2022-2023学年湖南省长沙市宁乡市高二（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年湖南省长沙市宁乡市高二（下）期末数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年湖南省长沙市宁乡市高二（下）期末数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 记复数z=i(1−i)的共轭复数为z−，则z−在复平面内所对应的点在(    )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2. 在含有3个白球，2个黑球(它们除颜色外，其余均相同)的箱子里不放回地抽取2个球，恰好一个为黑球的概率为(    )
A. 25 B. 12 C. 35 D. 710
3. (2x−1 x)6的展开式中x3的系数为(    )
A. 240 B. −240 C. 120 D. −160
4. 随机变量X的分布列如表，则E(2X+3)的值为(    )
X
1
2
3
P
0.2
A
0.4

A. 4.4 B. 7.4 C. 21.2 D. 22.2
5. 已知正四棱锥的底面边长和侧棱长都为2，则该四棱锥的表面积为(    )
A. 4 3 B. 4 5 C. 4 3+4 D. 4 5+4
6. 已知tanα=4，则sinαcosα=(    )
A. −25 B. 417 C. 49 D. ±417
7. 山东烟台苹果因“果形端正、色泽艳丽、果肉甜脆、香气浓郁”享誉国内外.据统计，烟台苹果(把苹果近似看成球体)的直径X(单位：mm)服从正态分布N(80,52)，则估计苹果直径在(75,90]内的概率为(    )
(附：若X～N(μ,σ2)，则P(μ−σ A. 0.6827 B. 0.8413 C. 0.9545 D. 0.8186
8. 已知y=4x−3⋅2x+3的值域为[1,7]，则x的取值范围是(    )
A. [2,4] B. (−∞,0) C. (0,1)∪[2，4] D. (−∞,0]∪[1,2]

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 某种产品的价格x(单位：元/kg)与需求量y(单位：kg)之间的对应数据如表所示：
x
10
15
20
25
30
y
11
10
8
6
5
数据表中的数据可得回归直线方程为y =b x+14.4，则以下结论正确的是(    )
A. 变量y与x呈负相关
B. 回归直线经过点(20,8)
C. b =−0.32
D. 该产品价格为35元/kg时，日需求量大约为3.4kg
10. 在△ABC中，下列命题正确的是(    )
A. 若A>B，则sinA>sinB
B. 若sin2A=sin2B，则△ABC定为等腰三角形
C. 若acosB−bcosA=c，则△ABC定为直角三角形
D. 若三角形的三边的比是3：5：7，则此三角形的最大角为钝角
11. 二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中正确的是(    )
A. b=−2a
B. a+b+c<0
C. a+c D. abc<0
12. 已知函数y=(12)|x|−3的值域为集合A，函数y=lg(x2−4x)的定义域为B，则下列说法正确的是(    )
A. A∩B={x|x<0或4 B. A∪B={x|x≠0}
C. “x∈∁RB是“x∈A的充分不必要条件
D. 函数y=lg(x2−4x)的增区间是(4,+∞)
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知x>0，y>0，且x+y=1，则3x+4y的最小值为______．
14. 为了贯彻落实党史学习教育成果，某校名师“学史力行”送教井冈山中学.现有理科语文、数学、英语、物理、化学、生物6名理科老师要安排在该中学理科1到6班上一节公开示范课，每个班级只安排一名老师上课且每个老师只在一个班上一节课，要求数学老师不能安排在1班，化学老师不能安排在6班，则不同的安排上课的方法数为______ ．
15. 已知函数f(x)=x3+1,x>0,ax3+b,x<0为偶函数，则2a+b=        ．
16. 记[3−(1+x)]7=a0+a1⋅(1+x)+a2⋅(1+x)2+⋯+a7⋅(1+x)7，则a0+a1+a2+⋯+a6= ______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题10.0分)
化简与计算：(−338)−23×log5[3log95−(3 3)23+7log73]．
18. (本小题12.0分)
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cos(B+C)cosC=a2b+c．
(1)求角A；
(2)若b=1，cosC=2 77，求a，c．
19. (本小题12.0分)
常言说“病从口入”，其实手才是罪魁祸首，它担任了病菌与口之间的运输工具．洗手是预防传染病最简便有效的措施之一，保持手的清洁卫生可以有效降低感染新型冠状病毒的风险．正确的洗手应遵循“七步洗手法”，精简为一句话就是“内外夹弓大立腕”，每一个字代表一个步骤．某学校在开学复课前为了解学生对“七步洗手法”的掌握程度，随机抽取100名学生进行网上测试，满分10分，具体得分情况的频率分布表如下：
得分
4
5
6
7
8
9
10
女生
2
9
14
13
11
5
4
男生
3
5
7
11
10
4
2
(1)现以7分为界限，将学生“七步洗手法”的掌握程度分为两类，得分低于7分的学生为“未能掌握”，得分不低于7分的学生为“基本掌握”．
完成下面2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为学生对“七步洗手法”的掌握程度与性别有关？

