2023年中考数学 章节专项练习33 圆的基本性质

这是一份2023年中考数学 章节专项练习33 圆的基本性质，共21页。试卷主要包含了如图，四边形内接于，若，则等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1.（2019山东滨州，6，3分）如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上两点，若∠BCD＝40°，则∠ABD的大小为（　　）

A．60° B．50° C．40° D．20°
【答案】B
【解析】如图，连接AD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°．∵∠A和∠BCD都是弧BD所对的圆周角，∴∠A=∠BCD=40°，∴∠ABD=90°－40°=50°．故选B．

【知识点】圆周角定理及其推论

2. (2019山东聊城,8,3分)如图,BC是半圆O的直径,D,E是上两点,连接BD,CE并延长交于点A,连接OD,OE,如果∠A＝70°,那么∠DOE的度数为（ ）
A.35° B.38° C.40° D.42°

第8题图
【答案】C
【解析】∵∠A＝70°,∴∠B+∠C＝110°,∴∠BOE+∠COD＝220°,∴∠DOE＝∠BOE+∠COD－180°＝40°,故选C.
【知识点】三角形内角和定理,圆周角定理

3.（2019山东潍坊，11，3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，AD=CD．过点D作DE⊥AB于点E．连接AC交DE于点F．若sin∠CAB=，DF=5，则BC的长为（ ）

A．8 B．10 C．12 D．16
【答案】C
【思路分析】连接BD，先证明∠DAC=∠ACD=∠ABD=∠ADE，从而可得AF=DF=5，根据sin∠CAB=，求得EF和AE的长度，再利用射影定理求出BE的长度从而得到直径AB，根据sin∠CAB=求得BC的长度．
【解题过程】连接BD．

∵AD=CD，
∴∠DAC=∠ACD．
∵AB为直径，
∴∠ADB=∠ACB=90°．
∴∠DAB+∠ABD=90°．
∵DE⊥AB，
∴∠DAB+∠ADE=90°．
∴∠ADE=∠ABD．
∵∠ABD=∠ACD，
∴∠DAC=∠ADE．
∴AF=DF=5．
在Rt△AEF中，
sin∠CAB=
∴EF=3，AE=4．
∴DE=3+5=8．
由DE2=AE ▪EB，得．
∴AB=16+4=20．
在Rt△ABC中，
sin∠CAB=
∴BC=12．
【知识点】圆周角，锐角三角比

4. （2019四川省凉山市，7，4分）下列命题：①直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离；②两点之间线段最短；③相等的圆心角所对的弧相等；④平分弦的直径垂直于弦．其中，真命题的个数（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解析】直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离；两点之间线段最短；在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等；平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，所以只有①是对的，故选A.
【知识点】点到直线的距离概念；线段基本事实；在同圆或等圆中圆心角与弧的关系；垂径定理的推论

5.（2019四川眉山，10，3分）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD．垂足是点E，∠CAO=22．5°，OC=6，则CD的长为（ ）
A． B． C．6 D．12

【答案】A
【思路分析】
【解题过程】解：∵∠A=22.5°，∴∠COE=45°，∵⊙O的直径AB垂直于弦CD，OC=6，∴∠CEO=90°，∵∠COE=45°，∴CE=OE=OC＝，∴CD=2CE=，故选：D.

【知识点】三角形的外角的性质，垂径定理，锐角三角形函数


6.（2019浙江衢州，8，3分）一块圆形宣传标志牌如图所示，点A，B，C在⊙O上，CD垂直平分AB于点D.现测得AB=8dm，DC=2dm，则圆形标志牌的半径为（ ）

A.6dm B.5dm C.4dm D.3dm
【答案】B
【解析】连接OD，OB，则O，C，D三点在一条直线上，因为CD垂直平分AB，AB=8dm，所以BD=4dm,OD=（r-2）dm，由勾股定理得42+（r-2）2=r2，r=5dm，故选B。
【知识点】垂径定理勾股定理

7.(2019山东泰安,9,4分) 如图,△ABC是O的内接三角形,∠A＝119°,过点C的圆的切线交BO于点P,则∠P的度数为（ ）
A.32 ° B.31° C.29° D.61°

第9题图
【答案】A
【解析】连接CO,CF,∵∠A＝119°,∴∠BFC＝61°,∴∠BOC＝122°,∴∠COP＝58°,∵CP与圆相切于点C,∴OC⊥CP,∴在Rt△OCP中,∠P＝90°－∠COP＝32°,故选A.

