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2022-2023学年北京市海淀区清华附中八年级（下）期末数学试卷（含解析）
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这是一份2022-2023学年北京市海淀区清华附中八年级（下）期末数学试卷（含解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年北京市海淀区清华附中八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本题共8小题，共24分）
1. 下列方程中，属于一元二次方程的是( )
A. x2+1x=2 B. x2-xy=2 C. x2-2x-3=0 D. 2(x-1)=x
2. 将抛物线y=x2向下平移2个单位，所得抛物线的表达式为( )
A. y=x2+2 B. y=x2-2 C. y=(x+2)2 D. y=(x-2)2
3. 用配方法解方程x2-2x-5=02时，原方程变形正确的是( )
A. (x+1)2=6 B. (x-2)2=9 C. (x-1)2=6 D. (x+2)2=9
4. 抛物线y=(x-2)2+1的顶点坐标是( )
A. (-1,2) B. (2,1) C. (-2,1) D. (-2,-1)
5. 某商店购进一种商品，单价为30元．试销中发现这种商品每天的销售量P(件)与每件的销售价x(元)满足关系：P=100-2x.若商店在试销期间每天销售这种商品获得200元的利润，根据题意，下面所列方程正确的是( )
A. (x-30)(100-2x)=200 B. x(100-2x)=200
C. (30-x)(100-2x)=200 D. (x-30)(2x-100)=200
6. 已知抛物线y=2(x-2)2+1，A(-3,y1)，B(3,y2)，C(4,y3)是抛物线上三点，则y1，y2，y3由小到大依序排列是( )
A. y1
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
8. 已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，当y<0时，x的取值范围是( )
A. -1
C. x<-1
D. x<-1或x>2
二、填空题（本题共12小题，共28分）
9. 已知抛物线y=x2+x+m与y轴的交点在原点下方，则整数m的值可以是______ .(写出一个符合条件的值即可)
10. 若关于的一元二次方程x2-6x+k=0有两个相等的实数根，则k= ______ ．
11. 二次函数y=ax2+bx-3(a≠0)的图象经过点(1,4)，则代数式a+b的值为______ ．
12. 关于x的一元二次方程(m+3)x2+x+m2-9=0有一根为0，则m= ______ ．
13. 抛物线y=x2+4x+3在x轴上截得的线段的长度是______．
14. 已知m是方程x2-4x-3=0的一个实数根，则m2-4m+2023的值是______ ．
15. 若某等腰三角形的底和腰的长分别是一元二次方程x2-6x+8=0的两根，则这个等腰三角形的周长是______ ．
16. 已知抛物线y=a(x-h)2+k上部分点的横坐标x和纵坐标y的几组数据如下：
x
-1
1
3
y
2
-2
2
点P(-2,m)，Q(x1,m)是抛物线上不同的两点，则x1= ______ ．
17. 在平面直角坐标系中，已知点P(m,n)，m，n满足(m2+n2+1)(m2+n2+3)=15，则OP的长为______ ．
18. 关于x的方程x2+2x-c=0无实数根，则二次函数y=x2+2x-c的图象的顶点在第______ 象限．
19. 已知抛物线y=x2-a(a+2)x+9的顶点在坐标轴上，则a= ______ ．
20. 如图，已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，有下列结论：①abc>0；②b-a>c；③4a+2b+c>0；④3a>-c；⑤a+b>m(am+b)(m≠1)．
其中正确的是______(填序号)．
三、解答题（本题共10小题，共68分）
21. 用适当的方法解方程：
(1)(x-1)2=9；
(2)x2+2x-4=0；
(3)(x-4)2+x(x-4)=0；
(4)2x2-3x+1=0．
22. 已知抛物线y=2x2+bx+c过点(1,3)和(-1,5)，求该抛物线的解析式．
23. 用一面足够长的墙为一边，其余各边用总长42米的围栏建成如图所示的生态园，中间用围栏隔开，由于场地限制，垂直于墙的一边长不超过7米(围栏宽忽略不计)，若生态园的面积为144平方米，求生态园垂直于墙的边长．
24. 已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表所示：
x
…
-3
-2
-1
0
1
…
y
…
0
-3
-4
-3
0
…
(1)这个二次函数的解析式是______ ；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；
(3)当-4
25. 排球场的长度为18m，球网在场地中央且高度为2.24m，排球出手后的运动路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，排球运动过程中的竖直高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)近似满足函数关系y=a(x-h)2+k(a<0)．
(1)某运动员第一次发球时，测得水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：
水平距离x/m
0
2
4
6
11
12
竖直高度y/m
2.38
2.62
2.7
2.62
1.72
1.42
①根据上述数据，求抛物线解析式；
②判断该运动员第一次发球能否过网______ (填“能”或“不能”)．
(2)该运动员第二次发球时，排球运动过程中的竖直高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)近似满足函数关系y=-0.02(x-5)2+2.88，请问该运动员此次发球是否出界，并说明理由．
26. 如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点A(0,3)，B(2,3)，C(-1,0)，直线y=mx+n(m≠0)经过点B，C，部分图象如图所示，则：
(1)该抛物线的对称轴为直线______ ；
(2)关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的解为______ ；
(3)关于x的一元二次方程ax2+bx+c=mx+n的解为______ ；
(4)若关于x的一元二次方程ax2+bx+c-k=0无实数根，则k的取值范围是______ ．
27. 已知关于x的一元二次方程mx2+(2-3m)x+(2m-4)=0．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若m为整数，当此方程有两个互不相等的正整数根时，求m的值．
28 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2+2mx+m+4(m≠0)．
(1)求抛物线的顶点坐标；
(2)若抛物线与x轴的交点为A、B(点A在点B的左侧)，且AB=4，
①求抛物线的解析式；
②已知点P坐标为(3,4)，点Q在抛物线的对称轴上，将抛物线y=mx2+2mx+m+4在第二象限内的部分记为图象G，如果直线PQ与图象G只有一个公共点，请结合图象，直接写出点Q的纵坐标t的取值范围是______ ．
29 在正方形ABCD中，点E为边CD上一点(不与点C、D重合)，AF⊥BE于点F，CG⊥BE于点G．
(1)如图1，求证：AF=BG；
(2)如图2，若F为BG中点，连接DF，用等式表示线段AD，DF之间的数量关系，并证明；
(3)若AD=13，BF=5，直接写出线段DF的长是______ ．