未能掌握
基本掌握
合计
女生



男生



合计



(2)从参与网上测试且得分不低于9分的学生中，按照性别以分层抽样的方法抽取10名同学，在10人中随机抽取3人，记抽到女生的人数为X，求X的分布列与期望．
附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)(n=a+b+c+d)．
临界值表：
P(K2≥k)
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828

20. (本小题12.0分)
如图，四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是梯形，AB//CD，BC⊥CD，△PAB是等边三角形，E是棱AB的中点，AB=PD=2，BC=CD=1．
(Ⅰ)证明：PE⊥平面ABCD；
(Ⅱ)求直线PA与平面PCD所成角的正弦值．

21. (本小题12.0分)
已知函数f(x)= 3sin2x−2sin2x．
(1)求f(x)的对称中心；
(2)求f(x)的最小正周期和单调递增区间；
(3)若x∈[−π2,0]，求f(x)的最小值及取得最小值时对应的x的取值．
22. (本小题12.0分)
已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足：①对任意的x，y∈(0,+∞)，都有f(xy)=f(x)+f(y)；②当且仅当x>1时，f(x)<0成立．
(1)求f(1)；
(2)用定义证明f(x)的单调性；
(3)若对∀x∈[1,2]使得不等式f(x2+1x2)≥f[m(x+1x)−4]恒成立，求实数m的取值范围．
答案和解析

1.【答案】D 
【解析】解：z=i(1−i)=1+i，
则z−=1−i，
故所求的点为(1,−1)，位于第四象限．
故选：D．
首先根据复数代数形式的乘法化简复数z，即可得到其共轭复数，再根据复数的几何意义判断即可；
本题主要考查复数的四则运算，以及复数的几何意义，属于基础题．

2.【答案】C 
【解析】解：在含有3个白球，2个黑球(它们除颜色外，其余均相同)的箱子里不放回地抽取2个球共有A52=20种，
恰好一个为黑球的的取法有2C31⋅C21=12，
故恰好一个为黑球的概率为1220=35．
故选：C．
先求总的取法数，再求出恰好一个黑球的取法数，可求恰好一个为黑球的概率．
本题考查古典概型的概率，属基础题．

3.【答案】A 
【解析】
【分析】
本题主要考查二项式定理的应用，是基础题．
求出展开式的通项公式，令x的次数等于3求出r的值即可．
【解答】
解：(2x−1 x)6展开式的通项Tr+1=C6r⋅(2x)6−r⋅(−1 x)r=(−1)r⋅26−r⋅C6r⋅x6−3r2，
由6−3r2=3，可得r=2．
∴含x3项的系数为(−1)2×24×C62=240．
故选A．
  
4.【答案】B 
【解析】解：由题意得0.2+A+0.4=1，解得A=0.4，
∴E(X)=1×0.2+2×0.4+3×0.4=2.2，
∴E(2X+3)=2E(X)+3=2×2.2+3=7.4．
故选：B．
根据期望公式求E(X)，利用期望性质，即可得出答案．
本题考查离散型随机变量的期望与方差，考查转化思想，考查运算能力，属于基础题．

