四川省成都市温江区2022-2023学年八年级下学期期末数学试卷（含答案）

这是一份四川省成都市温江区2022-2023学年八年级下学期期末数学试卷（含答案），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年四川省成都市温江区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题：本大题共8个小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（4分）以下分别是回收、节水、绿色包装、低碳4个标志，其中是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（4分）下列说法正确的是（　　）
A．对角线相等且垂直的四边形是正方形
B．对角线相等且互相平分的四边形是菱形
C．一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形
D．对角线相等的平行四边形是矩形
3．（4分）在下列不等式中，解集为x＜﹣1的是（　　）
A．﹣2x＜2 B．﹣2x＞﹣2 C．2x＜﹣2 D．2x＞2
4．（4分）下列分解因式正确的是（　　）
A．4x3﹣x＝x（4x+1）（4x﹣1） B．﹣x2+xy+x＝﹣x（x﹣y+1）
C．x3+2x2+x＝x（x+1）2 D．x2﹣3x+9＝（x+3）（x﹣3）
5．（4分）如果一个多边形的内角和是其外角和的两倍，那么这个多边形是（　　）
A．六边形 B．五边形 C．四边形 D．三角形
6．（4分）如图，F是正方形ABCD对角线BD上一点，连接AF，CF，并延长CF交AD于点E．若∠AFC＝130°，则∠DEC的度数为（　　）

A．65° B．70° C．75° D．80°
7．（4分）某车间加工600个零件后采用了新工艺，工效提高了50%，这样加工同样多的零件少用5h，求采用新工艺前、后每小时分别加工多少个零件？若设采用新工艺前每小时加工x个零件，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
8．（4分）如图，已知▱ABCD的顶点A（﹣3，0），C（7，4），点B在x轴正半轴上，点D在y轴正半轴上，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，AD于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点M，作射线AM交CD于点G．则点G的坐标为（　　）

A．（3，4） B．（4，4） C．（5，4） D．（6，4）
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分。
9．（4分）因式分解：m2﹣4m＝　 　．
10．（4分）如图，将△ABC沿BC向右平移得到△DEF，若BC＝5，BE＝2，则CF＝　 　．
​

11．（4分）如图，在平面直角坐标系中，函数y＝2x与y＝kx+b（k＜0）的图象交于点P（m，2），则不等式kx+b＞2x的解集为 　 　．
​

12．（4分）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：
①分别以点B和C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点E和F；
②作直线EF交AB于点P．若AC＝5，AP＝3，∠B＝45°．则AB的长为 　 　．

13．（4分）如图，边长为2的等边三角形ABC中，E是对称轴AD上的一个动点，连接CE将线段CE绕点C顺时针旋转60°得到CF，连接DF，则在点E运动过程中，DF的最小值是 　 　．

三、解答题：本大题共5个小题，共48分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
14．（12分）（1）分解因式：x2y﹣2xy2+y3．
（2）解不等式组，并在数轴上表示出解集．
15．（8分）解方程：．
16．（8分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，4），B（﹣2，1），C（﹣1，2）．
（1）平移△ABC，使得点A的对应点A1的坐标为（1，4），画出平移后的Δ A1B1C1．
2）将△ABC绕点O旋转180°，画出旋转后的Δ A2B2C2．
（3）若Δ A1B1C1与Δ A2B2C2关于点P成中心对称，求点P的坐标．

17．（10分）先化简，再求值：
，然后从﹣3，0，1，3中选一个合适的数作为x的值代入求值．
18．（10分）如图，四边形ABCD是矩形，点E，F分别在边AD，BC上，将矩形ABCD沿EF对折，点B与点D恰好重合．
（1）求证：四边形BEDF是菱形；
（2）若AB＝3，BC＝4，求菱形BEDF的面积．

一、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分。
19．（4分）若m﹣n＝2，则2m2﹣4mn+2n2的值为 　 　​．
20．（4分）以正六边形ABCDEF的顶点D为旋转中心，按顺时针方向旋转，使得新正六边形A′B′C′D′E′F′的顶点E′落在直线CD上，则正六边形ABCDEF至少旋转 　 　°．
​

21．（4分）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，OE⊥AC交AB点E，连接CE．若△BCE的周长为12，则▱ABCD的周长为 　 　．
​

22．（4分）若关于x的方程的解是正数，则a的取值范围是 　 　．
23．（4分）如果菱形有一条对角线等于它的边长，那么称此菱形为“完美菱形”．如图，已知“完美菱形”ABCD的边长为4，BD是它的较短对角线，点E，F分别是边AC，BD上的两个动点，且EF＝2，点G为EF的中点，点P为AB边上的动点，则PD+PG的最小值为 　 　．
​

