2022-2023学年湖南省郴州市高二（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年湖南省郴州市高二（下）期末数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 复数21+i=( )
A. 1+iB. 1−iC. −1−iD. −1+i
2. 已知集合A={x|x2+x−6≤0}，B={x|y=lg(1−x)}，则A∩B=( )
A. [−3,1)B. [−3,2]C. (−∞,2]D. (1,2]
3. 已知抛物线x2=8y上一点P到x轴的距离是6，则点P到该抛物线焦点的距离是( )
A. 4B. 6C. 8D. 10
4. 已知数列{an}中，an2=an−1an+1(n>1,n∈N)且a7=8，a4a8=4，则an+1an=( )
A. ±2B. 2C. 4D. ±4
5. “环境就是民生，青山就是美丽，蓝天也是幸福”，随着经济的发展和社会的进步，人们的环保意识日益增强．某化工厂产生的废气中污染物的含量为1.2mg/cm3，排放前每过滤一次，该污染物的含量都会减少20%，当地环保部门要求废气中该污染物的含量不能超过0.2mg/cm3，若要使该工厂的废气达标排放，那么在排放前需要过滤的次数至少为( )
(参考数据：lg2≈0.3，lg3≈0.477)
A. 5B. 7C. 8D. 9
6. 若非零向量a,b满足(a+b)(a−b)=0,(2a+b)⊥b，则a与b的夹角为( )
A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°
7. 在数学中，有一个被称为自然常数(又叫欧拉数)的常数e≈2.71828.小明在设置银行卡的数字密码时，打算将自然常数的前6位数字2，7，1，8，2，8进行某种排列得到密码.如果排列时要求2不排第一个，两个8相邻，那么小明可以设置的不同的密码个数为( )
A. 30B. 32C. 36D. 48
8. 已知函数f(x)=ln(ex+1)−12x，若a=f(e12),b=f(ln35),c=f(−23)，则a，b，c的大小关系为( )
A. a>b>cB. c>b>aC. b>a>cD. a>c>b
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 下列说法正确的是( )
A. 数据1，2，3，4，5，6，8，9的第25百分位数是2
B. “事件A，B对立”是“事件A，B互斥”的充分不必要条件
C. 若随机变量X服从正态分布N(3,σ2)，且P(X≤4)=0.7，则P(30，
t′=12ex2−12e−x2=12(ex2−e−x2)>0，
所以t=ex2+e−x2在(0,+∞)上单调递增，
所以f(x)=ln(ex2+e−x2)在(0,+∞)上单调递增，
b=f(ln35)=f(−ln35)=f(ln53)，c=f(−23)=f(23)，
令g(x)=x−lnx−1，x>1，
g′(x)=x−1x>0，
所以g(x)在(1,+∞)上单调递增，
所以g(x)>g(1)=0，
所以g(53)=23−ln53>0，
所以23>ln53>0，
所以f(x)在(0,+∞)上单调递增，
所以c>b，
又e12>1>23>ln53，
所以f(e12)>f(23)>f(ln53)，
所以a>c>b，
故选：D．
由函数奇偶性定义可得f(x)为偶函数，又f(x)=ln(ex2+e−x2)，令t=ex2+e−x2，x>0，求导分析单调性，b=f(ln35)=f(−ln35)=f(ln53)，c=f(−23)=f(23)，令g(x)=x−lnx−1，x>1，求导分析单调性可得c>b，又e12>1>23>ln53，则f(e12)>f(23)>f(ln53)，即可得出答案．
本题考查导数的综合应用，解题关键是分析函数的单调性，属于中档题．
9.【答案】BC
【解析】解：对于A，因为8×14=2，
所以数据1，2，3，4，5，6，8，9的第25百分位数是2+32=52，故A错误；
对于B，因为对立事件一定是互斥事件，而互斥事件不一定是对立事件，
所以“事件A，B对立”是“事件A，B互斥”的充分不必要条件，故B正确；
对于C，若随机变量X服从正态分布N(3,σ2)，且P(X≤4)=0.7，
则P(30)，求导得单调性，从而得h(x)的值域，即可得a的取值范围．
本题考查了转化思想、导数的综合运用，属于中档题．
17.【答案】解：(1)因为 3sinBsinC=sin2B+sin2C−sin2A，
由正弦定理可得b2+c2−a2= 3bc，
由余弦定理可得csA=b2+c2−a22bc= 32，
因为A∈(0,π)，所以A=π6．
(2)因为a=2b，由正弦定理可得sinB=12sinA=12sinπ6=14，
因为a=2b>b，则角B为锐角，故csB= 1−sin2B= 1−(14)2= 154，
所以csC=cs[π−(A+B)]=−cs(A+B)
=−cs(π6+B)=sinπ6sinB−csπ6csB
=12×14− 32× 154=1−3 58．
【解析】(1)利用正弦定理结合余弦定理求出csA的值，再结合角A的取值范围可求得角A的值；
(2)利用正弦定理可求出sinB的值，分析可知角B为锐角，求出csB的值，利用诱导公式结合两角和的余弦公式可求得csC的值．
本题主要考查解三角形，正余弦定理的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