5.【答案】C 
【解析】解：依题意，正四棱锥的底面正方形面积为4，四个侧面是全等的正三角形，每个正三角形面积为 34×22= 3，
所以四棱锥的表面积为4 3+4，
故选：C．
根据给定条件，求出正四棱锥的底面及各侧面面积计算作答．
本题主要考查了正四棱锥的结构特征，属于基础题．

6.【答案】B 
【解析】解：因为tanα=4，
则sinαcosα=sinαcosαsin2α+cos2α=tanαtan2α+1=442+1=417．
故选：B．
利用弦化切可求得所求代数式的值．
本题主要考查三角函数的同角公式，属于基础题．

7.【答案】D 
【解析】解：由X～N(80,52)知μ=80，σ=5，
所以P(75 =P(μ+σ =12[P(μ−2σ ≈12(0.9545−0.6827)+0.6827=0.8186．
故选：D．
根据正态分布的对称性求解可得．
本题主要考查正态分布的对称性，属于基础题．

8.【答案】D 
【解析】解：∵y=4x−3⋅2x+3的值域为[1,7]，
∴1≤4x−3⋅2x+3≤7．
∴−1≤2x≤1或2≤2x≤4．
∴x≤0或1≤x≤2．
故选：D．
根据函数的值域列出不等式，将2x看出整体，通过解二次不等式求出2x，利用指数函数的单调性求出x的范围．
本题考查二次不等式的解法、利用指数函数的单调性解指数不等式．

9.【答案】ABC 
【解析】解：x−=10+15+20+25+305=20，y−=11+10+8+6+55=8，
所以回归直线经过点(20,8)，故B选项正确，
将点(20,8)代入y =b x+14.4，得b =−0.32，所以变量y与x呈负相关，故A、C选项正确，
当产品价格为35元/kg时，代入得y =3.2，所以日需求量大约为3.2kg，故D选项错误．
故选：ABC．
根据线性回归方程经过样本中心(20,8)，可解得b =−0.32，可判断A，B，C.由回归方程做预测，即可判断D．
本题考查了线性回归方程的求解与应用，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于中档题．

10.【答案】ACD 
【解析】
【分析】
本题考查解三角形及其三角恒等变换等知识，考查逻辑推理和数学运算的核心素养，属于中档题．
A，根据正弦定理结合大角对大边可得结论；B，根据诱导公式及三角函数图象与性质可得结论；C，根据正弦定理、诱导公式、正弦和角公式可得结论；D，设出三边的长度，利用余弦定理即可求出最大角．
【解答】
解：对于A选项，由正弦定理结合大角对大边得
A>B⇔a>b⇔sinA>sinB，
故A选项正确；
对于B选项，由于sin2A=sin2B=sin(π−2B)，
由于A，B是三角形的内角，
所以2A=2B或2A=π−2B，即A=B或A+B=π2，
因此△ABC可能为等腰三角形或直角三角形，
故B选项不正确；
对于C选项，由acosB−bcosA=c以及正弦定理得
sinAcosB−sinBcosA=sinC，
即sinAcosB−sinBcosA=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB；
所以2sinBcosA=0，
由于sinB>0，所以cosA=0，所以A=π2，
故△ABC定为直角三角形，
故C选项正确；
对于D选项，∵△ABC的三边之比为3：5：7，
∴设三边长依次为3t，5t，7t，其中t>0；
设最大角是C，由余弦定理知，
49t2=9t2+25t2−2×3t×5tcosC，
∴cosC=−12，
∴C=120°．
故D选项正确．
故选：ACD．
  
11.【答案】ACD 
【解析】解：由图象可得函数y的对称轴为x=1，即−b2a=1，即b=−2a，故A正确；
由图象可得f(1)=a+b+c>0，故B错误；
由图象可得f(−1)=a−b+c<0，即a+c 由图象可得a<0，又b=−2a，可得b>0，又f(0)=c>0，
所以abc<0，故D正确．
故选：ACD．
根据图象可得对称轴方程和f(−1)<0，f(1)>0，f(0)>0，可得结论．
本题考查二次函数的图象和性质，考查数形结合思想和运算能力、推理能力，属于基础题．

