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四川省成都石室中学2024届高三零诊模拟考试文科数学试题
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成都石室中学2022-2023年度下期高2024届零诊模拟
数学试题（文科）
（总分：150分，时间：120分钟 ）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）
1. 若复数R)满足，其中为虚数单位，则（ ）
A. B. C. D.
2. 在某校高中篮球联赛中，某班甲、乙两名篮球运动员在8场比赛中的单场得分用茎叶图表示（如图一），茎叶图中甲的得分有部分数据丢失，但甲得分的折线图（如图二）完好，则下列结论正确的是（ ）
A. 甲得分的极差是18 B. 乙得分的中位数是16.5
C. 甲得分更稳定 D. 甲的单场平均得分比乙低
3. 某老师为了了解数学学习成绩得分y（单位：分）与每天数学学习时间x（单位：分钟）是否存在线性关系，搜集了100组数据，并据此求得y关于x的线性回归方程为.若一位同学每天数学学习时间约80分钟，则可估计这位同学数学成绩为（ ）
A. 106 B. 122 C. 136 D. 140
4. 利用随机模拟方法可估计无理数的数值，为此设计右图所示的程序框图，其中rand表示产生区间(0,1)上的随机数, 是与的比值，执行此程序框图，输出结果的值趋近于
A. B. C. D.
5. 已知命题p：，命题q：直线与抛物线有两个公共点，则p是q的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6. 有6名选手参加演讲比赛，观众甲猜测：4号或5号选手得第一名；观众乙猜测：3号选手不可能得第一名；观众丙猜测：1，2，6号选手中的一位获得第一名；观众丁猜测：4，5，6号选手都不可能获得第一名．比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果，此人是（ ）
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
7. 已知，则的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
8.
某四面体的三视图如图所示，正视图，俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形，侧视图是边长为2的正方形，则此四面体的四个面中面积最大的为
A. B. C. 4 D.
9. 若过点的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为( )
A. B. C. D.
10. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为M，N，点P在C的渐近线上，，，则双曲线的C的渐近线方程为（ ）
A B. C. D.
11. 若函数存在两个极值点和，则取值范围为（ ）
A. B. C. D.
12. 在正方体中，分别为棱的中点，动点平面，，则下列说法错误的是（ ）
A. 的外接球面积为 B. 直线平面
C. 正方体被平面截得的截面为正六边形 D. 点的轨迹长度为
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）
13. 设命题，若是假命题，则实数取值范围是__________.
14. 在同一平面直角坐标系中，曲线所对应的图形经过伸缩变换得到图形
.点在曲线上，则点到直线的距离的最小值为____________.
15. 已知函数的定义域为，其导函数是.有，则关于的不等式的解集为_________.
16. 已知抛物线：的焦点为，经过抛物线上一点，作斜率为的直线交的准线于点，为准线上异于的一点，当时，______．
三、解答题（本题共6道小题，22题10分，其余各题12分，共70分）
17. 已知函数其中为常数，设为自然对数底数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）是否存在实数，使得在区间上最大值为？若存在，求出求的值，若不存在，请说明理由.
18. 今年是中国共青团建团100周年，我校组织了1000名高中同学进行团的知识竞赛.成绩分成5组：，，，，，得到如图所示的频率分布直方图.若图中未知的数据a，b，c成等差数列，成绩落在区间内的人数为400.
（1）求出直方图中a，b，c的值；
（2）估计中位数（精确到0.1）和平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）；
（3）在区间内的学生中通过分层抽样抽取了5人，现从5人中再随机抽取两人进行现场知识答辩，求抽取两人中恰好有1人得分在区间内的事件概率.
19. 如图所示，四棱柱，底面ABCD是以AB，CD为底边的等腰梯形，且，，.
（1）求证：平面平面ABCD；
（2）若，求三棱锥的体积.
20. “工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长.某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用一张圆形纸片，按如下步骤折纸（如图）
步骤1：设圆心是，在圆内异于圆心处取一点，标记为；
步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点；
步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕；
步骤4：不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕.
现对这些折痕所围成的图形进行建模研究.若取半径为6的圆形纸片，如图，设定点到圆心的距离为4，按上述方法折纸.以点所在的直线为轴，线段中点为原点建立平面直角坐标系.
（1）若已研究出折痕所围成的图形即是折痕与线段交点的轨迹，求折痕围成的椭圆的标准方程；
（2）记（1）问所得图形为曲线，若过点且不与轴垂直的直线与椭圆交于两点，在轴的正半轴上是否存在定点，使得直线斜率之积为定值？若存在，求出该定点和定值；若不存在，请说明理由.
21. 已知函数.
（1）若，求实数的值；
（2）已知且，求证：.
22. 在直角坐标系中，直线的参数方程为(为参数)，直线的参数方程(为参数).若直线的交点为，当变化时，点的轨迹是曲线.
（1）求曲线的普通方程；
（2）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，点是曲线两动点，，求面积的最大值.