二、解答题：本大题共3个小题，共30分。
24．（8分）2023年7月28日至8月8日，第31届世界大学生运动会将在成都举行．大动会场馆共计49个，包括13个新建场馆和36个改造场馆．现计划对面积为6000m2的某场馆区域进行绿化．经投标，由甲、乙两个工程队来完成，若甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化面积的2倍，并且在独立完成面积为800m2区域的绿化时，甲队比乙队少用2天．
（1）求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积；
（2）设甲工程队施工x天，乙工程队施工y天，刚好完成绿化任务，求y关于x的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，若甲队每天绿化费用是2万元，乙队每天绿化费用为0.8万元，且甲乙两队施工的总天数不超过20天，则如何安排甲乙两队施工的天数，使施工总费用最低？并求出最低费用．
25．（10分）如图所示，在▱ABCD中，E，F分别为边AB，DC的中点，连接ED，EC，EF，作CG∥DE，交EF的延长线于点G，连接DG．
（1）求证：四边形DECG是平行四边形；
（2）当DE平分∠ADC时，求证：四边形DECG是矩形．

26．（12分）在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是矩形，，∠AOB＝30°
（1）如图1，点P为射线OB上的动点，连接PA，若△PAB是等腰三角形，求PA的长度；
（2）如图2，是否在x轴上存在点E，在直线BC上存在点F，以O，B，E，F为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点E，F的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图3，点M是BC边上的动点，过点M作OB的垂线交直线OA于点N，求OM+MN+NB的最小值．
​

2022-2023学年四川省成都市温江区八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共8个小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【解答】解：选项B、C、D都不能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项A能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：A．
2．【分析】由正方形，矩形，菱形，平行四边形的判定即可判断．
【解答】解：A、对角线相等且垂直的四边形不一定是正方形，故A不符合题意；
B、对角线相等且互相平分的四边形是矩形，故B不符合题意；
C、一组对边平行另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，故C不符合题意；
D、对角线相等的平行四边形是矩形，正确，故D符合题意．
故选：D．
3．【分析】分别求出每个不等式的解集，继而得出答案．
【解答】解：A．﹣2x＜2的解集为x＞﹣1，此选项不符合题意；
B．﹣2x＞﹣2的解集为x＜1，此选项不符合题意；
C．2x＜﹣2的解集为x＜﹣1，此选项符合题意；
D．2x＞的解集为x＞1，此选项不符合题意；
故选：C．
4．【分析】利用提公因式法与公式法，进行分解逐一判断，即可解答．
【解答】解：A、4x3﹣x＝x（2x+1）（2x﹣1），故A不符合题意；
B、﹣x2+xy+x＝﹣x（x﹣y﹣1），故B不符合题意；
C、x3+2x2+x＝x（x+1）2，故C符合题意；
D、x2﹣3x+9不能分解，故D不符合题意；
故选：C．
5．【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°与外角和定理列出方程，然后求解即可．
【解答】解：设这个多边形是n边形，
根据题意得，（n﹣2）•180°＝2×360°，
解得n＝6．
故选：A．
6．【分析】利用正方形的性质，由“SAS”可证△ABF≌△CBF，依据全等三角形的对应角相等，可得∠AFB＝∠CFB＝65°，由三角形的外角性质可得到∠DEF的度数．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CB，∠ABF＝∠CBF＝ABC＝45°，
在△ABF和△CBF中，
，
∴△ABF≌△CBF（SAS）；
∴∠AFB＝∠CFB，
又∵∠AFC＝130°，
∴∠CFB＝65°，
∵∠DFC+∠CFB＝180°，
∴∠DFC＝180°﹣∠CFB＝115°，
∵∠DEF+∠EDF＝∠DFC，
∴∠DEC＝∠DFC﹣∠EDF＝115°﹣45°＝70°，
故选：B．
7．【分析】加工600个零件，新工艺前加工时间为h；新工艺加工时间为h，然后根据题意列出方程即可．
【解答】解：加工600个零件，新工艺前加工时间为h；新工艺加工时间为h，
根据题意得﹣＝5．
故选：B．
8．【分析】由平行四边形的性质可得AO＝3，DO＝4，AB∥CD，由勾股定理可得AD的长，由平行线的性质和角平分线的性质可得AD＝DG＝5，即可求解．
【解答】解：由题意可得：AG平分∠DAB，
∵▱ABCD的顶点A（﹣3，0），C（7，4），
∴AO＝3，DO＝4，AB∥CD，
∴AD＝＝＝5，
∵AB∥CD，
∴∠DGA＝∠BAG，
又∵AG平分∠DAB，
∴∠DAG＝∠BAG，
∴∠DAG＝∠DGA，
∴AD＝DG＝5，
∴点G（5，4），
故选：C．
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分。
9．【分析】直接提取公因式m，进而分解因式即可．
【解答】解：m2﹣4m＝m（m﹣4）．
故答案为：m（m﹣4）．
10．【分析】根据经过平移，对应点所连的线段相等解答即可．
【解答】解：由平移的性质可知：CF＝BE＝2，
故答案为：2．
11．【分析】先利用正比例函数解析式确定P点坐标，然后观察函数图象得到，当x＞﹣1时，直线y＝﹣2x都在直线y＝kx+b的下方，于是可得到不等式kx+b＞﹣2x的解集．
【解答】解：∵当y＝2时，2x＝2，
解得x＝1，
∴P（1，2）
由图象得：不等式kx+b＞2x的解集为：x＜1，
故答案为：x＜1．
12．【分析】①根据要求作出图形；
②利用勾股定理求出PC，可得结论．
【解答】解：①图形如图所示：