12.【答案】BD 
【解析】解：|x|−3≥−3，则0<(12)|x|−3≤(12)−3，则0<(12)|x|−3≤8，则A=(0,8]，
由题意得x2−4x>0，解得x<0或x>4，则B=(−∞,0)⋃(4,+∞)，
则A∩B=(4,8]，故A错误；A∪B={x|x≠0}，故B正确；
∁RB=[0,4]，其中一个元素0在集合A中找不到，故C错误；
设t=x2−4x=(x−2)2−4，则t在(4,+∞)上单调递增，且t>0，
而y=lgt在(0,+∞)上单调递增，
则根据复合函数单调性得y=lg(x2−4x)在(4,+∞)上单调递增，则其增区间为(4,+∞)，故D正确．
故选：BD．
根据指数型函数值域即可得到即可A，根据对数型函数定义即可得到B，根据交并集含义即可判断AB，根据充分不必要条件的判定即可判断C，根据复合函数单调性即可判断D．
本题主要考查函数的定义域及其求法，属于基础题．

13.【答案】7+4 3 
【解析】解：因为x>0，y>0，且x+y=1，
则3x+4y=3x+3yx+4x+4yy=7+3yx+4xy≥7+2 3yx⋅4xy=7+4 3，
当且仅当3yx=4xy且x+y=1，即y=4−2 3，x=2 3−3时取等号，此时3x+4y的最小值为7+4 3．
故答案为：7+4 3．
由已知利用乘1法结合基本不等式即可求解．
本题主要考查了乘1法及基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．

14.【答案】504 
【解析】解：根据计数原理可以将事情分成两类：化学老师安排在1班和化学老师不安排在1班．
①化学老师排在1班，先排1班，有1种方法，其余5个班的老师做全排列，
共有A55=120种方法；
②化学老师不在1班，先排1班，有4种方法，再排6班有4种方法，余下4个班有A44=24种方法，
共有：4×4×24=384种方法．
所以不同的安排上课的方法数为120+384=504．
故答案为：504．
根据排列计算公式，结合特殊元素法求解排列数即可得出答案．
本题考查排列组合，考查运算求解能力，属于基础题．

15.【答案】32 
【解析】解：因为f(x)为偶函数，
当x<0时，−x>0，
所以f(−x)=−x3+1，f(x)=ax3+b，
又因为f(−x)=f(x)，
a=−1，b=1，
所以2a+b=2−1+1=32．
故答案为：32．
根据f(x)=f(−x)求出a，b的值，再代入计算即可．
本题考查了偶函数的性质，分段函数的性质，属于基础题．

16.【答案】129 
【解析】解：令t=1+x，则(3−t)7=a0+a1t+a2t2+⋯+a7t7，
所以，(3−t)7的展开式通项为Tk+1=C7k⋅37−k⋅(−t)k=C7k⋅37−k⋅(−1)k⋅tk(k=0,1,2,⋯,7)，
所以，a7=−C77=−1，
在等式(3−t)7=a0+a1t+a2t2+⋯+a7t7中，
令t=1，可得a0+a1+a2+⋯+a6+a7=(a0+a1+a2+⋯+a6)−1=27，
因此，a0+a1+a2+⋯+a6=27+1=129．
故答案为：129．
令t=1+x，则(3−t)7=a0+a1t+a2t2+⋯+a7t7，利用二项展开式通项可求出a7的值，然后令t=1，可求得a0+a1+a2+⋯+a6的值．
本题主要考查二项式定理，属于中档题．

17.【答案】解：原式=13(−278)2×log5[3log325−(2712)23+3]=1(32)3×23×log5(3log3512−2713+3)
=49×log5512=49×12=29． 
【解析】利用指数的运算性质、对数的运算性质化简可得所求代数式的值．
本题主要考查了指数及对数的运算性质，属于基础题．

18.【答案】解：(1)因为cos(B+C)cosC=a2b+c，所以−cosAcosC=a2b+c．
由正弦定理得−cosAcosC=sinA2sinB+sinC，
所以2sinBcosA+sinCcosA=−cosCsinA，
所以2sinBcosA=−(cosCsinA+sinCcosA)，
即2sinBcosA=−sin(A+C)=−sinB．
因为sinB≠0，所以cosA=−12，
因为A∈(0,π)，所以A=2π3．
(2)若cosC=2 77，C∈(0,π)，则sinC= 1−(2 77)2= 217．
则sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC= 32×2 77+(−12)× 217= 2114．
由正弦定理bsinB=asinA=csinC，得1 2114=a 32=c 217，
解得a= 7，c=2． 
【解析】(1)利用三角恒等变换化简即得解；
(2)求出sinB，再利用正弦定理得解．
本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于中档题．