30. 对于线段AB外一点M，给出如下定义：若点M满足|MA2-MB2|=AB2，则称M为线段AB的垂点，特别地，对于垂点M，若MA=AB或MB=AB时，称M为线段AB的等垂点，在平面直角坐标系xOy中，已知点A(-1,1)，B(1,1)．
(1)如图1，在点C(0,4)，D(1,2)，E(3,-2)，F(-1,-1)中，线段AB的垂点是______ ；
(2)已知点P(t,1)，Q(t+2,0)．
①如图2，当t=0时，若直线y=-12x+b上存在线段PQ的等垂点，求b的值；
②如图3，若△ABC边上(包含顶点)存在线段PQ的垂点，直接写出t的取值范围是______ ．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A.方程x2+1x=2是分式方程，选项A不符合题意；
B.方程x2-xy=2是二元二次方程，选项B不符合题意；
C.方程x2-2x-3=0是一元二次方程，选项C符合题意；
D.方程2(x-1)=x是一元一次方程，选项D不符合题意．
故选：C．
利用一元二次方程的定义，逐一分析四个选项中的方程即可．
本题考查了一元二次方程的定义，牢记“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程”是解题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：将抛物线y=x2向下平移2个单位，则所得抛物线的表达式为y=x2-2，
故选：B．
根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行求解．
本题主要考查的是二次函数图象与几何变换，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．
3.【答案】C
【解析】解：x2-2x-5=02，
即x2-2x-5=0，
移项得：x2-2x=5，
配方得：x2-2x+1=6，
即(x-1)2=6，
故选：C．
利用配方法解方程即可．
本题考查配方法解一元二次方程，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
4.【答案】B
【解析】解：y=(x-2)2+1的顶点坐标为(2,1)，
故选：B．
由抛物线的性质，求解即可．
此题考查了抛物线的性质，解题的关键是熟练掌握抛物线的有关性质．
5.【答案】A
【解析】解：∵每件商品的利润为(x-30)元，可售出(100-2x)件，
∴根据每天的利润为200元可列的方程为(x-30)(100-2x)=200，
故选A．
一天的利润=(售价-进价)×销售量，把相关数值代入即可．
考查列一元二次方程；得到一天的利润的等量关系是解决本题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：∵二次函数y=2(x-2)2+1，中a=2>0
∴抛物线开口向上，对称轴为x=-b2a=2，
∵B(3,y2)，C(4,y3)中横坐标均大于2，
∴它们在对称轴的右侧y3>y2．
A(-3,y1)中横坐标小于2，
∵它在对称轴的左侧，它关于x=2的对称点为2×2-(-3)=7，
A点的对称点是D(7,y1)
7>4>3，
∵a>0时，抛物线开口向上，在对称轴的右侧y随x的增大而增大，
∴y1>y3>y2．
故选：D．
先求出二次函数y=2(x-2)2+1的图象的对称轴，然后判断出A(-3,y1)，B(3,y2)，C(4,y3)在抛物线上的位置，再求解．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，本题的关键是找到A点的对称点；掌握二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象性质．
7.【答案】D
【解析】解：∵Δ=b2-4ac=(-2)2-4×m=4-4m，
∴要使方程有两不相等实数根，则有4-4m>0，
∴m<1；
∴m可以取0，
故选：D．
方程有两个不相等的实数根，则有Δ=b2-4ac>0，据此即可得到关于m的不等式，解不等式即可得到m的取值范围．
本题主要考查了一元二次方程的相关知识，解题的关键是明确一元二次方程的根与判别式之间的关系．
8.【答案】A
【解析】解：由图象可知，
当y<0时，x的取值范围是-1
根据抛物线与x轴的交点和图象，可以写出当y<0时，x的取值范围．
本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
9.【答案】-2(答案不唯一)
【解析】解：∵物线与y轴的交点在原点下方，
∴m<0，
∴m的值可以是：-2(答案不唯一)．
故答案为：-2(答案不唯一)．
根据抛物线与y轴的交点在原点下方可知：m<0，由此填写即可．
本题主要考查了二次函数与系数的关系，熟练掌握知识点是解决本题的关键．
10.【答案】9
【解析】解：∵关于的一元二次方程x2-6x+k=0有两个相等的实数根，
∴Δ=(-6)2-4k=0，
即36-4k=0，
解得：k=9，
故答案为：9．
根据根的判别式列得方程，解方程即可．
本题考查一元二次方程根的判别式，结合已知条件列得关于k的方程是解题的关键．
11.【答案】7
【解析】解：代入点(1,4)得4=a+b-3，
解得：a+b=7
故答案为：7．
代入点的坐标以后即可得出结论．
本题考查图象与点的关联，能够熟练把点代入解析式是解题关键．
12.【答案】3
【解析】解：∵关于x的一元二次方程(m+3)x2+x+m2-9=0有一根为0，
∴m2-9=0，m+3≠0，
解得：m=3，
故答案为：3．
将x=0代入(m+3)x2+x+m2-9=0中求得m的值，然后根据一元二次方程的定义确定符合题意的m的值即可．
本题考查一元二次方程的解及其定义，特别注意二次项系数不能为0．
13.【答案】2
【解析】解：设抛物线与x轴的交点为：(x1,0)，(x2,0)，
∵x1+x2=-4，x1⋅x2=3，
∴|x1-x2|= (x 1+ x 2) 2-4x 1 x 2= 4=2，
∴抛物线y=x2+4x+3在x轴上截得的线段的长度是2．
故答案为：2．
先设出抛物线与x轴的交点，再根据根与系数的关系求出x1+x2及x1⋅x2的值，再由完全平方公式求解即可．
本题考查的是抛物线与x轴的交点问题，能由根与系数的关系得到x1+x2及x1⋅x2的值是解答此题的关键．
14.【答案】2026
【解析】解：∵m是方程x2-4x-3=0的一个根，
∴m2-4m-3=0，
解得，m2-4m=3，
∴m2-4m+2023=2023+3=2026，
故答案是：2026．
把x=m代入已知方程可以求得m2-4m=3，所以将其整体代入所求的代数式并求值即可．
本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
15.【答案】10
【解析】解：方程分解得：(x-2)(x-4)=0，
可得x-2=0或x-4=0，
解得：x=2或x=4，
若2为腰，三角形三边为2，2，4，不能构成三角形，舍去；
若2为底，三角形三边为2，4，4，周长为2+4+4=10，
故答案为：10．
方程利用因式分解法求出解得到x的值，确定出等腰三角形三边，求出周长即可．
此题考查了解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
16.【答案】4
【解析】解：观察表格中的x、y的值，可知(-1,2)、(3,2)是对称点，
∴抛物线的对称轴是直线x=-1+32=1，
∵点P(-2,m)，Q(x1,m)是抛物线上不同的两点，
∴-2+x12=1，
∴x1=4，
故答案为：4．
根据表格中的点的坐标特点先确定对称轴，由抛物线的对称性即可求解；
本题考查了二次函数图象上的点的坐标特征、二次函数的性质，解决本题的关键是观察表格数据确定抛物线的对称轴．
17.【答案】解：(1)∵(x-1)2=9，
∴x-1=±3，
∴x1=4，x2=-2；
(2)∵x2+2x-4=0，
∴x2+2x=4，
则x2+2x+1=4+1，即(x+1)2=5，
∴x+1=± 5，
∴x1=-1+ 5，x2=-1- 5；
(3)∵(x-4)2+x(x-4)=0，
∴(x-4)(2x-4)=0，
∴x-4=0或2x-4=0，
解得x1=4，x2=2；