【知识点】圆的内接四边形,圆周角定理,直角三角形两锐角互余

8.（2019四川南充，6，4分）如图，四边形内接于，若，则　　

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】解：四边形内接于，，．
故选：D．
【知识点】圆内接四边形的性质

9.（2019甘肃天水，9，4分）如图，四边形ABCD是菱形，⊙O经过点A、C、D，与BC相交于点E，连接AC、AE．若∠D＝80°，则∠EAC的度数为（　　）

A．20° B．25° C．30° D．35°
【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，∠D＝80°，
∴∠ACB∠DCB（180°﹣∠D）＝50°，
∵四边形AECD是圆内接四边形，
∴∠AEB＝∠D＝80°，
∴∠EAC＝∠AEB﹣∠ACE＝30°，
故选：C．
【知识点】菱形的性质；圆周角定理

10.（2019甘肃武威，9，3分）如图，点，，在圆上，若弦的长度等于圆半径的倍，则的度数是　　

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：设圆心为，连接、，如图，
∵弦的长度等于圆半径的倍，
即，
∴，
∴为等腰直角三角形，，
∴，
故选C．

【知识点】圆周角定理

11.（2019甘肃省，8，3分）如图，是的直径，点、是圆上两点，且，则　　

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：∵，∴，∴，故选C．
【知识点】圆的有关概念及性质
二、填空题
1.（2019四川凉山，15，4分）如图所示，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，∠A =30°，CD =2，则⊙O的半径是 ．

第15题图


【答案】2
【解析】连接OC，则OA=OC，∴∠A=∠ACO=30°，∴∠COH=60°，∵OB⊥CD，CD=2，∴CH=，∴OH=1，∴OC=2.

第15题答图

【知识点】等腰三角形性质；三角形外角性质；垂径定理；勾股定理

2.（2019天津市，18，3分）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A在格点上，B是小正方形边的中点，∠ABC=50°，∠BAC=30°，经过点A,B的圆的圆心在边AC上，
（1） 线段AB的长等于；
（2） 请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出一个点P，使其满足∠PAC=∠PBC=∠PCB，并简要说明点P的位置是如何找到的（不需要证明）
【答案】（1）（2）如图，取圆与网格线的交点E,F连接EF与AC相交，得圆心O；AB与网格线相交于点D，连接DO并延长，交O于点Q，连接QC并延长，与点B,O的连线BO相交于点P，连接AP，则点P满足∠PAC=∠PBC=∠PCB

【解析】(1)如图，Rt△ABD中，AD=2，BD=,由勾股定理可得AB=

（2）由于点A在格点上，可得直角，根据圆周角是直角所对的弦是直径可以作出直径，又因为圆心在AC上，所以取圆与网格线的交点E,F连接EF与AC相交，得圆心O；AB与网格线相交于点D，则点D为AB的中点，连接DO并延长，根据垂径定理可得则DO垂直平分AB，连接BO，则∠OAB=∠OBA=30°，因为∠ABC=50°，所以∠OBC=20°，DO的延长线交O于点Q，连接QC并延长，与点B,O的连线BO相交于点P，连接AP，则点P满足∠PAC=∠PBC=∠PCB
【知识点】勾股定理，圆周角的性质，垂径定理

3.（2019浙江湖州，12，4分）已知一条弧所对的圆周角的度数为15°，则它所对的圆心角的度数是．
【答案】30°．
【解析】根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对圆心角的度数是该弧所对圆周角的度数的2倍，可知答案为30°．
【知识点】圆周角定理．

4. (2019浙江台州,14题,5分)如图,AC是圆内接四边形ABCD的一条对角线,点D关于AC的对称点E在边BC上,连接AE,若∠ABC＝64°,则∠BAE的度数为________.