19.【答案】解：(1)由得分情况的频率分布表得2×2列联表如下：

未能掌握
基本掌握
合计
女生
25
33
58
男生
15
27
42
合计
40
60
100
K2=100×(25×27−33×15)240×60×42×58≈0.554，
因为0.554<3.841，
所以没有95%的把握认为学生对“七步洗手法”的掌握程度与性别有关．
(2)由得分情况的频率分布表可知，参与网上测试且得分不低于(9分)的学生中，女生9人，男生6人，
从而分层抽样抽取的10人中，女生6人，男生4人．
在10人中随机抽取3人，记抽到女生的人数为X，则X的可能取值为0，1，2，3，
所以P(X=0)=C60C43C103=130，
P(X=1)=C61C42C103=310，
P(X=2)=C62C41C103=12，
P(X=3)=C63C103=16，
所以随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
P
130
310
12
16
所以E(X)=0×130+1×310+2×12+3×16=95． 
【解析】本题主要考查独立性检验及超几何分布，属于中档题．
(1)建立2×2列联表代入公式计算即可；
(2)首先找到随机变量X的可能取值为0，1，2，3，通过超几何分布概念计算即可．

20.【答案】(Ⅰ)证明：因为BE//CD，BE=CD=1，所以四边形BCDE是平行四边形，
所以DE=BC=1．
在等边△PAB中，E是AB中点，AB=2，所以PE= 3．
在△PDE中，PD=2，所以DE2+PE2=PD2，所以PE⊥DE．
又因为PE⊥AB，AB∩DE=E，所以PE⊥平面ABCD．
(Ⅱ)解法1：在△PDE中，作EF⊥PD，垂足为F．

因为AE//CD，所以AE//平面PCD，
所以点A，E到平面PCD的距离相等．
因为PE⊥平面ABCD，所以CD⊥PE，
又因为BC⊥CD，BC//DE，所以CD⊥DE，
所以CD⊥平面PDE，CD⊂平面PCD，
所以平面PCD⊥平面PDE，
所以EF⊥平面PCD，
所以点A到平面PCD的距离即为EF= 32．
设直线PA与平面PCD所成角为θ，则sinθ= 32PA= 34，
所以直线PA与平面PCD所成角的正弦值为 34．
解法2：因为PE⊥平面ABCD，所以三棱锥P−ACD的体积为VP−ACD=13S△ACD⋅PE=13×12× 3= 36．
设点A到平面PCD的距离为d，又DC⊥DP，所以三棱锥A−PCD的体积为VA−PCD=13S△PCD⋅d=13⋅12⋅DP⋅DC⋅d=13d．
由VP−ACD=VA−PCD，得 36=13d，所以d= 32．
设直线PA与平面PCD所成的角为θ，则sinθ=dPA= 34，
所以直线PA与平面PCD所成角的正弦值为 34．
解法3：因为PE⊥平面ABCD，DE⊥AB，所以，以E为原点，分别以射线ED，EB，EP为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系E−xyz，则A(0,1,0)，C(1,1,0)，D(1,0,0)，P(0,0, 3)，
AP=(0,1, 3)，DC=(0,1,0)，DP=(−1,0, 3)．
设平面PCD的一个法向量为n=(x,y,z).取z=1，得n=( 3,0,1)．
设直线PA与平面PCD所成角为θ，
则sinθ=|cos〈AP,n〉|=|AP⋅n||AP|⋅|n|= 34．
所以直线PA与平面PCD所成角的正弦值为 34． 
【解析】(Ⅰ)证明PE⊥DE.结合PE⊥AB，即可证明PE⊥平面ABCD．
(Ⅱ)解法1：作EF⊥PD，垂足为F.说明点A，E到平面PCD的距离相等．证明CD⊥PE，CD⊥DE，推出CD⊥平面PDE，证明平面PCD⊥平面PDE，
得到EF⊥平面PCD，求出点A到平面PCD的距离，然后求解直线PA与平面PCD所成角的正弦值．
解法2：通过由VP−ACD=VA−PCD，推出d= 32.然后求解直线PA与平面PCD所成角的正弦值．
解法3：以E为原点，分别以射线ED，EB，EP为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系E−xyz，求出面PCD的一个法向量，利用空间向量的数量积求解直线PA与平面PCD所成角的正弦值．
本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，直线与平面所成角的正弦函数值的求法，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力，是中档题．