(4)∵2x2-3x+1=0，
∴(x-1)(2x-1)=0，
则x-1=0或2x-1=0，
解得x1=1，x2=12．
【解析】(1)利用直接开平方法求解即可；
(2)将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得；
(3)利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可；
(4)利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可．
本题考查了解一元二次方程，根据题目的特点选择适当的解法，熟练地掌握解一元二次方程的各种方法是解题的关键．
18.【答案】解：∵抛物线y=2x2+bx+c过点(1,3)和(-1,5)，
∴2+b+c=32-b+c=5，
解得：b=-1c=2，
∴抛物线的解析式为：y=2x2-x+2．
【解析】将(-1,5)，(1,3)代入y=2x2+bx+c求得b，c的值，得到此函数的解析式．
本题考查了待定系数法求二次函数解析式，得到两个关于b、c的方程是解题的关键，也是本题的难点．
19.【答案】解：设生态园垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为(42-3x)米，
依题意，得(42-3x)x=144．
解得x1=6，x2=8．
由于x2=8>7，所以不合题意，舍去．
所以x=6符合题意．
答：生态园垂直于墙的边长为6米．
【解析】设生态园垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为(42-3x)米，根据矩形的面积公式列出方程并解答．
本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系，列出方程并解答．
20.【答案】y=x2+2x-3 -4
设二次函数的解析式为：y=a(x+1)2-4，
把点(0,-3)代入y=a(x+1)2-4，得a=1，
故抛物线解析式为y=(x+1)2-4，即y=x2+2x-3；
(2)如图所示：
(3)∵y=(x+1)2-4，
∴当x=-4时，y=(-4+1)2-4=5，
当x=-0时，y=-3，
又对称轴为x=-1，
∴当-4
(2)利用描点法画二次函数图象；
(3)根据x=-4、-2时的函数值即可写出y的取值范围．
本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的图象与性质．
21.【答案】能
【解析】解：(1)①由表中数据可得顶点(4,2.7)，
设y=a(x-4)2+2.7(a<0)，
把(0,2.38)代入得16a+2.7=2.38，
解得：a=-0.02，
∴所求函数关系为y=-0.02(x-4)2+2.7；
②能．
当x=9时，y=-0.02(9-4)2+2.7=2.3>2.24，
∴该运动员第一次发球能过网，
故答案为：能；
(2)判断：没有出界．
第二次发球：y=-0.02(x-5)2+2.88，
令y=0，则-0.02(x-4)2+2.88=0，
，解得x1=-87(舍)，x2=17，
∵x2=17<18，
∴该运动员此次发球没有出界．
(1)①由表格中数据得出顶点坐标，设出函数解析式的顶点式，再把(0,2.48)代入解析式求出a即可⋅；
②当x=9时求出y的值与2.24比较即可；
(2)令y=-0.02(x-4)2+2.88中的y=0，解方程求出x的值与18比较即可．
本题考查二次函数的应用，关键是求出函数解析式．
22.【答案】x=1 x1=-1，x2=3 x1=2，x2=-1 k>4
【解析】解：(1)∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点A(0,3)，B(2,3)，
∴该抛物线的对称轴为直线x=0+22=1，
故答案为：x=1；
(2)由(1)知：该抛物线的对称轴为直线x=1，
∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点C(-1,0)，
∴该抛物线过点(3,0)，
∴一元二次方程ax2+bx+c=0的解为x1=-1，x2=3，
故答案为：x1=-1，x2=3；
(3)∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点B(2,3)，C(-1,0)，直线y=mx+n(m≠0)经过点B，C，
∴一元二次方程ax2+bx+c=mx+n的解为x1=2，x2=-1，
故答案为：x1=2，x2=-1；
(4)设该抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-3)，
∵该抛物线经过点A(0,3)，
∴3=a(0+1)(0-3)，
解得a=-1，
∴y=-(x+1)(x-3)=-x2+2x+3=-(x-1)2+4，
∴该抛物线的最大值为4，
∵一元二次方程ax2+bx+c-k=0无实数根，则k的取值范围是k>4，
故答案为：k>4
(1)根据抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点A(0,3)，B(2,3)，可以求得该抛物线的对称轴；
(2)根据(1)中的结果和二次函数具有对称性，可以求得抛物线与x轴的另一个交点，从而可以写出一元二次方程ax2+bx+c=0的解；
(3)根据抛物线与直线y=mx+n的交点，可以写出一元二次方程ax2+bx+c=mx+n的解；
(4)根据(2)中求出的抛物线与x轴的交点和经过点A(0,3)，可以求得该抛物线的解析式，然后化为顶点式，即可得到该抛物线的最大值，从而可以写出一元二次方程ax2+bx+c-k=0无实数根，此时k的取值范围．
本题考查二次函数的性质、二次函数图象与x轴的交点坐标、二次函数图象上点的坐标特点、一次函数图象上点的坐标特点，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
23.【答案】(1)证明：Δ=(2-3m)2-4×m×(2m-4)
=4-12m+9m2-8m2+16m
=m2+4m+4
=(m+2)2，
∵(m+2)2≥0，
∴Δ≥0，
∴方程总有两个实数根；
(2)解：∵mx2+(2-3m)x+(2m-4)=0，
∴[mx+(2-m)](x-2)=0，
∴x1=m-2m，x2=2．
∵m为整数，且原方程有两个互不相等的正整数根，
∴m=-1．
答：m的值为-1．
【解析】(1)根据方程的系数，结合根的判别式Δ=b2-4ac，可得出Δ=(m+2)2≥0，进而可证出方程总有两个实数根；
(2)利用因式分解法，可求出方程的两个实数根，结合m为整数且原方程有两个互不相等的正整数根，即可得出m的值．
本题考查了根的判别式以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：(1)牢记“当Δ≥0时，方程有两个实数根”；(2)利用因式分解法，求出方程的两个实数根．
24.【答案】t=4或43
=m(x2+2x+1)+4，
=m(x+1)2+4，
∴抛物线的顶点坐标为(1,4)，
(2)①∵抛物线的对称轴为x=-1，且AB=4(点A在点B的左侧)，
∴A(-3,0)，B(1,0)，
将B(1,0)代入y=mx2+2mx+m+4得：m+2m+m+4=0，
∴m=-1，
∴抛物线的解析式为：y=-x2-2x+3，
②图象G对应的部分抛物线如图所示：
Ⅰ.当过点P的直线与x轴平行时，直线PQ与图象G只有1个交点，此时t=4，
Ⅱ.当过点P的直线过(0,3)时，直线PQ与图象G只有1个交点，
设直线PQ的表达式为：y=kx+3，
将(3,4)代入得：3k+3=4，
∴k=13，
∴y=13x+3，
当x=-1时，t=83，
Ⅲ.当过点P的直线过(-3,0)时，直线PQ与图象G的交点在x轴上，
此时直线PQ的表达式为：y=23x+2，
当x=-1时，t=43，
综上：t=4或43
(2)①由抛物线的对称轴为x=-1，且AB=4(点A在点B的左侧)可得A(-3,0)，B(1,0)，代入抛物线即可；
②分过点P的直线与x轴平行、过点P的直线过(0,3)、过点P的直线过(-3,0)三种情况分别求解即可．
