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2023年山东省青岛市局属学校中考数学三模试卷（含解析）
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这是一份2023年山东省青岛市局属学校中考数学三模试卷（含解析），共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年山东省青岛市局属学校中考数学三模试卷
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列四个选项中的数不是分数的是( )
A. −12 B. 227 C. π2 D. 80%
2. 下列计算正确的是( )
A. −(2x2)3=8x6 B. x5÷x2=x3 C. 3x2×2x3=6x6 D. 14×40=1
3. 下面图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
4. 甲、乙两名同学本学期五次引体向上的测试成绩(个数)如图所示，下列判断正确的是( )
A. 甲的成绩比乙稳定 B. 甲的最好成绩比乙高
C. 甲的成绩的平均数比乙大 D. 甲的成绩的中位数比乙大
5. 如图，AB、AC为⊙O的切线，B和C是切点，延长OB到点D，使BD=OB，连接AD，若∠DAC=78°，则∠ADO=( )
A. 70°
B. 64°
C. 62°
D. 51°
6. 如图，将线段AB先绕原点O按逆时针方向旋转90°，再向下平移4个单位，得到线段A′B′，则点B的对应点B′的坐标是( )
A. (−3,−1) B. (−3,−3) C. (−1,−3) D. (−1,−2)
7. 如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，H是AF的中点，CH=3，那么CE的长是( )
A. 3
B. 4
C. 15
D. 17
8. 抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，a>0)经过(0,0)，(4,0)两点.则下列四个结论正确的有( )
①4a+b=0；
②5a+3b+2c>0；
③若该抛物线y=ax2+bx+c与直线y=−3有交点，则a的取值范围是a≥34；
④对于a的每一个确定值，如果一元二次方程ax2+bx+c−t=0(t为常数，t≤0)的根为整数，则t的值只有3个．
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
9. 计算：sin30°+(π−3)0−(12)2= ______ ．
10. 国家卫健委通报：截至2022年6月1日，31个省(自治区、直辖市)和新疆生产建设兵团累计报告接种新冠病毒疫苗201000万余剂次，将数据101000用科学记数法表示为______ ．
11. 某工厂四月份生产口罩50万个，防疫需要，预计第二季度生产182万个口罩的生产任务，该工厂增加设备，并提高生产效率，设该工厂五、六月份生产口罩平均每月的增长率为x，那么x=______．
12. 如图，在同一平面直角坐标系中，直线y=t(t为常数)与反比例函数y1=5x，y2=−1x的图象分别交于点A，B，点O为坐标原点，连接OA，OB，则△OAB的面积为______．
13. 如图，AC⊥BC，AC=BC=8，以BC为直径作半圆，圆心为O.以点C为圆心，BC为半径作弧AB，过点O作AC的平行线交两弧于点D、E，则阴影部分的面积是______ ．
14. 如图，正方形ABCD的边长为4，延长CB至E使EB=2，以EB为边在上方作正方形EFGB，延长FG交DC于M，连接AM，AF，H为AD的中点，连接FH分别与AB、AM交于点N、K.则下列结论：
①△ANH≌△GNF；
②FK=3NK；
③S△AFN：S△ADM=1：4；
④若点P是AM上一点，则EP+CP最小值为2 13．
其中正确的结论有______ .(填序号)
三、解答题（本大题共11小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. (本小题4.0分)
已知：△ABC．
求作：△ABC内的一个最大的菱形，使A为菱形的一个内角．
16. (本小题8.0分)
计算：
(1)化简：a2−1a2−2a+1÷a+1a−1+aa−1；
