江苏省南京市六校2021-2022学年高一下学期期末数学试卷（含答案）

这是一份江苏省南京市六校2021-2022学年高一下学期期末数学试卷（含答案），共16页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

江苏省南京市六校2021-2022学年高一下学期期末数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题
1、若复数z满足，则的虚部为( )
A. B. C. D.
2、总体编号为01，02，…，29，30的30个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第3列和第4列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为( )
7816 1572 0802 6315 0216 4319 9714 0198
3204 9234 4936 8200 3623 4869 6938 7181
A.02 B.15 C.16 D.19
3、下列说法中正确的是( )
A.以直角梯形的一条腰所在直线为旋转轴，其余边旋转一周形成的几何体叫圆台
B.有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体是棱柱
C.若一个平面内有无数个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行
D.过直线外一点有无数条直线与该直线垂直
4、如图，水平放置的四边形ABCD的斜二测直观图为矩形，已知，，则四边形ABCD的周长为( )

A.8 B.10 C.12 D.
5、下列等式不正确的是( )
A. B.
C. D.
6、已知，是平面内互相垂直的单位向量，且，，则与夹角余弦值为( )
A. B. C. D.
7、已知m、n为两条不同的直线，、为两个不同的平面，则下列结论中正确的是( )
A.若，，则
B.若，，，则
C.若，，且，，则
D.若，，则
8、在四棱锥中，，，平面平面ABCD，，，则二面角的正切值为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9、已知向量，，，则下列说法正确的是( )
A.的相反向量是 B.若，则
C.在上的投影向量为 D.若，则
10、某市商品房调查机构随机抽取n名市民，针对其居住的户型结构和满意度进行了调查，如图1调查的所有市民中四居室共300户，所占比例为，二居室住户占.如图2是用分层抽样的方法从所有调查的市民的满意度问卷中，抽取10%的调查结果绘制成的统计图，则下列说法错误的是( )

A.样本容量为90
B.样本中三居室住户共抽取了35户
C.据样本可估计对四居室满意的住户有110户
D.样本中对二居室满意的有3户
11、在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，下列说法正确的是( )
A.若，则是等腰三角形
B.若，，，则满足条件的三角形有且只有一个
C.若不是直角三角形，则
D.若，则为钝角三角形
12、在棱长为2的正方体中，M为棱的中点，下列说法正确的是( )
A.直线AC与直线所成的角为
B.直线AC与直线所成的角为
C.若平面过点M，且，则平面截正方体所得的截面图形的周长为
D.动点P在侧面及其边界上运动，且，则AP与平面所成角的正切值的取值范围是
三、填空题
13、组数据2，x，4，6，10的平均值是5，则此组数据的方差是_______.
14、已知轮船A和轮船B同时离开C岛，A船沿北偏东的方向航行，B船沿正北方向航行（如图）.若A船的航行速度为40，1小时后，B船测得A船位于B船的北偏东的方向上，则此时A，B两船相距_______________.

15、在平行四边形ABCD中，，垂足为P，若，则_________.
16、如图，正方形ABCD的边长为10米，以点A为顶点，引出放射角为的阴影部分的区域，其中，，记AE，AF的长度之和为.则的最大值为___________.

四、解答题
17、设实部为正数的复数z，满足，且复数为纯虚数.
（1）求复数z；
（2）若复数z是关于x的方程（m，的根，求实数m和n的值.
18、已知，为锐角，，.
（1）求的值；
（2）求角.
19、为了调查疫情期间物理网课学习情况，某校组织了高一年级学生进行了物理测试.根据测试成绩（总分100分），将所得数据按照，，，，，分成6组，其频率分布直方图如图所示.

（1）求图中a的值；
（2）试估计本次物理测试成绩的平均分；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）
（3）该校准备对本次物理测试成绩优异（将成绩从高到低排列，排在前13%的为优异）的学生进行嘉奖，则受嘉奖的学生分数不低于多少？
20、如图，四棱锥中，底面ABCD，底面ABCD为菱形，点F为侧棱PC上一点．

（1）若，求证：平面BDF；
（2）若，求证：平面平面PBC．
21、已知的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，的面积为S，且满足，.
（1）求A和a的大小；
（2）若为锐角三角形，求的面积S的取值范围.
22、如图，设中的角A，B，C所对的边是a，b，c，为的角平分线，已知，，，点E，F分别为边AB，AC上的动点，线段EF交AD于点G，且的面积是面积的一半.

（1）求边BC的长度；
（2）当时，求的面积.
参考答案
1、答案：B
解析：由题得，，，故的虚部为，故选B.
2、答案：D
解析：由题意得，取到的编号依次为16，15，08，02，19，所以选出来的第5个个体的编号为19.
3、答案：D
解析：由圆台定义知，以直角梯形的一条直角边为轴旋转，其余三边旋转形成的面围成的旋转体是圆台，故A错误：
由棱柱定义可知，棱柱是有两个面平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体，故B错误;
若一个平面内有无数个点到另一个平面的距离相等，那么这两个平面有可能相交，也可能平行，故C错误；
在空间中，由于过直线外一点存在一个平面与该直线垂直，在该平面内过这个点的所有直线都和这条直线垂直，故过直线外一点有无数条直线与该直线垂直，故D正确，故选：D
4、答案：B
解析：易得，画出原四边形ABCD如图，易知四边形ABCD为平行四边形，，，，则四边形ABCD的周长为，故选B.

