE=∠CED.所以∠DCE=2∠O，∠EDB=3∠O=75°,所以∠O=25°,∠CED=∠ECD=50°,所以∠CDE=180°-∠CED-∠ECD=180°-50°-50°=80°，故选D。
【知识点】等腰三角形的判定等腰三角形的判定三角形内角和三角形外角的性质


3.（2019重庆A卷，12，4分）如图，在△ABC中，D是AC边上的中点，连结BD，把△BDC′沿BD翻折，得到△，与AB交于点E，连结，若AD＝＝2，BD＝3，则点D到的距离为（ ）
A． B． C． D．
第12题图

【答案】B．
【解析】如答图，过点D作DM⊥于点M，过点B作BN⊥于点N，由翻折可知＝DC＝AD＝2，∠BDC＝∠B．∵AD＝＝2，∴△是等边三角形，从而∠＝∠B＝∠BDC＝60°．在Rt△BDN中，DN＝BD＝，BN＝，从而＝．于是，＝＝．∵＝，∴DM＝＝＝．故选B．
第12题答图

【知识点】翻折；等边三角形的判定与性质；勾股定理；解直角三角形；面积桥法．

4.(2019山东聊城,11,3分)如图在等腰直角三角形ABC中,∠BAC＝90°,一个三角尺的直角顶点与BC边的中点O重合,且两条直角边分别经过点A和点B,将三角尺绕点O按顺时针方向旋转任意一个锐角,当三角尺的两直角边与AB,AC分别交于点E,F时,下列结论中错误的是（ ）
A.AE+AF＝AC B.∠BEO+∠OFC＝180°
C.OE+OF＝BC D.S四边形AEOF＝S△ABC

第11题图
【答案】C
【解析】连接AO,易得△AEO≌△CFO,∴AE+AF＝CF+AF＝AC,故A正确；∠BEO+∠OFC＝∠BEO+∠AEO＝180°,故B正确；随着三角形的转动,OE和OF的长度会变化,故C错误；S四边形AEOF＝S△AEO+S△AFO＝S△CFO+S△AFO＝S△ABC,故D正确；故选C.

第11题答图
【知识点】旋转,三角形全等
二、填空题
1.（2019湖南怀化，14，4分）若等腰三角形的一个底角为72°，则这个等腰三角形的顶角为
【答案】36°.
【解析】解：∵等腰三角形的一个底角为72°，
∴这个等腰三角形的顶角为180°-72°×2=36°.
故答案为36°.
【知识点】等腰三角形的性质，三角形内角和定理

2.（2019四川南充，14，4分）在中，，，则　　　　．
【答案】70
【解析】解：，，，．
故答案为70．
【知识点】等腰三角形的性质

3.（2019甘肃武威，17，4分）定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰中，，则它的特征值 ．
【答案】或
【解析】解：①当为顶角时，等腰三角形两底角的度数为：，
∴特征值
②当为底角时，顶角的度数为：
∴特征值
故答案为或
【知识点】等腰三角形的性质

4.（2019贵州黔东南，13，3分）如图，以△ABC的顶点B为圆心，BA长为半径画弧，交BC边于点D，连接AD．若∠B＝40°，∠C＝36°，则∠DAC的大小为　　．

【答案】34°
【解析】解：∵∠B＝40°，∠C＝36°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝104°
∵AB＝BD
∴∠BAD＝∠ADB＝（180°﹣∠B）÷2＝70°，
∴∠DAC＝∠BAC﹣∠BAD＝34°
故答案为：34°．
【知识点】等腰三角形的性质
三、解答题
1.（2019重庆A卷，20，10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，连结AD，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作EF∥BC交AB于点F．
（1）若∠C＝36°，求∠BAD的度数；（2）求证：FB＝FE．
第20题图

【思路分析】（1）先利用“等边对等角”求出∠ABC的度数，然后利用三角形内角和定理，得到∠BAC的度数，最后利用“三线合一”性质，即可求出∠BAD的度数；（2）由角平分线定义，得∠ABE＝∠CBE，再由平行线性质，得到∠FEB＝∠CBE，从而∠ABE＝∠FEB，于是FB＝FE．
【解题过程】（1）解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝36°．
∴∠BAC＝180°－∠B－∠C＝108°．
∵AB＝AC，D是BC边上的中点，
∴AD平分∠BAC．
∴∠BAD＝∠BAC＝54°．
（2）证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE．
∵EF∥BC，
∴∠FEB＝∠CBE．
∴∠ABE＝∠FEB．
∴FB＝FE．
【知识点】等腰三角形的性质与判定；角平分线定义；平行线的性质；三角形内角和定理．

2.（2019重庆市B卷，20，10分）如图，在△ABC中，AB=AC,AD⊥BC于点D．
（1） 若∠C=42°，求∠BAD的度数；
（2） 若点E在边AB上，EF∥AC交AD的延长线于点F．
求证：AE=FE

【思路分析】
（1）根据∠C=42°,AB=AC结合等腰三角形的性质及内角和180°可得顶角度数．
由AD⊥BC根据三线合一推出∠BAD的度数为顶角一半．
（2）根据EF∥AC可以得出内错角∠F=∠BAF,利用等角对等边得出结果．
（3）考虑到△ABD为直角三角形，也可以结合内角和算出∠BAD．
【解题过程】
（1）证明：
（方法一）：∵AB=AC，∠C=42°，
∴∠B=∠C=42°，
∴∠BAC=180°－∠B－∠C=180°－42°－42°=96°
∵AD⊥BC
∴∠BAD=∠BAC=×96°=48°
（方法二）：∵AB=AC∠C=42°
∴∠B=∠C=42°
∵AD⊥BC于点D
∴∠ADB=90°
∴∠BAD=180°－90°－42°=48°
（2）证明：
∵EF∥AC
∴∠CAF=∠F
∵AB=AC，AD⊥BC
∴∠CAF=∠BAF
∴∠F=∠BAF
∴AE=FE
【知识点】等腰三角形的性质，平行线性质，三线合一，等边对等角，等角对等边．

3.（2019四川眉山，21，8分）如图，在四边形ABCD中AB∥DC，点E是CD的中点，AE=BE．
求证：∠D=∠C．

【思路分析】根据AE=BE，求出∠EAB=∠EBA，根据平行线的性质，可证∠DEA=∠CEB，进而利用三角形全等的判定和性质即可得证.
【解题过程】证明：∵AE=BE，∴∠EAB=∠EBA，∵DC∥AB，∴∠DEA=∠EAB，∠CEB=∠EBA，∴∠DEA=∠CEB，在△EDA和△CEB中，，∴△EDA≌△CEB（SAS），∴∠D=∠C.
【知识点】等腰三角形的性质，平行线的性质，全等三角形的性质和判定

4.（2019江苏无锡，21，8分）如图，在△ABC中，AB=AC,点D、E分别在AB、AC上，BD=CE，BE、CD相交于点O；
求证：（1）△DBC≌△ECB;（2）.

第21题图
【思路分析】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识.
（1）利用边角边证明全等即可；(2)由全等得到等角，再得到等边.
【解题过程】解：
（1）证明：∵AB=AC，∴∠ECB=∠DBC，在△DBC与△ECB中，BD = CE，∠DBC =∠ECB，BC = CB，∴△DBC≌△ECB（SAS）；
(2)证明：由(1)知△DBC≌△ECB，∴∠DCB=∠EBC，∴OB=OC.
【知识点】考查全等三角形的判定和性质；等腰三角形的判定和性质