(2)解不等式组12(x+1)≤2x+22>x+33，并求出不等式组的整数解之和．
17. (本小题6.0分)
4张相同的卡片上分别写有数字0、1、−2、3，将卡片的背面朝上，洗匀后从中任意抽取1张，将卡片上的数字记录下来；再从余下的3张卡片中任意抽取1张，同样将卡片上的数字记录下来．
(1)第一次抽取的卡片上数字是非负数的概率为______；
(2)小敏设计了如下游戏规则：当第一次记录下来的数字减去第二次记录下来的数字所得结果为非负数时，甲获胜；否则，乙获胜．小敏设计的游戏规则公平吗？为什么？(请用树状图或列表等方法说明理由)
18. (本小题6.0分)
如图，A、B是两个核酸检测点，点C、D、E是附近的在同一条直线上的三个小区的物业服务中心，在A处测得点C在正北60m处，点D在北偏东45°，在B处测得点E在北偏东37°，点A在北偏西60°，AB=80m，求D、E两个小区的物业服务中心距离．(结果保留整数，参考数据： 3≈1.7,sin37°≈0.6,cos37°≈0.8,tan37°≈0.75)
19. (本小题6.0分)
党的二十大报告在思想领导上强调“巩固绿水青山就是金山银山的理念”.某学校开展了主题为“垃圾分类，绿色生活新时尚“的宣传活动.为了解学生对垃圾分类知识的掌握情况，学校从全校学生中随机抽取部分学生进行知识测试(测试满分100分，得分均为整数)，并对成绩进行整理、描述和分析．
成绩的扇形统计图与频数分布表
组别
成绩a(分)
频数(人)
各组总分数(分)
A
50≤a<60
10
552
B
60≤a<70
15
971
C
70≤a<80
m
1512
D
80≤a<90
40
3393
E
90≤a≤100
15
1422
已知成绩在60≤a<70这一组的是：60 62 64 65 66 66 67 67 67 68 69 65 61 63 67
根据以上信息，回答下列问题：
(1)填空：m= ______ ，n= ______ ．
(2)所抽取学生成绩在60≤a<70这一组的众数是______ 分.
(3)求所抽取学生的平均成绩；
(4)若该校有1400名学生，假设全部参加此次测试，请估计成绩不低于80分的人数．
20. (本小题6.0分)
如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC=BC，过点A作AD//BC交⊙O于点D，连接CD，延长DA到点E，连接CE，∠D=∠E．
(1)求证：CE是⊙O的切线；
(2)若CE=8，AE=5，求⊙O半径的长．
21. (本小题6.0分)
如图，直线y=kx+b与双曲线y=mx交于A(1,8)，B(4,n)两点，与x轴，y轴分别交于点D，C．
(1)填空：k= ______ ，b= ______ ，m= ______ ；
(2)连接OA，OB，求△AOB的面积；
(3)将直线y=kx+b向下平移t(t>0)个单位后，与双曲线y=mx有唯一交点，直接写出t的值．
22. (本小题8.0分)
如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD=CD，点E是边AC的中点，连接DE，DE的延长线与边BC相交于点F，AG//BC，交DE于点G，连接AF、CG．
(1)求证：△AEG≌△CEF；
(2)已知______ (从以下两个条件中选择一个作为已知，填写序号)，请判断四边形AFCG的形状，并证明你的结论．
条件①：AB=2EF；
条件②：AB=AC．
(注：如果选择条件①条件②分别进行解答，按第一个解答计分)
23. (本小题8.0分)
如图1，有一组平行线l1//l2//l3//l4，正方形ABCD的四个顶点分别在l1，l2，l3，l4上，EG过点D且垂直l1于点E，分别交l2，l4于点F，G，EF=DG=1，DF=2．
(1)AE=______，正方形ABCD的边长=______；
(2)如图2，将∠AEG绕点A顺时针旋转得到∠AE′D′，旋转角为α(0°<α<90°)，点D′在直线l3上，以AD′为边在E′D′左侧作菱形AB′C′D′，使B′，C′分别在直线l2，l4上．
①写出∠B′AD′与α的数量关系并给出证明；
②若α=30°，求菱形AB′C′D′的边长．
24. (本小题10.0分)
某商店为了推销一种新产品，在某地先后举行40场产品发布会，已知该产品每台成本为10万元，设第x场