5、答案：C
解析：对于A，，故A正确;对于B，，故B正确;对于C，，故C错误;对于D，，故D正确.选C.
6、答案：A
解析：由题设，，又，且，同理，，所以.故选:A
7、答案：D
解析：若，，则或m与n异面，故A错误;若，，，则或或n与相交，相交也不一定垂直，故B错误;若，，且，n，当m与n相交时，，否则与不一定平行，故C错误;若，，则，故D正确.
故选:D.
8、答案：A
解析：如图，取CD的中点O，连接PO，OA，则，又平面平面ABCD，平面平面，平面PCD，则平面ABCD.由平面ABCD可得.由CD，，，可得四边形ABCO为正方形，为等腰直角三角形.取AD的中点E，连接OE，PE，则，又，可得平面PEO.因为平面PEO，所以PE，则即为二面角的平面角，又，，则，故选A.

9、答案：AC
解析：对于A，由相反向量的定义可得到a的相反向量是-a，故A选项正确;对于B，因为，，所以.又，且，所以，解得，故B选项错误;对于C，因为，，所以，，所以a在b上的投影为，所以a在b上的投影向量为，故C选项正确;对于D，因为，，所以.又，且，所以，解得，故D选项错误，故选AC.
10、答案：BC
解析：如图I调查的所有市民中四居室共300户，所占比例为，二居室住户占，，二居室有户，三居室有450户，由图1和图2得:
在A中，样本容量为:，故A正确;
在B中，样本中三居室住户共抽取了户，故B错误;
在C中，根据样本可估计对四居室满意的住户有户，故C错误;
在D中，样本中对二居室满意的有户，故D正确.
故选：BC.
11、答案：BC
解析：对于A:由正弦定理得，则，则中或，故A错误;
对于B:由，则，
可得，故，满足条件的三角形有一个，故B正确;
对于C:由不是直角三角形且，
则，
所以，故C正确;
对于D:，即，
为锐角，故不一定为钝角三角形，故D错误;
故选:BC
12、答案：BCD
解析：连接，，易得，故即为AC与所成的角或其补角，易知为正三角形，所以，故直线AC与直线所成的角为，故A错误;连接BD，，易得平面，，即直线AC与直线所成的角为，故B正确;易得平面，因为，所以平面，取AB的中点N，BC的中点Q，连接MQ，NQ，MN，易得平面平面，则即为平面截正方体所得的截面图形，易得，故的周长为，C正确;易知点P是线段上的动点，AP与平面所成角为，，由P是线段上的动点，得，，D正确.

13、答案：8
解析：数据2，x，4，6，10的平均值是5，
，
解得，
此组数据的方差:
.
故答案为:8.
14、答案：
解析：由题设，且，正弦定理有，则，可得.故答案为:
15、答案：
解析：如图，在平行四边形ABCD中，.因为，所以.根据向量数量积的几何意义可知，解得.

16、答案：
解析：在中，，.易得.在中，，所以，.所以.令，则，
所以，所以.易知函数在上单调递减，所以，此时或.
17、答案：（1）
（2），
解析：（1）设，（a，，），则
因为为纯虚数，所以，
又，所以，
联立方程得，，故.
（2）因为是关于x的方程（m，）的根，
所以，即，
所以
解得，.
18、答案：（1）
（2）
解析：（1）因为，所以，又
所以
所以
（2）因为，为锐角，所以，则，
因为，所以.
又为锐角，，所以，
故
，
因为为锐角，所以.
19、答案：（1）；
（2）；
（3）.
解析：（1）由，解得；
（2），
故本次防疫知识测试成绩的平均分为71；
（3）设受嘉奖的学生分数不低于x分，
因为，对应的频率分别为0.15，0.1，
所以，解得，
故受嘉奖的学生分数不低于88分.
20、答案：（1）证明见解析；
（2）证明见解析.
解析：（1）设AC，BD的交点为O，连接OF，

因为底面ABCD为菱形，且O为AC中点，，
所以，又平面BDF，平面BDF，
故平面BDF．
（2）因为底面ABCD为菱形，所以，
因为平面ABCD，平面ABCD，所以，
又，AC、平面PAC，
所以平面PAC，又平面PAC，
所以，又，，BD，平面BDF，
所以平面BDF，又平面PBC，故平面平面PBC.
21、答案：（1），；
（2）.
解析：（1）因为，
由正弦定理得：
所以，
所以，
因为中，所以，
因为，所以，
因为，由余弦定理得：，解得，
综上，，.
（2）由（1）知：，，
由正弦定理得：，.
因为为锐角三角形，故，得.
从而的面积

，
又，，
所以，从而的面积的取值范围为.
22、答案：（1）
（2）
解析：（1）由，得，
因为，所以；
因为AD为的角平分线，所以，
所以，
，
又，所以，得，
因为，
所以；
（2）设，，（，，），
因为的面积是面积的一半，
所以，
所以，①
，
由，得，
因为E，F，G三点共线，所以，即，
所以，
又，
所以

，
因为，所以，②
由①②解得，，
所以，此时点F与点C重合；
因为，
所以
所以；
由得，
所以.