18.【答案】解：(1)证明：当n=1时，S1=a1=2a1+2−5，
解得a1=3，
当n≥2时，Sn−1=2an−1+2(n−1)−5．
可得Sn−Sn−1=2an+2n−5−[2an−1+2(n−1)−5]，
整理得an=2an−1−2，
从而an−2=2(an−1−2)(n≥2)，
又a1−2=1，
所以数列{an−2}是首项为1，公比为2的等比数列．
所以an−2=(a1−2)⋅2n−1=2n−1，
故an=2n−1+2，a1=3也适合该式，
综上，数列{an}的通项公式为an=2n−1+2．
(2)由(1)得an+1−2=2n，
所以bn=lg2(an+1−2)=n，
又cn=an−2=2n−1，
∴bncn=n⋅2n−1，
∴Tn=b1c1+b2c2+⋯+bncn
=1×20+2×21+3×22+⋯+n×2n−1，
∴2Tn=1×21+2×22+3×23+⋯+n×2n，
两式相减得−Tn=1+21+22+⋯+2n−1−n×2n=1−2n1−2−n×2n=(1−n)×2n−1，
∴Tn=(n−1)×2n+1．
【解析】(1)求出a1=3，继而写出n≥2时，Sn−1=2an−1+2(n−1)−5，和已知等式相减结合an，Sn的关系可得an=2an−1−2，即可证明结论；根据等比数列的通项公式即可求得数列{an}的通项公式；
(2)由(1)结论可求出{bn⋅cn}的通项公式，利用错位相减法可求得答案．
本题考查数列递推关系的运用，考查错位相减法求和，考查运算求解能力，属于中档题．
19.【答案】(1)证明：取PA的中点F，连接DF，EF，
因为E为PB的中点，所以EF//AB//CD，即C，D，F，E四点共面，
又△PAD是正三角形，所以PA⊥DF，
因为PA⊥CD，DF∩CD=D，DF、CD⊂平面CDE，
所以PA⊥平面CDE，
又PA⊂平面PAB，
所以平面PAB⊥平面CDE．

(2)解：因为AB//CD，∠BAD=90°，所以AD⊥CD，
又PA⊥CD，AD∩PA=A，AD、PA⊂平面PAD，
所以CD⊥平面PAD，
因为CD⊂平面ABCD，所以平面ABCD⊥平面PAD，
所以点P到底面ABCD的距离为 32AD，
因为三棱锥P−ACD的体积为2 33，
所以2 33=13⋅ 32AD⋅12AD⋅2，解得AD=2，
以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(0,0,0)，B(4,0,0)，D(0,2,0)，P(0,1, 3)，E(2,12, 32)，
所以DE=(2,−32, 32)，AD=(0,2,0)，BD=(−4,2,0)，
设平面ADE的法向量为m=(x,y,z)，则DE⋅m=0AD⋅m=0，即2x−32y+ 32z=02y=0，
令z=4，则y=0，x=− 3，所以m=(− 3,0,4)，
同理可得，平面DEB的法向量为n=( 3,2 3,2)，
设面ADE与面DEB的夹角为θ，则csθ=|cs|=|m⋅n||m|⋅|n|=|−3+8| 3+16× 3+12+4=519，
故面ADE与面DEB的夹角的余弦值为519．
【解析】(1)取PA的中点F，连接DF，EF，易知C，D，F，E四点共面，再由PA⊥DF，PA⊥CD，可证PA⊥平面CDE，进而得证；
(2)先证平面ABCD⊥平面PAD，从而知点P到底面ABCD的距离为 32AD，再由棱锥的体积公式求出AD的长，然后以A为坐标原点建立空间直角坐标系，分别求得平面ADE与平面DEB的法向量m与n，设面ADE与面DEB的夹角为θ，由csθ=|cs|，即可得解．
本题考查立体几何的综合应用，熟练掌握线面、面面垂直的判定定理，利用空间向量求二面角的方法是解题的关键，考查空间立体感、推理论证能力和运算能力，属于中档题．
20.【答案】解：(1)记“任取一个羽毛球是合格品”为事件A，
记“产品取自第一批”为事件B，
记“产品取自第二批”为事件C，
此时Ω=B∪C且B，C互斥，
可得P(A)=P(B)P(A|B)+P(C)P(A|C)=0.6×(1−0.05)+0.4×(1−0.04)=0.954，
则P(B|A)=P(B)P(A|B)P(A)=0.6×(1−0.05)0.954=285477；
(2)若抽取的羽毛球是第二批的个数为X，
可得X的所有取值为0，1，2，3，
此时P(X=0)=0.6×0.6×0.6=0.216，P(X=1)=C31×0.62×0.4=0.432，
P(X=2)=C32×0.6×0.42=0.288，P(X=3)=0.43=0.064，
所以X的分布列为：
则E(X)=0×0.216+1×0.432+2×0.288+3×0.064=1.2．
【解析】(1)由题意，记“任取一个羽毛球是合格品”为事件A，记“产品取自第一批”为事件B，记“产品取自第二批”为事件C，根据概率公式进行求解即可；
(2)得到X的所有取值，求出相对应的概率，列出分布列，代入期望公式中即可求解．
本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，考查了逻辑推理和运算能力．
21.【答案】解：(1)由x2+y2+2x−15=0得(x+1)2+y2=16，
∴圆B的圆心B(−1,0)，半径为4，
∴|EA|+|EB|=4，且|AB|=20)，
因为a0，
所以ax−20，f(x)单调递增，
在(1,+∞)上f′(x)0，
所以a