第14题图
【答案】52°
【解析】∵圆内接四边形ABCD,∴∠B+∠D＝180°,∵∠B＝64°,∴∠D＝116°,又∵点D关于AC的对称点是点E,∴∠D＝∠AEC＝116°,又∵∠AEC＝∠B+∠BAE,∴∠BAE＝52°.
【知识点】圆内接四边形,三角形外角定理,对称性

5.（2019安徽省，13，5分）如图，内接于，，，于点，若的半径为2，则的长为．

【答案】
【解析】解：连接并延长交于，连接，
则，，
的半径为2，
，
，
，，
.
故答案为．

【知识点】圆周角定理
三、解答题
1.(2019浙江宁波,26,14分)如图1,O经过等边三角形ABC的顶点A,C(圆心O在△ABC内),分别与AB,CB的延长线交于点D,E,连接DE,BF⊥EC交AE于点F.
(1)求证:BD＝BE;
(2)当AF:EF＝3:2,AC＝6时,求AE的长;
(3)设＝x,tan∠DAE＝y.
①求y关于x的函数表达式;
②如图2,连接OF,OB,若△AEC的面积是△OFB面积的10倍,求y的值.

第26题图
【思路分析】(1)利用等边三角形的性质和圆周角定理,得到∠BED＝∠BDE,由等角对等边,得到结论;(2)由三线合一求出AG,BG长,利用平行线分线段成比例,求得EB,进而通过勾股定理得到AE的长;(3)①构造直角三角形,利用比例关系,写出EH,AH的代数式,进而求得y关于x的表达式;②构造相似,得到比例式,表示出两个三角形的面积,根据10倍关系,得到方程,即可解得y的值.
【解题过程】(1)∵△ABC为等边三角形,∴∠BAC＝∠C＝60°,∠DEB＝∠BAC＝60°,∠D＝∠C＝60°,∠DEB＝∠D,BD＝BE.
(2)如图,过点A作AG⊥EC于点G,∵△ABC为等边三角形,AC＝6,∴BG＝BC＝AC＝3,在Rt△ABG中,AG＝BG＝,∵BF⊥EC,∴BF∥AG,∴,∵AF:EF＝3:2,∴BE＝BG＝2,∴EG＝BE+BG＝3+2＝5,∴在Rt△AEG中,AE＝;

第26题答图(1)
(3)①如图,过点E作EH⊥AD于点H,∵∠EBD＝∠ABC＝60,在Rt△BEH中,＝sin60＝,EH＝BE,BH＝BE,＝x,BG＝xBE,AB＝BC＝2BG＝2xBE,AH＝AB+BH＝2xBE+BE＝(2x+)BE,Rt△AHE中,tanEAD＝,∴y＝;

第26题答图(2)
②如图,过点O作OM⊥EC于点M,设BE＝a,∵＝x,∴CG＝BG＝xBE＝ax,∴EC＝CG+BG+BE＝a+2ax,∴EM＝EC＝a+ax,∴BM＝EM－BE＝ax－a,∵BF∥AG,∴△EBF∽△EGA,∴,∵AG＝BG＝ax,∴BF＝AG＝,△OFB的面积＝,△AEC的面积＝,∵△OFB的面积是△AEC的面积的10倍,∴＝,∴2x2－7x+6＝0,解之,得x1＝2,x2＝,y＝或.