产品的销售量为y(台)，已知第一场销售产品49台，然后每增加一场，产品就少卖出1台；
(1)直接写出y与x之间满足的函数关系式；
产品的每场销售单价p(万元)由基本价和浮动价两部分相加组成，其中基本价保持不变.经过统计，发现第1场一第20场浮动价与发布场次x成正比，第21场一一第40场浮动价与发布场次x成反比，得到如下数据：
x(场)
3
10
25
P(万元)
10.6
12
14.2
(2)求p与x之间满足的函数关系式
(3)当产品销售单价为13万元时，求销售场次是第几场？
(4)在这40场产品发布会中，求哪一场获得的利润最大，最大利润是多少？
25. (本小题10.0分)
如图①，四边形ABCD中，AD//BC，DC⊥BC，AD=6cm，DC=8cm，BC=12cm，动点M在CB上运动，从C点出发到B点，速度每秒2cm；动点N在BA上运动，从B点出发到A点，速度每秒1cm.两个动点同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止，设两个点的运动时间为t(秒)．
(1)当MN//CD时，求t的值？
(2)设三角形DMN的面积为S，求S与t之间的函数关系式．
(3)如图②，连接BD，是否存在某一时刻t，使MN与BD互相垂直？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A.−12是分数，故此选项不合题意；
B.227是分数，故此选项不合题意；
C.π2是无理数，不是分数，故此选项符合题意；
D.80%是分数，故此选项不合题意．
故选：C．
根据无限不循环小数，不能化成分数形式，因而不属于有理数，也不是分数，进而判断得出答案．
此题主要考查了有理数，正确掌握分数的定义是解题关键．
2.【答案】B
【解析】解：A、−(2x2)3=−8x6，故此选项错误；
B、x5÷x2=x3，故此选项正确；
C、3x2×2x3=6x5，故此选项错误；
D、14×40=14，故此选项错误．
故选：B．
直接利用单项式乘单项式以及积的乘方运算法则、零指数幂的性质分别计算得出答案．
此题主要考查了单项式乘单项式以及积的乘方运算等知识，正确掌握相关运算法则是解题关键．
3.【答案】D
【解析】解：A、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
4.【答案】A
【解析】解：甲同学的成绩从小到大排列为：7、8、8、8、9，
则其中位数为8，平均数为7+8+8+8+95=8，方差为15×[(7−8)2+3×(8−8)2+(9−8)2]=0.4；
乙同学的成绩从小到大排列为：6、7、8、9、10，
则其中位数为8，平均数为6+7+8+9+105=8，方差为15×[(6−8)2+(7−8)2+(8−8)2+(9−8)2+(10−8)2]=2；
∴甲的成绩比乙稳定，甲、乙的平均成绩和中位数均相等，甲的最好成绩比乙低，
故选：A．
分别计算出两人成绩的平均数、中位数、方差可得出答案．
本题考查了方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量：方差越大，则离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它的离散程度越小，稳定性越好；也考查了平均数、中位数．
5.【答案】B
【解析】解：连接OA，
∵AB、AC为⊙O的切线，
∴∠BAO=∠CAO，OB⊥AB，
∵BD=OB，
∴AB垂直平分OD，
∴AO=AD，△AOD为等腰三角形，
∴∠BAO=∠BAD，
∴∠CAO=∠BAO=∠BAD，
∵∠DAC=∠BAD+∠BAO+∠CAO=78°，
∴3∠BAD=78°，
∴∠BAD=26°，
∴∠ADO=90°−∠BAD=90°−26°=64°．
故选：B．
先根据切线长定理，由AB、AC为⊙O的切线得到∠BAO=∠CAO，根据切线的性质得OB⊥AB，加上BD=OB，则可判断△AOD为等腰三角形，于是根据等腰三角形的性质得∠BAO=∠BAD，即∠CAO=∠BAO=∠BAD，然后利用∠DAC=∠BAD+∠BAO+∠CAO=78°可计算出∠BAD=26°，再利用∠ADO=90°−∠BAD求解．
本题考查了切线的性质，圆的切线垂直于经过切点的半径，也考查了切线长定理．
6.【答案】A
【解析】解：如图，B′(−3,−1)．
故选：A．
画出图形，可得结论．