21.【答案】解：(1)f(x)= 3sin2x−2sin2x= 3sin2x−1+cos2x
=2( 32sin2x+12cos2x)−1=2sin(2x+π6)−1，
由2x+π6=kπ得x=−π12+kπ2，k∈Z，
所以对称中心(−π12+kπ2,−1)(k∈Z)；
(2)f(x)=2sin(2x+π6)−1，
∵T=2π|ω|，
∴T=2π2=π，
∴f(x)的最小正周期为π，
由−π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ，k∈Z，
得：−π3+kπ≤x≤π6+kπ，k∈Z，
∴f(x)单调递增区间为[−π3+kπ,π6+kπ],(k∈Z)；
(3)f(x)=2sin(2x+π6)−1，
∵x∈[−π2,0]，∴2x+π6∈[−5π6,π6]，
∴sin(2x+π6)∈[−1,12]，
∴2sin(2x+π6)−1∈[−3,0]，
即：fmin(x)=−3，此时2x+π6=−π2，x=−π3． 
【解析】(1)利用三角恒等变换和辅助角公式化简，再求对称中心即可求解；
(2)利用整体代换法可得周期和单调区间；
(3)根据x的范围利用整体代换法求出最小值及取得最小值时对应的x的取值即可．
本题主要考查三角函数的最值，考查转化能力，属于中档题．

22.【答案】解：(1)∵对任意的x，y∈(0,+∞)，都有f(xy)=f(x)+f(y)，
令x=y=1，则f(1)=f(1)+f(1)，
∴f(1)=0．
(2)证明：任取x1，x2∈(0,+∞)，且x1>x2，
由f(xy)=f(x)+f(y)，可知f(x1)=f(x2⋅x1x2)=f(x2)+f(x1x2)，
则f(x1)−f(x2)=f(x1x2)，
∵x1>x2>0，∴x1x2>1，
∴f(x1x2)<0，∴f(x1)−f(x2)<0，
∴f(x1) 故函数f(x)在(0,+∞)上是减函数．
(3)由(2)知函数f(x)在(0,+∞)上是减函数，
∴当x∈[1,2]时，x2+1x2≤m(x+1x)−4恒成立，
即(x+1x)2+2≤m(x+1x)．
令t=x+1x，则t∈[2,52]，
∴当t∈[2,52]时，t2+2≤mt恒成立，
即当t∈[2,52]时，m≥(t+2t)max，
设g(t)=t+2t，
则函数g(t)=t+2t在t∈[2,52]时为增函数，
∴g(t)max=52+252=52+45=3310，
∴m≥3310，
又当t∈[2,52]时，mt−4>0恒成立，
∴m>(4t)max，
∵y=4t在t∈[2,52]时为减函数，
∴ymax=42=2，
∴m>2，
综上，m≥3310，即实数m的取值范围为[3310,+∞)． 
【解析】(1)令x=y=1可得；
(2)任取x1，x2∈(0,+∞)，且x1>x2，根据定义可得f(x1)−f(x2)=f(x1x2)，即可证明；
(3)由(2)知函数f(x)在(0,+∞)上是减函数，当x∈[1,2]x2+1x2≤m(x+1x)−4在恒成立，令t=x+1x，转化为当t∈[2,52]时，t2+2≤mt恒成立且mt−4>0恒成立，分别求出其最值即可．
本题主要考查抽象函数及其应用，函数恒成立问题，考查运算求解能力，属于中档题．