第26题答图(3)
【知识点】等边三角形的性质,圆周角定理,等角对等边,三线合一,平行线分线段成比例,勾股定理,三角函数,相似三角形,一元二次方程

2.（2019四川自贡，21，8分）如图，⊙O中，弦AB与CD相交于点E，AB=CD，连接AD、BC，

求证：（1）；（2）AE=CE.
【思路分析】
（1）连接AO，BO，CO，DO,由AB=CD得到∠AOB=∠COD，从而证明出∠AOD=∠BOC即可得到；
（2）试判定△ADE≌△CBE即可得出结论.
【解题过程】解：（1）连接AO，BO，CO，DO,

∵AB=CD，
∴∠AOB=∠COD，
∴∠AOD=∠BOC，
∴.
（2）∵，
∴AD=BC，
∵，
∴∠ADC=∠ABC，
又∵∠AED=∠CEB，
∴△ADE≌△CBE，
∴AE=CE.
【知识点】圆的性质，圆周角定理，全等三角形判定.

3.（2019四川攀枝花，24，12分）在平面直角坐标系xOy中，已知A（0，2），动点P在y＝x的图象上运动（不与O重合），连接AP，过点P作PQ⊥AP，交x轴于点Q，连接AQ。
（1）求线段AP长度的取值范围；
（2）试问：点P运动过程中，∠QAP是否为定值？如果是，求出该值；如果不是，请说明理由。
（3）当△OPQ为等腰三角形时，求点Q的坐标.

【思路分析】（1）点P是y＝x上的动点，求线段AP长度的取值范围，可考虑线段AP的最小值及最大值；
（2）思路一（共圆法）：根据点P所在的不同位置，分情况讨论，证得∠PAQ＝30°; 思路二（相似法）：根据点P所在的不同位置，分情况讨论，证得∠PAQ＝30°．
（3）设P（m，m），Q（a，0），根据勾股定理利用关系式OA2＋OQ2＝AP2＋PQ2，求得a＝.
，进而得点Q的坐标.分情况OP＝OQ，PO＝PQ，QO＝QP时，讨论点Q的坐标即可.

【解题过程】解：（1）作AH⊥OP，则AP≥AH．
∵点P在y＝x的图象上，
∴∠HOQ＝30°，∠HOA＝60°．
∵A（0，2），∴AH＝AO·sin60°＝．
∴AP≥．

（2）∠QAP是定值．
法一：（共圆法）
①当点P在第一象限的线段OH的延长线上时，
由∠QPA＝∠QOA＝90°，可得∠APQ＋∠AOQ＝180°，
∴P、Q、O、A四点共圆
∴∠PAQ＝∠POQ＝30°．
②当点P在第一象限的线段OH上时，
由∠QPA＝∠QOA＝90°，可得P、O、Q、A四点共圆
∴∠PAQ＋∠POQ＝180°，又∵∠POQ＝150°，
∴∠PAQ＝180°－∠POQ＝30°．

③当点P在第三象限时，特殊角的三角函数值；
由∠QPA＝∠QOA＝90°，可得Q、P、O、A四点共圆
∴∠PAQ＝∠POQ＝30°．

法二：（相似法）
①当点P在第三象限时，
由∠QPA＝∠QOA＝90°，可得△BPQ∽△BOA．
∴∴△QBA∽△PBO．
∴∠PAQ＝∠POQ＝30°，

②当点P在第一象限且点B在AP延长线上时，
由∠QPA＝∠QOA＝90°，可得∠BPQ＝∠BOA＝90°，
∴△BPQ∽△BOA．∴
∴△BPO∽△BQA．∴∠PAQ＝∠POB＝30°．

③当点P在第一象限且点B在PA延长线上时，
由∠QPA＝∠QOA＝90°，可得∠BPQ＝∠BOA＝90°，
∴△BPQ∽△BOA．∴
∴△BPO∽△BQA．∠PAQ＝∠POQ＝30°．

（3）设P（m，m），Q（a，0），
∵OA2＋OQ2＝AP2＋PQ2
∴22＋a2＝m2＋(m－2) 2＋(a－m) 2＋(m)2
整理，得a＝.
∴Q（，0）.

∴OP2＝m2，OQ2＝m2－m＋.
PQ2＝m2－m＋.
①当OP＝OQ时，则m2＝m2－m＋
整理,得m2－4m＋3＝0，解得m＝2±3．
∴Q1 (2＋4,0)，Q2(2－4,0)．

②当PO＝PQ时，则m2＝m2－m＋
整理得：2 m2＋m－3＝0，
解得解得m＝，或m＝－.
当m＝时，Q点与O重合，舍去，
∴m＝－. ∴Q3 (－2,0).