本题考查的是抛物线与轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．
25.【答案】 193
【解析】(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，AB=BC，
∵AF⊥BE，CG⊥BE，
∴∠AFB=∠BGC=90°，
∴∠ABF=∠BCG=90°-∠CBG，
∴△ABF≌△BCG(ASA)，
∴AF=BG；
(2)解：AD=DF，理由如下：
如图2，过点F作AB，AD的垂线于点H，N，延长AF交BC于点M，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAB=90°，
∴四边形AHFN是矩形，
∴AH=FN，AN=HF，
∵F为BG中点，
∴BF=GF，
∵AF⊥BG，CG⊥BG，
∴FM//CG，
∴BM=CM，
∴FM=12CG，
由(1)知：△ABF≌△BCG，
∴BF=CG，
∴BF=CG=FG，
设BF=CG=FG= 5，
∴FM=12CG= 52，
∴BM= BF2+FM2= 5+54=52，
∴AB=AD=BC=2BM=5，
∵AF=BG=2 5，S△ABF=12AB⋅FH=12AF⋅BF，
∴5FH=2 5× 5，
∴FH=2，
∴AN=FH=2，
∴DN=AD-AN=5-2=3，
∵AH= AF2-FH2= (2 5)2-22=4，
∴FN=AH=4，
∴DF= DN2+FN2= 32+42=5，
∴AD=DF；
(3)解：线段DF的长是 193.理由如下：
如图3，过点F作AB，AD的垂线于点H，N，
∵AF⊥BE，AB=AD=13，BF=5，
∴AF= AB2-BF2=12，
∴13FH=12×5，
∴FH=6013，
∴AN=FH=6013，
∴DN=AD-AN=13-6013=10913，
∵AH= AF2-FH2= 122-(6013)2=14413，
∴FN=AH=14413，
∴DF= DN2+FN2= (10913)2+(14413)2= 3261713= 193，
∴线段DF的长是 193．
故答案为： 193．
(1)根据正方形的性质证明△ABF≌△BCG(ASA)，即可解决问题；
(2)如图2，过点F作AB，AD的垂线于点H，N，延长AF交BC于点M，根据正方形的性质利用勾股定理解答即可；
(3)结合(2)的方法根据正方形的性质利用勾股定理解答即可．
此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，正确作出辅助线是解本题的关键．
26.【答案】1
【解析】解：设t=m2+n2，则由原方程，得(t+1)(t+3)=15，
整理，得t2+4t-12=0，
即(t+6)(t-2)=0，
解得t=-6(舍去)或t=2．
∵P(m,n)，
∴OP2=m2+n2=2，
∴OP= 2(负值不合题意，舍去)．
故答案为： 2．
OP2=m2+n2，设t=m2+n2，则用t代替方程中的m2+n2，将原方程转化为关于t的新方程，通过解新方程求得t即m2+n2的值即可．
本题主要考查了换元法，即把某个式子看作一个整体，用一个字母去代替它，实行等量替换．
27.【答案】二
【解析】解：∵关于x的方程x2+2x-c=0无实数根，
∴b2-4ac=4+4c<0，
故二次函数y=x2+2x-c的图象与x轴没有交点，
∵二次函数y=x2+2x-c的图象开口向上，对称轴为：直线x=-b2a=-1，
∴抛物线顶点在第二象限．
故答案为：二．
首先确定抛物线与x轴没有交点，再利用抛物线开口方向以及对称轴位置得出顶点的位置．
此题主要考查了抛物线与x轴的交点，熟练掌握相关性质得出顶点位置是解题关键．
28.【答案】-1+ 7或-1- 7或0或-2
【解析】解：当抛物线y=x2-a(a+2)x+9的顶点在x轴上时，Δ=0，
即Δ=[a(a+2)]2-4×9=0，
解得a=-1+ 7或a=-1- 7；
当抛物线y=x2-a(a+2)x+9的顶点在y轴上时，x=-b2a=a(a+2)2=0，
解得a=0或a=-2．
故答案为：-1+ 7或-1- 7或0或-2．
由于抛物线的顶点在坐标轴上，故应分在x轴上与y轴上两种情况进行讨论．
本题考查的是二次函数的性质，解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解．
29.【答案】②③⑤
【解析】解：由于抛物线的开口向下，因此a<0，
由于抛物线的对称轴是直线x=1>0，所以a、b异号，而a<0，所以b>0，
由于抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴，因此c>0，
所以abc<0，
因此①不正确；
由图象可知，当x=-1时，y=a-b+c<0，即b-a>c，
因此②正确；
由抛物线的对称性以及图象可知，
当x=2时，y=4a+2b+c>0，
因此③正确；
因为对称轴为x=-b2a=1，即2a+b=0，
而当x=-1时，y=a-b+c<0，
所以3a+c<0，
即3a<-c，
因此④不正确；
由于抛物线的顶点坐标为(1,a+b+c)，即x=1时，y的值最大，即a+b+c最大，
当x=m(m≠1)时，y=am2+bm+c
因此⑤正确；
综上所述，正确的结论有：②③⑤，
故答案为：②③⑤．
根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标，逐项进行判断即可．
本题考查二次函数的图象和性质，掌握抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标与系数a、b、c的关系是正确判断的前提．
30.【答案】D(1,2)，F(-1,-1) -4≤t<1
【解析】解：(1)∵A(-1,1)，B(1,1)，
∴AB2=4，
∵|CA2-CB2|=|(-1-0)2+(1-4)2-[(1-0)2+(1-4)2]|=0，
∴|CA2-CB2|≠AB2，
∴点C不是线段AB的垂点；
∵|DA2-DB2|=|(1+1)2+(2-1)2-[(1-1)2+(2-1)2]|=4，
∴|DA2-DB2|=AB2，
∴点D是线段AB的垂点；
∵|EA2-EB2|=|(3+1)2+(-2-1)2-[(3-1)2+(-2-1)2]=12，
∴|EA2-EB2|≠AB2，
∴点E不是线段AB的垂点；
∵|FA2-FB2|=|(-1+1)2+(-1-1)2-[(-1-1)2+(-1-1)2]=4，
∴|FA2-FB2|=AB2，
∴点F是线段AB的垂点；
综上所述，点D、F是线段AB的垂点；
故答案为：D(1,2)，F(-1,-1)；
(2)①当t=0时，点P(0,1)，Q(2,0)，
设点M是直线y=-12x+b上存在的线段PQ的等垂点，则M(m,-12m+b)，
过点M作MG⊥y轴于点G，过点M'作M'H⊥y轴于点H，
∴MP=PQ，MP⊥PQ，
∴∠PGM=∠QOP=90°，
∴∠MPG+∠PMG=90°，∠QPO+∠MPG=90°，
∴∠PMG=∠QPO，
∴△PMG≌△QPO(AAS)，
∴MG=OP=1，PG=OQ=2，
∴OG=OP+PG=1+2=3，
∴M(1,3)，
∴m=1-12m+b=3，
解得：m=1b=72；
同理可得：M'(-1,-1)，
∴m=-1-12m+b=-1，
解得：m=-1b=-32；
∴b的值为72或-32；
②∵P(t,1)，Q(t+2,0)．
∴线段PQ的垂点一定在直线y=2x+b'上，
把C(0,4)代入y=2x+b'，得b'=4，
当Q(t+2,0)在直线y=2x+4上时，0=2(t+2)+4，
解得：t=-4，
把B(1,1)代入y=2x+b'，得b'=-1，
当P(t,1)在直线y=2x-1上时，1=2t-1，
解得：t=1，
∴t的取值范围是-4≤t<1；
故答案为：-4≤t<1．
(1)根据新定义“线段AB的垂点”，即可判断得出答案；
(2)①当t=0时，点P(0,1)，Q(2,0)，则线段PQ的等垂点为M(m,-12m+b)，过点M作MG⊥y轴于点G，过点M'作M'H⊥y轴于点H，可证得△PMG≌△QPO(AAS)，进而可得M(1,3)或(-1,-1)，代入M(m,-12m+b)，即可求得b的值；
②根据新定义“线段AB的垂点”，线段PQ的垂点一定在直线y=2x+b'上，分别求得t的最小值和最大值即可得出答案．