②连接PC．
由作图可知EF垂直平分线段BC，
∴PB＝PC，
∴∠B＝∠PCB＝45°，
∴∠APC＝∠B+∠PCB＝90°，
∴PC＝＝＝4，
∴PB＝PC＝4，
∴AB＝AP+PB＝3+4＝7．
故答案为：7．
13．【分析】取AC的中点G，则CG＝CD，利用SAS证明△CDE≌△CGF，得∠FGC＝∠EDC＝90°，则点F在直线BG上运动，根据垂线段最短从而解决问题．
【解答】解：取AC的中点G，则CG＝CD，

∵将线段CE绕点C顺时针旋转60°得到CF，
∴CE＝CF，∠ECF＝60°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，
∴∠DCE＝∠ACF，
∴△CDE≌△CGF（SAS），
∴∠FGC＝∠EDC＝90°，
∴点F在直线BG上运动，
过点D作DH⊥BG，此时DF的最小值即为DH，
∵BD＝BC＝1，
∴DH＝，
故答案为：．
三、解答题：本大题共5个小题，共48分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
14．【分析】（1）提公因式后再利用完全平方公式进行因式分解即可；
（2）解一元一次不等式组求得其解集，然后在数轴上表示其解集即可．
【解答】解：（1）原式＝y（x2﹣2xy+y2）
＝y（x﹣y）2；
（2）由①得：2（x+1）﹣3（x﹣1）≤6，
即2x+2﹣3x+3≤6，
整理得：﹣x≤1，
解得：x≥﹣1，
由②得：3x﹣1＜2x+2，
整理得：x＜3，
故原不等式组的解集为：﹣1≤x＜3，
在数轴上表示其解集如下图所示：
．
15．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：3（x+1）﹣（x﹣5）＝0，
整理得：2x+8＝0，
解得：x＝﹣4，
经检验x＝﹣4是分式方程的解．
16．【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；
（2）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2即可；
（3）对应点连线的交点即为旋转中心P．
【解答】解：（1）如图，Δ A1B1C1即为所求；
（2）如图，Δ A2B2C2即为所求；
（3）如图，点P即为所求．P（2，0）．