本题考查坐标与图形变化−旋转，平移变换等知识，解题的关键是正确作出图形，属于中考常考题型．
7.【答案】D
【解析】解：连接AC，CF，如图，
∵四边形ABCD和四边形CEFG为正方形，
∴AB=BC=1，CE=EF，∠ACD=∠GCF=45°．
∴∠ACF=45°×2=90°．
∵H是AF的中点，CH=3，
∴AF=2CH=6．
在Rt△ABC中，AC= 2BC= 2．
在Rt△ACF中，
CF= AF2−AC2= 34．
在Rt△ECF中，
∵CE2+EF2=CF2，CE=EF，
∴CE= 22CF= 22× 34= 17．
故选：D．
连接AC，CF，正方形ABCD和正方形CEFG可得∠ACD=∠FCG=45°，则∠ACF=90°.利用H是AF的中点，CH=3，根据斜边上的中线等于斜边的一半可得AF=2CH=6；由BC=1可得AC= 2，利用勾股定理可求得CF，利用正方形的性质可求CE．
本题主要考查了正方形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理．连接正方形的对角线是正方形题目中常添加的辅助线．
8.【答案】C
【解析】解：∵抛物线经过(0,0)，(4,0)，
∴抛物线对称轴为直线x=−b2a=2，
∴b=−4a，即4a+b=0，①正确．
∵a>0，
∴抛物线开口向上，
当x<0或x>4时y>0，当0
∴5a+3b+2c<0，②错误．
∵抛物线开口向上，函数值最小值为y=−4a，
∴−4a≤−3时，抛物线与直线y=−3有交点，
解得a≥43，③正确．
∵抛物线经过原点，
∴c=0，
∵b=−4a，
∴y=ax2−4ax，
将x=2代入y=ax2−4ax得y=4a−8a=−4a，
∴函数最小值为−4a，④正确．
故选：C．
由抛物线经过(0,0)，(4,0)可得抛物线对称轴为直线x=2，从而可判断①，由抛物线开口向上可得当0
9.【答案】54
【解析】解：原式=12+1−14=54．
故答案为：54．
先算乘方，再代入特殊角的函数值算加减．
本题主要考查了实数的运算，掌握乘方法则、零指数幂的意义及特殊角的函数值是解决本题的关键．
10.【答案】1.01×105
【解析】解：将数据101000用科学记数法表示为1.01×105．
故答案为：1.01×105．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
11.【答案】20%
【解析】解：设该工厂五、六月份生产这种零件平均每月的增长率为x，
根据题意得：50+50(1+x)+50(1+x)2=182．
解得x1=0.2=20%，x2=−3.2(舍去)．
故答案是：20%．
设该工厂五、六月份生产这种零件平均每月的增长率为x，根据第二季度完成182万个零件的生产任务，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
12.【答案】3
【解析】解：设线段AB与y轴交于点C，如图所示：
根据题意可知，AB⊥y轴，
∴△BOC的面积=12，△AOC的面积=52，
∴△ABO的面积=12+52=3，
故答案为：3．
设线段AB与y轴交于点C，根据反比例函数k的几何意义可得△BOC的面积=12，△AOC的面积=52，即可求出△ABO的面积．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数k的几何意义是解题的关键．
13.【答案】20π3−8 3
【解析】解：如图，连接CE．
∵AC⊥BC，AC=BC=8，以BC为直径作半圆，圆心为点O；以点C为圆心，BC为半径作弧AB，
∴∠ACB=90°，OB=OC=OD=4，BC=CE=8．
又∵OE//AC，
∴∠ACB=∠COE=90°．
在直角△OEC中，OC=4，CE=8，
∴∠CEO=30°，∠ECB=60°，OE=4 3，
∴S阴影=S扇形BCE−S扇形BOD−S△OCE=60π×82360−14π×42−12×4×4 3=20π3−8 3，
故答案为：20π3−8 3．
如图，连接CE.图中S阴影=S扇形BCE−S扇形BOD−S△OCE.根据已知条件易求得OB=OC=OD=4，BC=CE=8.∠ECB=60°，OE=4 3所以由扇形面积公式、三角形面积公式进行解答即可．
本题考查了扇形面积的计算．不规则图形的面积一定要注意分割成规则图形的面积进行计算．
14.【答案】①②③