本题综合性比较强，考查了学生对平面直角坐标系和点的坐标的理解，要掌握正方形的性质，学会对动点在直线上运动进行几何模型构建，能充分利用数形结合思想解决实际问题．
2022-2023学年北京市海淀区清华附中八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本题共8小题，共24分）
1. 下列方程中，属于一元二次方程的是( )
A. x2+1x=2 B. x2-xy=2 C. x2-2x-3=0 D. 2(x-1)=x
2. 将抛物线y=x2向下平移2个单位，所得抛物线的表达式为( )
A. y=x2+2 B. y=x2-2 C. y=(x+2)2 D. y=(x-2)2
3. 用配方法解方程x2-2x-5=02时，原方程变形正确的是( )
A. (x+1)2=6 B. (x-2)2=9 C. (x-1)2=6 D. (x+2)2=9
4. 抛物线y=(x-2)2+1的顶点坐标是( )
A. (-1,2) B. (2,1) C. (-2,1) D. (-2,-1)
5. 某商店购进一种商品，单价为30元．试销中发现这种商品每天的销售量P(件)与每件的销售价x(元)满足关系：P=100-2x.若商店在试销期间每天销售这种商品获得200元的利润，根据题意，下面所列方程正确的是( )
A. (x-30)(100-2x)=200 B. x(100-2x)=200
C. (30-x)(100-2x)=200 D. (x-30)(2x-100)=200
6. 已知抛物线y=2(x-2)2+1，A(-3,y1)，B(3,y2)，C(4,y3)是抛物线上三点，则y1，y2，y3由小到大依序排列是( )
A. y1
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
8. 已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，当y<0时，x的取值范围是( )
A. -1
C. x<-1
D. x<-1或x>2
二、填空题（本题共12小题，共28分）
9. 已知抛物线y=x2+x+m与y轴的交点在原点下方，则整数m的值可以是______ .(写出一个符合条件的值即可)
10. 若关于的一元二次方程x2-6x+k=0有两个相等的实数根，则k= ______ ．
11. 二次函数y=ax2+bx-3(a≠0)的图象经过点(1,4)，则代数式a+b的值为______ ．
12. 关于x的一元二次方程(m+3)x2+x+m2-9=0有一根为0，则m= ______ ．
13. 抛物线y=x2+4x+3在x轴上截得的线段的长度是______．
14. 已知m是方程x2-4x-3=0的一个实数根，则m2-4m+2023的值是______ ．
15. 若某等腰三角形的底和腰的长分别是一元二次方程x2-6x+8=0的两根，则这个等腰三角形的周长是______ ．
16. 已知抛物线y=a(x-h)2+k上部分点的横坐标x和纵坐标y的几组数据如下：
x
-1
1
3
y
2
-2
2
点P(-2,m)，Q(x1,m)是抛物线上不同的两点，则x1= ______ ．
17. 在平面直角坐标系中，已知点P(m,n)，m，n满足(m2+n2+1)(m2+n2+3)=15，则OP的长为______ ．
18. 关于x的方程x2+2x-c=0无实数根，则二次函数y=x2+2x-c的图象的顶点在第______ 象限．
19. 已知抛物线y=x2-a(a+2)x+9的顶点在坐标轴上，则a= ______ ．
20. 如图，已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，有下列结论：①abc>0；②b-a>c；③4a+2b+c>0；④3a>-c；⑤a+b>m(am+b)(m≠1)．
其中正确的是______(填序号)．
三、解答题（本题共10小题，共68分）
21. 用适当的方法解方程：
(1)(x-1)2=9；
(2)x2+2x-4=0；
(3)(x-4)2+x(x-4)=0；
(4)2x2-3x+1=0．
22. 已知抛物线y=2x2+bx+c过点(1,3)和(-1,5)，求该抛物线的解析式．
23. 用一面足够长的墙为一边，其余各边用总长42米的围栏建成如图所示的生态园，中间用围栏隔开，由于场地限制，垂直于墙的一边长不超过7米(围栏宽忽略不计)，若生态园的面积为144平方米，求生态园垂直于墙的边长．
24. 已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表所示：
x
…
-3
-2
-1
0
1
…
y
…
0
-3
-4
-3
0
…
(1)这个二次函数的解析式是______ ；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；
(3)当-4
25. 排球场的长度为18m，球网在场地中央且高度为2.24m，排球出手后的运动路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，排球运动过程中的竖直高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)近似满足函数关系y=a(x-h)2+k(a<0)．
(1)某运动员第一次发球时，测得水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：
水平距离x/m
0
2
4
6
11
12
竖直高度y/m
2.38
2.62
2.7
2.62
1.72
1.42
①根据上述数据，求抛物线解析式；
②判断该运动员第一次发球能否过网______ (填“能”或“不能”)．
(2)该运动员第二次发球时，排球运动过程中的竖直高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)近似满足函数关系y=-0.02(x-5)2+2.88，请问该运动员此次发球是否出界，并说明理由．
26. 如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点A(0,3)，B(2,3)，C(-1,0)，直线y=mx+n(m≠0)经过点B，C，部分图象如图所示，则：
(1)该抛物线的对称轴为直线______ ；
(2)关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的解为______ ；
(3)关于x的一元二次方程ax2+bx+c=mx+n的解为______ ；
(4)若关于x的一元二次方程ax2+bx+c-k=0无实数根，则k的取值范围是______ ．
27. 已知关于x的一元二次方程mx2+(2-3m)x+(2m-4)=0．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若m为整数，当此方程有两个互不相等的正整数根时，求m的值．
28 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2+2mx+m+4(m≠0)．
(1)求抛物线的顶点坐标；
(2)若抛物线与x轴的交点为A、B(点A在点B的左侧)，且AB=4，
①求抛物线的解析式；
②已知点P坐标为(3,4)，点Q在抛物线的对称轴上，将抛物线y=mx2+2mx+m+4在第二象限内的部分记为图象G，如果直线PQ与图象G只有一个公共点，请结合图象，直接写出点Q的纵坐标t的取值范围是______ ．
29 在正方形ABCD中，点E为边CD上一点(不与点C、D重合)，AF⊥BE于点F，CG⊥BE于点G．
(1)如图1，求证：AF=BG；
(2)如图2，若F为BG中点，连接DF，用等式表示线段AD，DF之间的数量关系，并证明；
(3)若AD=13，BF=5，直接写出线段DF的长是______ ．
30. 对于线段AB外一点M，给出如下定义：若点M满足|MA2-MB2|=AB2，则称M为线段AB的垂点，特别地，对于垂点M，若MA=AB或MB=AB时，称M为线段AB的等垂点，在平面直角坐标系xOy中，已知点A(-1,1)，B(1,1)．
(1)如图1，在点C(0,4)，D(1,2)，E(3,-2)，F(-1,-1)中，线段AB的垂点是______ ；