17．【分析】利用分式的运算法则将原式进行化简，然后根据分式有意义的条件确定x的值，再将其代入化简结果计算即可．
【解答】解：原式＝÷
＝÷
＝•
＝，
∵x（x+3）≠0，x﹣1≠0，
∴x≠0，x≠﹣3，x≠1，
∴x＝3，
∴原式＝＝．
18．【分析】（1）由四边形ABCD是矩形，得∠DEF＝∠BFE，根据将矩形ABCD沿EF对折，点B与点D恰好重合，有DE＝BE，DF＝BF，∠DEF＝∠BEF，即可得BE＝BF，从而DE＝BE＝BF＝DF，四边形BEDF是菱形；
（2）设菱形BEDF边长是x，则AE＝AD﹣DE＝4﹣x，在Rt△ABE中，有（4﹣x）2+32＝x2，即可解得BF＝，从而可得菱形BEDF的面积为．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DEF＝∠BFE，
∵将矩形ABCD沿EF对折，点B与点D恰好重合，
∴DE＝BE，DF＝BF，∠DEF＝∠BEF，
∴∠BFE＝∠BEF，
∴BE＝BF，
∴DE＝BE＝BF＝DF，
∴四边形BEDF是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝4，∠A＝90°，
设菱形BEDF边长是x，则AE＝AD﹣DE＝4﹣x，
在Rt△ABE中，AE2+AB2＝BE2，
∴（4﹣x）2+32＝x2，
解得x＝，
∴BF＝，
∴菱形BEDF的面积是BF•AB＝×3＝，
答：菱形BEDF的面积为．
一、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分。
19．【分析】先将原式化简为2（m﹣n）2，再代入求解．
【解答】解：∵2m2﹣4mn+2n2
＝2（m﹣n）2，
∴当m﹣n＝2时，
原式＝2×22
＝2×4
＝8，
故答案为：8．
20．【分析】根据旋转的定义以及正六边形的性质进行计算即可．
【解答】解：以正六边形ABCDEF的顶点D为旋转中心，按顺时针方向旋转，使得新正六边形A′B′C′D′E′F′的顶点E′落在直线CD上，
则正六边形ABCDEF旋转的最小角度是正六边形的一个外角，即360°÷6＝60°，
故答案为：60．
21．【分析】根据平行四边形的性质及OE⊥AC证明AE＝CE，再根据已知△BEC周长求出AB+BC值，则平行四边形周长可求．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴O点为AC中点．
∵OE⊥AC，
∴AE＝CE，
∴△BCE的周长＝BC+CE+BE＝BC+AE+BE＝BC+AB＝12，
∴平行四边形ABCD周长为2×12＝24．
故答案为：24．
22．【分析】将分式方程变为整式方程求出解，再根据解为正数且不能为增根，得出答案．
【解答】解：去分母，得x﹣1﹣x+3＝x﹣a，
解得x＝a+2，
∵方程的解为正数，
∴a+2＞0且a+2≠3．
∴a＞﹣2且a≠1．
故答案为：a＞﹣2且a≠1．
23．【分析】连接OG，OP，易知OG＝，因为OG+PG≥OP，所以求PD+PG的最小值只要求出PD+PO的最小值，然后减去1即可，再利用将军饮马模型构造出PD+PO的最小值时的线段，利用勾股定理求出即可．
【解答】解：设BD与AC的交点为O，连接OG，OP，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，
∴OG＝，
∵OG+PG≥OP，
∴PG的最小值为OP﹣1，
作点O关于AB的对称点O′，延长O′O交CD于点H，连接OP，O′P，O′D，
∴PO′＝PO，