成都石室中学2022-2023年度下期高2024届零诊模拟
数学试题（文科）
（总分：150分，时间：120分钟 ）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）
1. 若复数R)满足，其中为虚数单位，则（ ）
A. B. C. D.
2. 在某校高中篮球联赛中，某班甲、乙两名篮球运动员在8场比赛中的单场得分用茎叶图表示（如图一），茎叶图中甲的得分有部分数据丢失，但甲得分的折线图（如图二）完好，则下列结论正确的是（ ）
A. 甲得分的极差是18 B. 乙得分的中位数是16.5
C. 甲得分更稳定 D. 甲的单场平均得分比乙低
3. 某老师为了了解数学学习成绩得分y（单位：分）与每天数学学习时间x（单位：分钟）是否存在线性关系，搜集了100组数据，并据此求得y关于x的线性回归方程为.若一位同学每天数学学习时间约80分钟，则可估计这位同学数学成绩为（ ）
A. 106 B. 122 C. 136 D. 140
4. 利用随机模拟方法可估计无理数的数值，为此设计右图所示的程序框图，其中rand表示产生区间(0,1)上的随机数, 是与的比值，执行此程序框图，输出结果的值趋近于
A. B. C. D.
5. 已知命题p：，命题q：直线与抛物线有两个公共点，则p是q的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6. 有6名选手参加演讲比赛，观众甲猜测：4号或5号选手得第一名；观众乙猜测：3号选手不可能得第一名；观众丙猜测：1，2，6号选手中的一位获得第一名；观众丁猜测：4，5，6号选手都不可能获得第一名．比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果，此人是（ ）
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
7. 已知，则的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
8.
某四面体的三视图如图所示，正视图，俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形，侧视图是边长为2的正方形，则此四面体的四个面中面积最大的为
A. B. C. 4 D.
9. 若过点的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为( )
A. B. C. D.
10. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为M，N，点P在C的渐近线上，，，则双曲线的C的渐近线方程为（ ）
A B. C. D.
11. 若函数存在两个极值点和，则取值范围为（ ）
A. B. C. D.
12. 在正方体中，分别为棱的中点，动点平面，，则下列说法错误的是（ ）
A. 的外接球面积为 B. 直线平面
C. 正方体被平面截得的截面为正六边形 D. 点的轨迹长度为
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）
13. 设命题，若是假命题，则实数取值范围是__________.
14. 在同一平面直角坐标系中，曲线所对应的图形经过伸缩变换得到图形
.点在曲线上，则点到直线的距离的最小值为____________.
15. 已知函数的定义域为，其导函数是.有，则关于的不等式的解集为_________.
16. 已知抛物线：的焦点为，经过抛物线上一点，作斜率为的直线交的准线于点，为准线上异于的一点，当时，______．
三、解答题（本题共6道小题，22题10分，其余各题12分，共70分）
17. 已知函数其中为常数，设为自然对数底数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）是否存在实数，使得在区间上最大值为？若存在，求出求的值，若不存在，请说明理由.
18. 今年是中国共青团建团100周年，我校组织了1000名高中同学进行团的知识竞赛.成绩分成5组：，，，，，得到如图所示的频率分布直方图.若图中未知的数据a，b，c成等差数列，成绩落在区间内的人数为400.
（1）求出直方图中a，b，c的值；
（2）估计中位数（精确到0.1）和平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）；
（3）在区间内的学生中通过分层抽样抽取了5人，现从5人中再随机抽取两人进行现场知识答辩，求抽取两人中恰好有1人得分在区间内的事件概率.
19. 如图所示，四棱柱，底面ABCD是以AB，CD为底边的等腰梯形，且，，.
（1）求证：平面平面ABCD；
（2）若，求三棱锥的体积.
20. “工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长.某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用一张圆形纸片，按如下步骤折纸（如图）
步骤1：设圆心是，在圆内异于圆心处取一点，标记为；
步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点；
步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕；
步骤4：不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕.
现对这些折痕所围成的图形进行建模研究.若取半径为6的圆形纸片，如图，设定点到圆心的距离为4，按上述方法折纸.以点所在的直线为轴，线段中点为原点建立平面直角坐标系.
（1）若已研究出折痕所围成的图形即是折痕与线段交点的轨迹，求折痕围成的椭圆的标准方程；
（2）记（1）问所得图形为曲线，若过点且不与轴垂直的直线与椭圆交于两点，在轴的正半轴上是否存在定点，使得直线斜率之积为定值？若存在，求出该定点和定值；若不存在，请说明理由.
21. 已知函数.
（1）若，求实数的值；
（2）已知且，求证：.
22. 在直角坐标系中，直线的参数方程为(为参数)，直线的参数方程(为参数).若直线的交点为，当变化时，点的轨迹是曲线.
（1）求曲线的普通方程；
（2）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，点是曲线两动点，，求面积的最大值.
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