(2)已知点P(t,1)，Q(t+2,0)．
①如图2，当t=0时，若直线y=-12x+b上存在线段PQ的等垂点，求b的值；
②如图3，若△ABC边上(包含顶点)存在线段PQ的垂点，直接写出t的取值范围是______ ．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A.方程x2+1x=2是分式方程，选项A不符合题意；
B.方程x2-xy=2是二元二次方程，选项B不符合题意；
C.方程x2-2x-3=0是一元二次方程，选项C符合题意；
D.方程2(x-1)=x是一元一次方程，选项D不符合题意．
故选：C．
利用一元二次方程的定义，逐一分析四个选项中的方程即可．
本题考查了一元二次方程的定义，牢记“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程”是解题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：将抛物线y=x2向下平移2个单位，则所得抛物线的表达式为y=x2-2，
故选：B．
根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行求解．
本题主要考查的是二次函数图象与几何变换，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．
3.【答案】C
【解析】解：x2-2x-5=02，
即x2-2x-5=0，
移项得：x2-2x=5，
配方得：x2-2x+1=6，
即(x-1)2=6，
故选：C．
利用配方法解方程即可．
本题考查配方法解一元二次方程，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
4.【答案】B
【解析】解：y=(x-2)2+1的顶点坐标为(2,1)，
故选：B．
由抛物线的性质，求解即可．
此题考查了抛物线的性质，解题的关键是熟练掌握抛物线的有关性质．
5.【答案】A
【解析】解：∵每件商品的利润为(x-30)元，可售出(100-2x)件，
∴根据每天的利润为200元可列的方程为(x-30)(100-2x)=200，
故选A．
一天的利润=(售价-进价)×销售量，把相关数值代入即可．
考查列一元二次方程；得到一天的利润的等量关系是解决本题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：∵二次函数y=2(x-2)2+1，中a=2>0
∴抛物线开口向上，对称轴为x=-b2a=2，
∵B(3,y2)，C(4,y3)中横坐标均大于2，
∴它们在对称轴的右侧y3>y2．
A(-3,y1)中横坐标小于2，
∵它在对称轴的左侧，它关于x=2的对称点为2×2-(-3)=7，
A点的对称点是D(7,y1)
7>4>3，
∵a>0时，抛物线开口向上，在对称轴的右侧y随x的增大而增大，
∴y1>y3>y2．
故选：D．
先求出二次函数y=2(x-2)2+1的图象的对称轴，然后判断出A(-3,y1)，B(3,y2)，C(4,y3)在抛物线上的位置，再求解．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，本题的关键是找到A点的对称点；掌握二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象性质．
7.【答案】D
【解析】解：∵Δ=b2-4ac=(-2)2-4×m=4-4m，
∴要使方程有两不相等实数根，则有4-4m>0，
∴m<1；
∴m可以取0，
故选：D．
方程有两个不相等的实数根，则有Δ=b2-4ac>0，据此即可得到关于m的不等式，解不等式即可得到m的取值范围．
本题主要考查了一元二次方程的相关知识，解题的关键是明确一元二次方程的根与判别式之间的关系．
8.【答案】A
【解析】解：由图象可知，
当y<0时，x的取值范围是-1
根据抛物线与x轴的交点和图象，可以写出当y<0时，x的取值范围．
本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
9.【答案】-2(答案不唯一)
【解析】解：∵物线与y轴的交点在原点下方，
∴m<0，
∴m的值可以是：-2(答案不唯一)．
故答案为：-2(答案不唯一)．
根据抛物线与y轴的交点在原点下方可知：m<0，由此填写即可．
本题主要考查了二次函数与系数的关系，熟练掌握知识点是解决本题的关键．
10.【答案】9
【解析】解：∵关于的一元二次方程x2-6x+k=0有两个相等的实数根，
∴Δ=(-6)2-4k=0，
即36-4k=0，
解得：k=9，
故答案为：9．
根据根的判别式列得方程，解方程即可．
本题考查一元二次方程根的判别式，结合已知条件列得关于k的方程是解题的关键．
11.【答案】7
【解析】解：代入点(1,4)得4=a+b-3，
解得：a+b=7
故答案为：7．
代入点的坐标以后即可得出结论．
本题考查图象与点的关联，能够熟练把点代入解析式是解题关键．
12.【答案】3
【解析】解：∵关于x的一元二次方程(m+3)x2+x+m2-9=0有一根为0，
∴m2-9=0，m+3≠0，
解得：m=3，
故答案为：3．
将x=0代入(m+3)x2+x+m2-9=0中求得m的值，然后根据一元二次方程的定义确定符合题意的m的值即可．
本题考查一元二次方程的解及其定义，特别注意二次项系数不能为0．
13.【答案】2
【解析】解：设抛物线与x轴的交点为：(x1,0)，(x2,0)，
∵x1+x2=-4，x1⋅x2=3，
∴|x1-x2|= (x 1+ x 2) 2-4x 1 x 2= 4=2，
∴抛物线y=x2+4x+3在x轴上截得的线段的长度是2．
故答案为：2．
先设出抛物线与x轴的交点，再根据根与系数的关系求出x1+x2及x1⋅x2的值，再由完全平方公式求解即可．
本题考查的是抛物线与x轴的交点问题，能由根与系数的关系得到x1+x2及x1⋅x2的值是解答此题的关键．
14.【答案】2026
【解析】解：∵m是方程x2-4x-3=0的一个根，
∴m2-4m-3=0，
解得，m2-4m=3，
∴m2-4m+2023=2023+3=2026，
故答案是：2026．
把x=m代入已知方程可以求得m2-4m=3，所以将其整体代入所求的代数式并求值即可．
本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
15.【答案】10
【解析】解：方程分解得：(x-2)(x-4)=0，
可得x-2=0或x-4=0，
解得：x=2或x=4，
若2为腰，三角形三边为2，2，4，不能构成三角形，舍去；
若2为底，三角形三边为2，4，4，周长为2+4+4=10，
故答案为：10．
方程利用因式分解法求出解得到x的值，确定出等腰三角形三边，求出周长即可．
此题考查了解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
16.【答案】4
【解析】解：观察表格中的x、y的值，可知(-1,2)、(3,2)是对称点，
∴抛物线的对称轴是直线x=-1+32=1，
∵点P(-2,m)，Q(x1,m)是抛物线上不同的两点，
∴-2+x12=1，
∴x1=4，
故答案为：4．
根据表格中的点的坐标特点先确定对称轴，由抛物线的对称性即可求解；
本题考查了二次函数图象上的点的坐标特征、二次函数的性质，解决本题的关键是观察表格数据确定抛物线的对称轴．
17.【答案】解：(1)∵(x-1)2=9，
∴x-1=±3，
∴x1=4，x2=-2；
(2)∵x2+2x-4=0，
∴x2+2x=4，
则x2+2x+1=4+1，即(x+1)2=5，
∴x+1=± 5，
∴x1=-1+ 5，x2=-1- 5；
(3)∵(x-4)2+x(x-4)=0，
∴(x-4)(2x-4)=0，
∴x-4=0或2x-4=0，
解得x1=4，x2=2；
(4)∵2x2-3x+1=0，
∴(x-1)(2x-1)=0，
则x-1=0或2x-1=0，
解得x1=1，x2=12．
【解析】(1)利用直接开平方法求解即可；
(2)将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得；