∴PD+PG≥PD+PO﹣1＝PD+PO′﹣1≥O′D﹣1，
∴PD+PG的最小值为O′D﹣1，
∵四边形ABCD是菱形，O′O⊥AB，
∴O′H⊥CD，
∵四边形ABCD是“完美菱形”ABCD的边长为4，
∴AD＝AB＝BD＝4，OD＝2，
∴∠ODH＝∠ABD＝60°，
在Rt△ODH中，
DH＝ODcos60°＝1，OH＝ODsin60°＝，
由对称性和菱形的性质，知O′H＝3OH＝，
在Rt△O′DH中，
O′D＝，
∴PD+PG的最小值为，
故答案为：．
二、解答题：本大题共3个小题，共30分。
24．【分析】（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是xm2，则甲工程队每天能完成绿化的面积是2xm2，可得：﹣＝3，解方程并检验即得甲工程队每天能完成绿化的面积是100m2，乙工程队每天能完成绿化的面积是50m2；
（2）根据题意得：100x+50y＝1000，即y＝﹣2x+20；
（3）设施工总费用是W万元，由甲乙两队施工的总天数不超过15天，可得x≥5，而W＝0.6x+0.25y＝0.1x+5，根据一次函数性质得甲队施工5天，乙队施工10天，施工总费用最低，最低费用为5.5万元．
【解答】解：（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是xm2，则甲工程队每天能完成绿化的面积是2xm2，
根据题意得：﹣＝3，
解得x＝50，
经检验，x＝50是原方程的解，
∴2x＝2×50＝100，
答：甲工程队每天能完成绿化的面积是100m2，乙工程队每天能完成绿化的面积是50m2；
（2）根据题意得：100x+50y＝1000，
∴y＝﹣2x+20，
故y关于x的函数关系式为：y＝﹣2x+20；
（3）设施工总费用是W万元，
∵甲乙两队施工的总天数不超过15天，
∴x+（﹣2x+20）≤15，
解得x≥5，
根据题意得：W＝0.6x+0.25y＝0.6x+0.25（﹣2x+20）＝0.1x+5，
∵0.1＞0，
∴W随x的增大而增大，
∴x＝5时，W取最小值，最小值为0.1×5+5＝5.5（万元），
此时﹣2x+20＝﹣2×5+20＝10（天），
答：甲队施工5天，乙队施工10天，施工总费用最低，最低费用为5.5万元．
25．【分析】（1）首先证明△DEF≌△CGF可得DE＝CG，再加上条件CG∥DE，可以根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定四边形DECG是平行四边形．
（2）首先证明∠DEF＝∠EDF，∠FEC＝∠ECF，再证明∠EDC+∠DCE+∠DEC＝180°，从而得到2∠DEC＝180°进而得到∠DEC＝90°，再有条件四边形DECG是平行四边形，
可得四边形DECG是矩形．
【解答】（1）证明：∵F是边CD的中点，
∴DF＝CF．
∵CG∥DE，
∴∠DEF＝∠CGF．
又∵∠DFE＝∠CFG，
∴△DEF≌△CGF（AAS），
∴DE＝CG，
又∵CG∥DE，
∴四边形DECG是平行四边形．
（2）证明：∵ED平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠FDE．
∵E、F分别为边AB、DC的中点，
∴EF∥AD．
∴∠ADE＝∠DEF．
∴∠DEF＝∠EDF，
∴EF＝DF＝CF．
∴∠FEC＝∠ECF，
∴∠EDC+∠DCE＝∠DEC．
∵∠EDC+∠DCE+∠DEC＝180°，
∴2∠DEC＝180°．
∴∠DEC＝90°，
又∵四边形DECG是平行四边形，
∴四边形DECG是矩形．
26．【分析】（1）分为点P在OB上和在OB的延长线上：当点P在OB上，可推出△APB是等边三角形，从而求得结果；当点P在OB的延长线上时，可推出AP＝OA；
（2）分为三种情形：OB是边时，当点F在BC的延长线时，可由OE＝BF＝OB＝2求得CF＝BF﹣BC＝2﹣3，从而得出结果；当点F（F′）在CB的延长线上时，同样求得CF，OE，从而得出F′（3+，），E′（2，0）；当OB是对角线时，（菱形BE″OF′）设OE′＝BE″＝m，则AE″＝3﹣m，在Rt△ABE″中，由勾股定理列出m2﹣（3﹣m）2＝（，求得m＝2，进一步得出结果；
（3）作点O关于BC的对称点O′，作B点关于OA的对称点B′，
连接O′B′，交BC于点M′，OA于点N′，此时OM+MN+NB的最小值为OM′+M′N′+N′B的长，即O′B′的长，作O′T⊥y轴，作B′T⊥TO′于T，根据OT′＝CB＝3，B′T＝求得O′B′＝＝．
【解答】解：如图1，

当点P在OB上时，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAO＝90°，
∵∠AOB＝30°，
∴∠ABO＝90°﹣∠AOB＝60°，AB＝OB＝，OA＝3；
∵△ABP是等腰三角形，
∴△ABP是等边三角形，
∴AP＝AB＝，
当点P（图中P′）在OB的延长线上时，
∵∠ABO＝60°，
∴∠ABP′＝120°，
∵△ABP′是等腰三角形，
∴AB＝BP′，
∴∠P′＝30°，
∴∠P′＝∠AOB，
∴AP′＝OA＝3，
综上所述：AP＝或3；
（2）如图2，

存在点E和F，使以O，B，E，F为顶点的四边形是菱形，理由如下：
OB是边时，
当点F在BC的延长线时，
∵OE＝BF＝OB＝2，
∴CF＝BF﹣BC＝2﹣3，E（﹣2，0），
∴F（3﹣2，），
当点F（F′）在CB的延长线上时，
∵CF，OE，
∴F′（3+，），E′（2，0），
当OB是对角线时，（菱形BE″OF′）
设OE′＝BE″＝m，则AE″＝3﹣m，
在Rt△ABE″中，由勾股定理得，
m2﹣（3﹣m）2＝（，
∴m＝2，
∴E″（2，0），F″（1，），
综上所述：E（﹣2，0），F（3﹣2，）或E（2，0），F（3+，）或E（2，0），F（1，）；
（3）如图3，

作点O关于BC的对称点O′，作B点关于OA的对称点B′，
连接O′B′，交BC于点M′，OA于点N′，
此时OM+MN+NB的最小值为OM′+M′N′+N′B的长，即O′B′的长，
作O′T⊥y轴，作B′T⊥TO′于T，
∵OT′＝CB＝3，B′T＝，
∴O′B′＝＝，
∴OM+MN+NB的最小值为：6．
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