【解析】解：∵正方形ABCD的边长为4，正方形BEFG的顶点E在CB的延长线上，BE=2，
∵AB=CB=AD=CD=4，GB=FE=FG=BE=2，∠EBG=∠BGF=90°，
∴∠GBC=∠ABC=90°，
∴点G在AB边上，
∵∠AGM=∠GAD=∠D=90°，
∴四边形AGMD是矩形，
∴DM=AG=AB−GB=4−2=2，GM=AD=4，GM//AD，
∴∠AHN=∠GFN，∠HAN=∠FGN=90°，
∵H为AD的中点，
∴HA=HD=12AD=12×4=2，
∴HA=FG，
∴△ANH≌△GNF(ASA)，
故①正确；
∵MF//AH，
∴△AHK∽△MFK，
∵HA=2，FM=FG+GM=2+4=6，
∴HKFK=HAFM=26=13，
∴FK=3HK，
∵AN=GN=12AG=12×2=1，
∴FGGN=tan∠GNF=12，
∵GMAG=tan∠GAM=24=12，
∴∠GAM=∠GNF=∠ANK，
∴NK=AK，∠KAH=90°−∠GAM=90°−∠ANK=∠KHA，
∴HK=AK=NK，
∴FK=3NK，
故②正确；
∵S△AFN=12AN⋅FG=12×1×2=1，S△ADM=12AD⋅DM=12×4×2=4，
∴S△AFN：S△ADM=1：4，
故③正确；
连接并延长EA到点R，使AR=AE，连接CR交AM于点P，作RQ⊥BC于点Q，交AD于点H，
∵AB=AD，∠ABE=∠D，BE=DM，
∴△ABE≌△ADM(SAS)，
∴∠BAE=∠DAM，
∴∠EAM=∠BAE+∠BAM=∠DAM+∠BAM=∠BAD=90°，
∵AM垂直平分ER，
∴EP=RP，
∴EP+CP=RP+CP=RC，
∴此时EP+CP的值最小，
∵∠ABE=∠RQE=90°，
∴AB//RQ，
∴BEBQ=AEAR=1，
∴BE=BQ=2，
∴CQ=CB−BQ=4−2=2，RQ=2AB=2×4=8，
∵∠CQR=90°，
∴CR= CQ2+RQ2= 22+82=2 17，
∵EP+CP最小值为2 17，而不是2 13，
故④错误，
故答案为：①②③．
由正方形的性质得AB=CB=AD=CD=4，GB=FE=FG=BE=2，∠EBG=∠BGF=90°，可证明四边形AGMD是矩形，则DM=AG=AB=2，GM=AD=4，GM//AD，即可由∠AHN=∠GFN，∠HAN=∠FGN=90°，HA=FG，证明△ANH≌△GNF，可判断①正确；由MF//AH，证明△AHK∽△MFK，则HKFK=HAFM=13，所以FK=3HK，由FGGN=tan∠GNF=12，GMAG=tan∠GAM=12，可证明∠GAM=∠GNF=∠ANK，则NK=AK，再证明HK=AK=NK，则FK=3NK，可判断②正确；可求得S△AFN=1，S△ADM=4，则S△AFN：S△ADM=1：4，可判断③正确；连接并延长EA到点R，使AR=AE，连接CR交AM于点P，作RQ⊥BC于点Q，交AD于点H，可证明△ABE≌△ADM，得∠BAE=∠DAM，可推导出∠EAM=∠BAD=90°，则AM垂直平分ER，可知此时EP+CP的值最小，可求得CQ=2，RQ=2AB=8，所以CR= CQ2+RQ2=2 17，可判断④错误，于是得到问题的答案．
此题重点考查正方形的性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形、两点之间线段最短等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
15.【答案】解：如图所示：四边形APMN即为所求．
【解析】作∠BAC的角平分线AM与BC交于点M，作AM的垂直平分线交AB，AC于点P，N，连接MP，MN，则四边形APMN即为所求．
本题考查了作图−复杂作图，菱形的性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法．
16.【答案】解：(1)原式=(a+1)(a−1)(a−1)2⋅a−1a+1+aa−1
=1+aa−1
=a−1a−1+aa−1
=2a−1a−1；
(2)12(x+1)≤2①x+22>x+33②，
解①得x≤3，
解②得x>0，
所以不等式组的解集为0
【解析】(1)先把分子分母因式分解和除法运算化为乘法运算，再约分，然后通分后进行同分母的加法运算；
(2)分别解两个不等式得到x≤3和x>0，利用大小小大中间找确定不等式组的解集为0
17.【答案】34