③当QO＝QP时，
则m2－m＋＝m2－m＋
整理，得m2－m＝0.
解得m＝
∴Q4 (,0).

综上，当△OPQ为等腰三角形时，点Q的坐标为Q1 (2＋4,0)，Q2(2－4,0)，Q3 (－2,0)，Q4 (,0).
【知识点】圆内接四边形；线段的最值；相似三角形的判定与性质；勾股定理；一元二次方程的解法；等腰三角形的性质；分类讨论

4.（2019山东省济宁市， 20，8分）
如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D是弧AC的中点，E为OD延长线上一点，∠CAE＝2∠C，AC与BD交于点H，与OE交于点F．
（1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）若DH＝9，tanC＝，求直径AB的长．
C
D
H
A
E
O
B
F

【思路分析】通过等弧得到相等的弦，接着得到相等的圆周角，根据同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，通过等量代换得到角度之间的关系，从而证明出切线；通过三角函数求得直角三角形的边，用勾股定理求出直径．
【解题过程】∵D是弧AC的中点，∴AD＝CD∴∠DAC＝∠C∵∠CAE＝∠EAD＋∠DAC，∠CAE＝2∠C，∴∠EAD＝∠C，∵∠C＝∠B，∴∠B＝∠EAD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠DAB＋∠B＝90°，
∴∠EAD＋∠DAB＝90°，∴∠EAO＝90°，∴AE是⊙O的切线；
在△ADH中∠ADH＝90°，DH＝9，∠DAH＝∠C，∴tan∠DAH＝，∴，∴AD＝12，在△BAD中∠ADB＝90°，AD＝12，∴tan∠B＝tan∠C＝，∴tan∠B＝，∴BD＝16，∵∠ADB＝90°，∴AB＝．
【知识点】在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦也相等，同弧或等弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，三角函数，勾股定理；

5.（2019江苏无锡，28，10分）如图1，在矩形中，BC=3，动点从出发，以每秒1个单位的速度，沿射线方向移动，作关于直线的对称，设点的运动时间为.
（1）若AB=2，①如图2，当点落在AC上时，显然△PC是直角三角形，求此时t的值；
②是否存在异于图2的时刻，使得△PC是直角三角形？若存在，请直接写出所有符合题意的t的值？若不存在，请说明理由；
（2）当P点不与C点重合时，若直线P与直线CD相交于点M，且当t＜3时存在某一时刻有结论∠PAM=45°成立，试探究：对于t＞3的任意时刻，结论∠PAM=45°是否总是成立？请说明理由.

图1图2备用
第28题图
【思路分析】本题考查了与矩形相关的轴对称问题，（1）①先利用勾股定理求AC，再证△CP∽△CBA得比例式求，最后用勾股定理列方程求t的值；
②先用t表示相关线段，再分三种情况讨论，借助勾股定理或直接计算方法求t；
（2）易得四边形ABCD为正方形，于是AB=A=AD，从而可证全等得∠DAM=∠AM，由轴对称得∠PAB=∠PA=2∠DAM+∠PAD，代入∠PAB+∠PAD=90°中得到结论.
【解题过程】
（1）①∵∠B=90°，∴AC=，∵∠CP=∠CBA=90°，∠CP=∠BCA，
∴△CP∽△CBA，，故，解得.由轴对称可得PB=，∴t=；
②由已知可得PB=P=t，PC=3-t，DA=BC=3，AB=A=2，
分三种情况：1°如图，当∠PC=90 °时，由勾股定理得D=，∴C=，在△PC中，PC2+C2=P2，∴()2+ (3 - t) 2 =t2，解得t=2.