(3)利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可；
(4)利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可．
本题考查了解一元二次方程，根据题目的特点选择适当的解法，熟练地掌握解一元二次方程的各种方法是解题的关键．
18.【答案】解：∵抛物线y=2x2+bx+c过点(1,3)和(-1,5)，
∴2+b+c=32-b+c=5，
解得：b=-1c=2，
∴抛物线的解析式为：y=2x2-x+2．
【解析】将(-1,5)，(1,3)代入y=2x2+bx+c求得b，c的值，得到此函数的解析式．
本题考查了待定系数法求二次函数解析式，得到两个关于b、c的方程是解题的关键，也是本题的难点．
19.【答案】解：设生态园垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为(42-3x)米，
依题意，得(42-3x)x=144．
解得x1=6，x2=8．
由于x2=8>7，所以不合题意，舍去．
所以x=6符合题意．
答：生态园垂直于墙的边长为6米．
【解析】设生态园垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为(42-3x)米，根据矩形的面积公式列出方程并解答．
本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系，列出方程并解答．
20.【答案】y=x2+2x-3 -4
设二次函数的解析式为：y=a(x+1)2-4，
把点(0,-3)代入y=a(x+1)2-4，得a=1，
故抛物线解析式为y=(x+1)2-4，即y=x2+2x-3；
(2)如图所示：
(3)∵y=(x+1)2-4，
∴当x=-4时，y=(-4+1)2-4=5，
当x=-0时，y=-3，
又对称轴为x=-1，
∴当-4
(2)利用描点法画二次函数图象；
(3)根据x=-4、-2时的函数值即可写出y的取值范围．
本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的图象与性质．
21.【答案】能
【解析】解：(1)①由表中数据可得顶点(4,2.7)，
设y=a(x-4)2+2.7(a<0)，
把(0,2.38)代入得16a+2.7=2.38，
解得：a=-0.02，
∴所求函数关系为y=-0.02(x-4)2+2.7；
②能．
当x=9时，y=-0.02(9-4)2+2.7=2.3>2.24，
∴该运动员第一次发球能过网，
故答案为：能；
(2)判断：没有出界．
第二次发球：y=-0.02(x-5)2+2.88，
令y=0，则-0.02(x-4)2+2.88=0，
，解得x1=-87(舍)，x2=17，
∵x2=17<18，
∴该运动员此次发球没有出界．
(1)①由表格中数据得出顶点坐标，设出函数解析式的顶点式，再把(0,2.48)代入解析式求出a即可⋅；
②当x=9时求出y的值与2.24比较即可；
(2)令y=-0.02(x-4)2+2.88中的y=0，解方程求出x的值与18比较即可．
本题考查二次函数的应用，关键是求出函数解析式．
22.【答案】x=1 x1=-1，x2=3 x1=2，x2=-1 k>4
【解析】解：(1)∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点A(0,3)，B(2,3)，
∴该抛物线的对称轴为直线x=0+22=1，
故答案为：x=1；
(2)由(1)知：该抛物线的对称轴为直线x=1，
∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点C(-1,0)，
∴该抛物线过点(3,0)，
∴一元二次方程ax2+bx+c=0的解为x1=-1，x2=3，
故答案为：x1=-1，x2=3；
(3)∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点B(2,3)，C(-1,0)，直线y=mx+n(m≠0)经过点B，C，
∴一元二次方程ax2+bx+c=mx+n的解为x1=2，x2=-1，
故答案为：x1=2，x2=-1；
(4)设该抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-3)，
∵该抛物线经过点A(0,3)，
∴3=a(0+1)(0-3)，
解得a=-1，
∴y=-(x+1)(x-3)=-x2+2x+3=-(x-1)2+4，
∴该抛物线的最大值为4，
∵一元二次方程ax2+bx+c-k=0无实数根，则k的取值范围是k>4，
故答案为：k>4
(1)根据抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点A(0,3)，B(2,3)，可以求得该抛物线的对称轴；
(2)根据(1)中的结果和二次函数具有对称性，可以求得抛物线与x轴的另一个交点，从而可以写出一元二次方程ax2+bx+c=0的解；
(3)根据抛物线与直线y=mx+n的交点，可以写出一元二次方程ax2+bx+c=mx+n的解；
(4)根据(2)中求出的抛物线与x轴的交点和经过点A(0,3)，可以求得该抛物线的解析式，然后化为顶点式，即可得到该抛物线的最大值，从而可以写出一元二次方程ax2+bx+c-k=0无实数根，此时k的取值范围．
本题考查二次函数的性质、二次函数图象与x轴的交点坐标、二次函数图象上点的坐标特点、一次函数图象上点的坐标特点，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
23.【答案】(1)证明：Δ=(2-3m)2-4×m×(2m-4)
=4-12m+9m2-8m2+16m
=m2+4m+4
=(m+2)2，
∵(m+2)2≥0，
∴Δ≥0，
∴方程总有两个实数根；
(2)解：∵mx2+(2-3m)x+(2m-4)=0，
∴[mx+(2-m)](x-2)=0，
∴x1=m-2m，x2=2．
∵m为整数，且原方程有两个互不相等的正整数根，
∴m=-1．
答：m的值为-1．
【解析】(1)根据方程的系数，结合根的判别式Δ=b2-4ac，可得出Δ=(m+2)2≥0，进而可证出方程总有两个实数根；
(2)利用因式分解法，可求出方程的两个实数根，结合m为整数且原方程有两个互不相等的正整数根，即可得出m的值．
本题考查了根的判别式以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：(1)牢记“当Δ≥0时，方程有两个实数根”；(2)利用因式分解法，求出方程的两个实数根．
24.【答案】t=4或43
=m(x2+2x+1)+4，
=m(x+1)2+4，
∴抛物线的顶点坐标为(1,4)，
(2)①∵抛物线的对称轴为x=-1，且AB=4(点A在点B的左侧)，
∴A(-3,0)，B(1,0)，
将B(1,0)代入y=mx2+2mx+m+4得：m+2m+m+4=0，
∴m=-1，
∴抛物线的解析式为：y=-x2-2x+3，
②图象G对应的部分抛物线如图所示：
Ⅰ.当过点P的直线与x轴平行时，直线PQ与图象G只有1个交点，此时t=4，
Ⅱ.当过点P的直线过(0,3)时，直线PQ与图象G只有1个交点，
设直线PQ的表达式为：y=kx+3，
将(3,4)代入得：3k+3=4，
∴k=13，
∴y=13x+3，
当x=-1时，t=83，
Ⅲ.当过点P的直线过(-3,0)时，直线PQ与图象G的交点在x轴上，
此时直线PQ的表达式为：y=23x+2，
当x=-1时，t=43，
综上：t=4或43
(2)①由抛物线的对称轴为x=-1，且AB=4(点A在点B的左侧)可得A(-3,0)，B(1,0)，代入抛物线即可；
②分过点P的直线与x轴平行、过点P的直线过(0,3)、过点P的直线过(-3,0)三种情况分别求解即可．
本题考查的是抛物线与轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．
25.【答案】 193
【解析】(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，AB=BC，
∵AF⊥BE，CG⊥BE，