【解析】解：(1)第一次抽取的卡片上数字是非负数的概率为34，
故答案为：34；
(2)小敏设计的游戏规则公平，理由如下：
列表如下：
0
1
−2
3
0
1
−2
3
1
−1
−3
2
−2
2
3
5
3
−3
−2
−5
由表可知，共有12种等可能结果，其中结果为非负数的有6种结果，结果为负数的有6种结果，
∴甲获胜的概率=乙获胜的概率=612=12，
∴小敏设计的游戏规则公平．
(1)利用概率公式求解即可；
(2)利用列表法列举出所有可能结果，再利用概率公式得出甲、乙获胜的概率，即可得出答案．
本题考查的是游戏公平性的判断以及列表法求概率．判断游戏公平性就要计算每个参与者取胜的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
18.【答案】解：如图，过B作BF⊥CE于点F，过A作AG⊥BF于点G，
则四边形ACFG是矩形，
∴FG=AC，CF=AG，
由题意得：∠ACD=90°，∠CAD=45°，AC=60m，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴DC=AC=FG=60m，
在Rt△ABG中，∠ABG=60°，AB=80m，
∵sin∠ABG=AGAB=sin60°= 32，cos∠ABG=BGAB=cos60°=12，
∴CF=AG= 32AB= 32×80=40 3(m)，BG=12AB=12×80=40(m)，
∴BF=BG+FG=40+60=100(m)，
在Rt△BEF中，∠EBF=37°，tan∠EBF=EFBF=tan37°≈0.75=34，
∴EF≈34BF=34×100=75(m)，
∴CE=CF+EF≈(40 3+75)m，
∴DE=CE−DC=40 3+75−60=40 3+15≈83(m)，
答：D、E两个小区的物业服务中心距离约为83m．
【解析】过B作BF⊥CE于点F，过A作AG⊥BF于点G，证△ACD是等腰直角三角形，得DC=AC=FG=60m，再由锐角三角函数定义得CF=AG=40 3m，BG=40m，则BF=BG+FG=100m，然后由锐角三角函数定义得EF≈75m，即可解决问题．
本题考查了解直角三角形的应用−方向角问题，矩形的判定和性质等知识，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
19.【答案】20 20 67
【解析】解：(1)本次抽取的学生有：10÷10%=100(人)，
m=100−10−15−40−15=20，
n%=20÷100×100%=20%，
故答案为：20，20；
(2)所抽取学生成绩在60≤a<70这一组的众数是67分，
故答案为：67；
(3)(552+971+1512+3393+1422)÷100
=7850÷100
=78.5(分)，
即所抽取学生的平均成绩是78.5分；
(4)1400×40+15100=770(人)，
即估计成绩不低于80分的有770人．
(1)根据频数表中的数据，可以计算出本次抽取的学生人数，然后即可计算出m、n的值；
(2)写出成绩在60≤a<70这一组的众数；
(3)根据频数表中的数据，可以计算出所抽取学生的平均成绩；
(4)根据频数表中的数据，可以计算出计成绩不低于80分的人数．
本题考查扇形统计图、用样本估计总体、众数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
20.【答案】(1)证明：连接OC，如图，
∵AD//BC，
∴∠B=∠DAB．
∵∠B=∠D，
∴∠DAB=∠D．
∵∠D=∠E，
∴∠DAB=∠E，
∴AB//EC．
∵AC=BC，
∴OC⊥AB，
∴OC⊥EC．
∵OC是⊙O的半径，
∴CE是⊙O的切线；
(2)解：连接OC，OB，OC交AB于点F，如图，
由(1)知：AB//EC，
∵AD//BC，
∴四边形ABCE为平行四边形，
∴BC=AE=5，AB=EC=8．
∵OC⊥AB，
∴AF=BF=12AB=4．
∴FC= BC2−BF2=3．
设⊙O半径的长为r，则OF=OC−CF=r−3，
∵OF2+BF2=OB2，
∴(r−3)2+42=r2，
解得：r=256．
∴⊙O半径的长为256．
【解析】(1)连接OC，利用平行线的性质，同圆的半径相等，平行线的判定和圆的切线的判定定理解答即可；