③ ②


③④第28题答图
2°如图，当∠PC=90 °时，由勾股定理得D=，∴C=3，在△PC中PC2+C2=P2，(3)2+ (t -3) 2 =t2，解得t=6.
3°当∠CP=90 °时，易证四边形ABP为正方形，P=AB=2，∴t=2；
（1） 如图④，四边形ABCD为正方形，t>3时，∵AB=A=AD，AM=AM，Rt△MDA≌Rt△AM（HL），∴∠DAM=∠AM，
由轴对称可得∠PAB=∠PA=2∠DAM+∠PAD，∴∠PAB+∠PAD=2∠DAM+2∠PAD=90°，∴∠PAM=∠DAM+∠PAD=45°.
【知识点】矩形的性质；正方形的性质；全等三角形判定与性质；轴对称；方程思想；数形结合思想；分类讨论思想

6.（2019湖南怀化，23，12分）如图，A、B、C、D、E是⊙O上的5等分点，连接AC、CE、EB、BD、DA，得到一个五角星图形和五边形MNFGH.
（1） 计算∠CAD的度数；
（2） 连接AE，证明：AE=ME；
（3） 求证：ME2=BM·BE.

【思路分析】（1）根据A、B、C、D、E是⊙O上的5等分点可得∠COD的度数，根据圆周角定理可得∠CAD的度数，同理可得∠EBD，∠ACE，∠BDA，∠CEB的度数；
（2）根据圆周角定理可得∠AEB=∠BDA，∠DAE=∠EBD，根据（1）可得出∠MAE=∠AME，进而得出结论；
（3）连接AB，由（2）△ABE∽△NAE，△ABM≌△EAN，进而得出，AN=BM，根据AE=ME即可得出答案.
【解题过程】（1）解：∵A、B、C、D、E是⊙O上的5等分点，
∴∠COD==72°，
∴∠CAD=∠COD=36°.
同理可得∠EBD=∠ACE=∠BDA=∠CEB=36°.
（2）∵∠AEB=∠BDA，∠DAE=∠EBD，
又∵∠CAD=∠EBD=∠ACE=∠BDA=∠CEB=36°，
∴∠MAE=72°，∠AEB=36°，
∴∠MAE=∠AME=72°，
∴AE=ME.
（3）连接AB.
由（2）可知∠NAE=∠AEN=36°，∠ABE=∠AEB=36°，AB=AE
∴△ABE∽△NAE，△ABM≌△EAN，
∴，AN=BM，
∴AB·AE=BE·AN，
∵AE=ME，
∴ME2=BM·BE.
.
【知识点】圆周角定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质

7.（2019甘肃武威，21，8分）已知：在中，．
（1）求作：的外接圆．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）若的外接圆的圆心到边的距离为4，，则　　．


【思路分析】（1）作线段，的垂直平分线，两线交于点，以为圆心，为半径作，即为所求．
（2）在中，利用勾股定理求出即可解决问题．
【解题过程】解：（1）如图，即为所求．

（2）设线段的垂直平分线交于点．
由题意，，
在中，，
∴．
故答案为．
【知识点】等腰三角形的性质；三角形的外接圆与外心


8.（2019广东广州，23，12分）如图，⊙O的直径AB＝10，弦AC＝8，连接BC．
（1）尺规作图：作弦CD，使CD＝BC（点D不与B重合），连接AD；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）所作的图中，求四边形ABCD的周长．

【思路分析】（1）以C为圆心，CB为半径画弧，交⊙O于D，线段CD即为所求．
（2）连接BD，OC交于点E，设OE＝x，构建方程求出x即可解决问题．
【解题过程】解：（1）如图，线段CD即为所求．

（2）连接BD，OC交于点E，设OE＝x．
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴BC6，
∵BC＝CD，
∴，
∴OC⊥BD于E．
∴BE＝DE，
∵BE2＝BC2﹣EC2＝OB2﹣OE2，
∴62﹣（5﹣x）2＝52﹣x2，
解得x，
∵BE＝DE，BO＝OA，
∴AD＝2OE，
∴四边形ABCD的周长＝6+6+10．
【知识点】作图题；圆周角定理；解直角三角形