∴∠AFB=∠BGC=90°，
∴∠ABF=∠BCG=90°-∠CBG，
∴△ABF≌△BCG(ASA)，
∴AF=BG；
(2)解：AD=DF，理由如下：
如图2，过点F作AB，AD的垂线于点H，N，延长AF交BC于点M，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAB=90°，
∴四边形AHFN是矩形，
∴AH=FN，AN=HF，
∵F为BG中点，
∴BF=GF，
∵AF⊥BG，CG⊥BG，
∴FM//CG，
∴BM=CM，
∴FM=12CG，
由(1)知：△ABF≌△BCG，
∴BF=CG，
∴BF=CG=FG，
设BF=CG=FG= 5，
∴FM=12CG= 52，
∴BM= BF2+FM2= 5+54=52，
∴AB=AD=BC=2BM=5，
∵AF=BG=2 5，S△ABF=12AB⋅FH=12AF⋅BF，
∴5FH=2 5× 5，
∴FH=2，
∴AN=FH=2，
∴DN=AD-AN=5-2=3，
∵AH= AF2-FH2= (2 5)2-22=4，
∴FN=AH=4，
∴DF= DN2+FN2= 32+42=5，
∴AD=DF；
(3)解：线段DF的长是 193.理由如下：
如图3，过点F作AB，AD的垂线于点H，N，
∵AF⊥BE，AB=AD=13，BF=5，
∴AF= AB2-BF2=12，
∴13FH=12×5，
∴FH=6013，
∴AN=FH=6013，
∴DN=AD-AN=13-6013=10913，
∵AH= AF2-FH2= 122-(6013)2=14413，
∴FN=AH=14413，
∴DF= DN2+FN2= (10913)2+(14413)2= 3261713= 193，
∴线段DF的长是 193．
故答案为： 193．
(1)根据正方形的性质证明△ABF≌△BCG(ASA)，即可解决问题；
(2)如图2，过点F作AB，AD的垂线于点H，N，延长AF交BC于点M，根据正方形的性质利用勾股定理解答即可；
(3)结合(2)的方法根据正方形的性质利用勾股定理解答即可．
此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，正确作出辅助线是解本题的关键．
26.【答案】1
【解析】解：设t=m2+n2，则由原方程，得(t+1)(t+3)=15，
整理，得t2+4t-12=0，
即(t+6)(t-2)=0，
解得t=-6(舍去)或t=2．
∵P(m,n)，
∴OP2=m2+n2=2，
∴OP= 2(负值不合题意，舍去)．
故答案为： 2．
OP2=m2+n2，设t=m2+n2，则用t代替方程中的m2+n2，将原方程转化为关于t的新方程，通过解新方程求得t即m2+n2的值即可．
本题主要考查了换元法，即把某个式子看作一个整体，用一个字母去代替它，实行等量替换．
27.【答案】二
【解析】解：∵关于x的方程x2+2x-c=0无实数根，
∴b2-4ac=4+4c<0，
故二次函数y=x2+2x-c的图象与x轴没有交点，
∵二次函数y=x2+2x-c的图象开口向上，对称轴为：直线x=-b2a=-1，
∴抛物线顶点在第二象限．
故答案为：二．
首先确定抛物线与x轴没有交点，再利用抛物线开口方向以及对称轴位置得出顶点的位置．
此题主要考查了抛物线与x轴的交点，熟练掌握相关性质得出顶点位置是解题关键．
28.【答案】-1+ 7或-1- 7或0或-2
【解析】解：当抛物线y=x2-a(a+2)x+9的顶点在x轴上时，Δ=0，
即Δ=[a(a+2)]2-4×9=0，
解得a=-1+ 7或a=-1- 7；
当抛物线y=x2-a(a+2)x+9的顶点在y轴上时，x=-b2a=a(a+2)2=0，
解得a=0或a=-2．
故答案为：-1+ 7或-1- 7或0或-2．
由于抛物线的顶点在坐标轴上，故应分在x轴上与y轴上两种情况进行讨论．
本题考查的是二次函数的性质，解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解．
29.【答案】②③⑤
【解析】解：由于抛物线的开口向下，因此a<0，
由于抛物线的对称轴是直线x=1>0，所以a、b异号，而a<0，所以b>0，
由于抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴，因此c>0，
所以abc<0，
因此①不正确；
由图象可知，当x=-1时，y=a-b+c<0，即b-a>c，
因此②正确；
由抛物线的对称性以及图象可知，
当x=2时，y=4a+2b+c>0，
因此③正确；
因为对称轴为x=-b2a=1，即2a+b=0，
而当x=-1时，y=a-b+c<0，
所以3a+c<0，
即3a<-c，
因此④不正确；
由于抛物线的顶点坐标为(1,a+b+c)，即x=1时，y的值最大，即a+b+c最大，
当x=m(m≠1)时，y=am2+bm+c
因此⑤正确；
综上所述，正确的结论有：②③⑤，
故答案为：②③⑤．
根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标，逐项进行判断即可．
本题考查二次函数的图象和性质，掌握抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标与系数a、b、c的关系是正确判断的前提．
30.【答案】D(1,2)，F(-1,-1) -4≤t<1
【解析】解：(1)∵A(-1,1)，B(1,1)，
∴AB2=4，
∵|CA2-CB2|=|(-1-0)2+(1-4)2-[(1-0)2+(1-4)2]|=0，
∴|CA2-CB2|≠AB2，
∴点C不是线段AB的垂点；
∵|DA2-DB2|=|(1+1)2+(2-1)2-[(1-1)2+(2-1)2]|=4，
∴|DA2-DB2|=AB2，
∴点D是线段AB的垂点；
∵|EA2-EB2|=|(3+1)2+(-2-1)2-[(3-1)2+(-2-1)2]=12，
∴|EA2-EB2|≠AB2，
∴点E不是线段AB的垂点；
∵|FA2-FB2|=|(-1+1)2+(-1-1)2-[(-1-1)2+(-1-1)2]=4，
∴|FA2-FB2|=AB2，
∴点F是线段AB的垂点；
综上所述，点D、F是线段AB的垂点；
故答案为：D(1,2)，F(-1,-1)；
(2)①当t=0时，点P(0,1)，Q(2,0)，
设点M是直线y=-12x+b上存在的线段PQ的等垂点，则M(m,-12m+b)，
过点M作MG⊥y轴于点G，过点M'作M'H⊥y轴于点H，
∴MP=PQ，MP⊥PQ，
∴∠PGM=∠QOP=90°，
∴∠MPG+∠PMG=90°，∠QPO+∠MPG=90°，
∴∠PMG=∠QPO，
∴△PMG≌△QPO(AAS)，
∴MG=OP=1，PG=OQ=2，
∴OG=OP+PG=1+2=3，
∴M(1,3)，
∴m=1-12m+b=3，
解得：m=1b=72；
同理可得：M'(-1,-1)，
∴m=-1-12m+b=-1，
解得：m=-1b=-32；
∴b的值为72或-32；
②∵P(t,1)，Q(t+2,0)．
∴线段PQ的垂点一定在直线y=2x+b'上，
把C(0,4)代入y=2x+b'，得b'=4，
当Q(t+2,0)在直线y=2x+4上时，0=2(t+2)+4，
解得：t=-4，
把B(1,1)代入y=2x+b'，得b'=-1，
当P(t,1)在直线y=2x-1上时，1=2t-1，
解得：t=1，
∴t的取值范围是-4≤t<1；
故答案为：-4≤t<1．
(1)根据新定义“线段AB的垂点”，即可判断得出答案；
(2)①当t=0时，点P(0,1)，Q(2,0)，则线段PQ的等垂点为M(m,-12m+b)，过点M作MG⊥y轴于点G，过点M'作M'H⊥y轴于点H，可证得△PMG≌△QPO(AAS)，进而可得M(1,3)或(-1,-1)，代入M(m,-12m+b)，即可求得b的值；
②根据新定义“线段AB的垂点”，线段PQ的垂点一定在直线y=2x+b'上，分别求得t的最小值和最大值即可得出答案．
本题综合性比较强，考查了学生对平面直角坐标系和点的坐标的理解，要掌握正方形的性质，学会对动点在直线上运动进行几何模型构建，能充分利用数形结合思想解决实际问题．
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