(2)连接OC，OB，OC交AB于点F，利用(1)的结论判定四边形ABCE为平行四边形，利用垂径定理和勾股定理求得CF，设⊙O半径的长为r，则OF=OC−CF=r−3，利用勾股定理列出方程，解方程即可求解．
本题主要考查了圆的切线的判定，圆周角定理，垂径定理，平行线的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线．
21.【答案】−2 10 8
【解析】解：(1)∵双曲线y=mx过点A(1,8)，B(4,n)，
∴m=1×8=4n，
∴m=8，n=2，
又∵直线y=kx+b经过点A(1,8)，B(4,2)，
∴k+b=84k+b=2，
解得k=−2，b=10，
故答案为：−2，10，8；
(2)由(1)可得直线AB的关系式为y=−2x+10，
当x=0时，y=10，
∴C(0,10)，
∴OC=10，
由点E(1,0)可得OE=1，
∴EC=OE+OC=1+6=7，
∴S△AOB=S△BOC−S△AOC
=12×10×4−12×10×1
=15；
(3)设直线AB平移后的关系式为y=−2x+10−t，由于平移后与y=8x有唯一公共点，
即方程−2x+10−t=8x有唯一解，
也就是关于x的方程2x2−(10−t)x+8=0有两个相等的实数根，
∴(10−t)2−4×2×8=0，
解得t=2或18，
故t的值为2或18．
(1)根据待定系数法，将点的坐标代入函数关系式即可求出m、k、b的值；
(2)根据S△AOB=S△BOC−S△AOC，利用三角形的面积公式进行计算即可；
(3)设平移后的关系式与反比例函数关系式组成方程组求解即可．
本题考查反比例函数、一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数与反比例图象交点坐标，把点的坐标代入是求函数关系式常用的方法，将坐标转化为线段的长是正确解答的关键．
22.【答案】②
【解析】(1)证明：∵AD=CD，点E是边AC的中点，
∴AE=CE，DE⊥AC，即∠AEG=∠CEF=90°，
∵AG//CF，
∴∠AGE=∠CFE，
在△AEG和△CEF中，
∠AGE=∠CFE∠AEG=∠CEFAE=CE，
∴△AEG≌△CEF(AAS)；
(2)解：已知条件②：AB=AC，四边形AFCG是正方形，理由如下：
∵△AEG≌△CEF，
∴AG=CF，
∵AG//CF，
∴四边形AFCG是平行四边形，
∵DE⊥AC，
∴四边形AFCG是菱形，
∴AF=CF，
在Rt△ABC中，AB=AC．
∴∠ACB=45°，
∴∠FAC=∠ACB=45°，
∴∠AFC=90°，
∴四边形AFCG是正方形．
(1)可利用AAS证明△AEG≌△CEF；
(2)选择②，先证明四边形AFCG是平行四边形，再证明是菱形，通过证明∠AFC=90°可证明四边形AFCG是正方形．
本题考查的是正方形的判定方法，全等三角形的判定与性质等基础知识的灵活运用，判别一个四边形是正方形主要是根据正方形的定义及其性质．
23.【答案】解：(1)1； 10；
(2)①∠B′AD′=90°−α；
理由：过点B′作B′M垂直于l1于点M，
在Rt△AE′D′和Rt△B′MA中，
B′M=AE′AB′=AD′,
∴Rt△AE′D′≌Rt△B′MA(HL)，
∴∠D′AE′+∠B′AM=90°，
∠B′AD′+α=90°，
∴∠B′AD′=90°−α；
②过点E′作ON垂直于l1，分别交l1，l3于点O，N，
若α=30°，
则∠E′D′N=60°，AE′=1，
故E′O=12，E′N=52，E′D′=5 33，
由勾股定理可知菱形的边长为： 253+1= 843=2 213．
【解析】本题主要考查了勾股定理以及全等三角形的判定与性质等知识，熟练应用全等三角形的判定方法是解题关键．
(1)利用已知得出△AED≌△DGC(AAS)，即可得出AE，以及正方形的边长；
(2)①过点B′作B′M垂直于l1于点M，进而得出Rt△AE′D′≌Rt△B′MA(HL)，求出∠B′AD′与α的数量关系即可；
②首先过点E′作ON垂直于l1分别交l1，l2于点O，N，若α=30°，则∠E′D′N=60°，可求出AE′=1，E′O，E′N，E′D′的长，进而由勾股定理可知菱形的边长．
【解答】
解：(1)由题意可得：∠1+∠3=90°，∠1+∠2=90°，
∴∠2=∠3，
在△AED和△DGC中，
∠AEF=∠DGC∠3=∠2AD=CD，
∴△AED≌△DGC(AAS)，
∴AE=GD=1，
又∵DE=1+2=3，
∴正方形ABCD的边长= 12+32= 10，
故答案为1； 10；
(2)①见答案；
②见答案．
24.【答案】(1)由题意，当x=5时，y=45，
y与x的函数关系式为y=50−x．
∴第5场销售45台产品，y与x的函数关系式为y=50−x；
(2)设基本价为b，
第1场～第20场，1≤x≤20且x为正整数，
设P与x的函数关系式为P=ax+b，
依题意得：3a+b=10.610a+b=12，
解得：a=0.2b=10，
∴P=0.2x+10．
第21场～第40场，即21≤x≤40且x为正整数时，
设P与x的函数关系式为P=mx+b，
即P=mx+10．
依题意得：14.2=m25+10，
解得m=105，
∴P=105x+10，
∴当1≤x≤20且x为正整数时，P与x之间满足的函数关系式为p=0.2x+10；当21≤x≤40且x为正整数时，P与x之间满足的函数关系式为P=105x+10；
(3)当P=13时，0.2x+10=13，
解得x=15，
或105x+10=13，
解得x=35．
故当产品销售单价为13万元时，销售场次是第15场和第35场；
(4)设每场获得的利润为w(万元)．
当1≤x≤20且x为正整数时，w=(0.2x+10−10)(50−x)=−0.2x2+10x=−0.2(x−25)2+125，
∵在对称轴的左侧，w随x的增大而增大，
∴当x=20时，w最大，最大利润为−0.2(20−25)2+125=120(万元)．
当21≤x≤40且x为正整数时，w=(108x+10−10)(50−x)=5400x−108，
∵w随x的增大而减小，
∴当x=21时，w最大，最大利润为540021−108=14917(万元)，
∵14917>120，
∴在这40场产品促销会中，第21场获得的利润最大，最大利润为14917万元．
【解析】(1)设第x场产品的销售量为y(台)，根据已知第一场销售产品49台，然后每增加一场，产品就少卖出1台，即第5场销售的台数和y与x之间满足的函数关系式；
(2)根据题意可知每场销售单价p(万元)=基本价+浮动价．设基本价为b，分两种情况：第1场一第20场，设p与x的函数关系式为p=ax+b，把(3,10.6)，(10,12)代入，利用待定系数法求出p与x的函数关系式；第21场--第40场，设p与x的函数关系式为p=mx+b，把(25,14.2)代入，利用待定系数法求出p与x的函数关系式；
(3)将p=13分别代入两个函数解析式，求出x即可；
(4)设每场获得的利润为w(万元).根据利润=(销售单价−每台成本)×销售量，分①1≤x≤20；②21≤x≤40两种情况，分别列出w与x的解析式，再根据函数的性质结合自变量的取值范围求出w的最大值，最后比较即可．
本题考查了反比例函数的应用，二次函数的应用，待定系数法求一次函数与反比例函数的解析式，一次函数与二次函数的性质以及最值的求法．对x的取值进行分类讨论，求出p与x以及w与x的函数关系式是解题的关键．
25.【答案】解：(1)作AE⊥BC于E，
根据题意得，AE=DC=8，EC=AD=6，BE=BC−EC=6，
在Rt△ABE中，由勾股定理，AB=10．
若MN//CD，则NM⊥BC，
BMBN=cosB=610=35，
即12−2tt=35，
解得：t=6013．
(2)△DMN的面积S=梯形ABCD的面积−△CDM的面积−△BMN的面积−△ADN的面积
=12×(6+12)×8−12×2t×8−12×(12−2t)×45t−12×6×(8−45t)
=45(t−132)2+715，
又M从C点运动到B点的时间为6秒，N点从B点运动到A点所需的时间为10秒
依题意，两者取小值6秒，
所以，S=45(t−132)2+715(0≤t≤6秒)．
(3)假设存在，则有MN⊥BD，
显然有∠BMN=∠BDC，tan∠BMN=tan∠BDC=BCCD=128=32，
如图②，过点N作NF⊥BC于F，
依题意可求得NF=45t，MF=12−2t−35t，
所以，NFMF=45t12−2t−35t=tan∠BMN=32，
解得：t=18047<6秒，符合题意．
所以存在t=18047，使MN⊥BD．
【解析】(1)作AE⊥BC于E，根据直角梯形的性质和勾股定理求出AB的长；根据MN//CD，则NM⊥BC，运用∠B的余弦求出时间t；
(2)根据△DMN的面积S=梯形ABCD的面积−△CDM的面积−△BMN的面积−△ADN的面积，代入数据整理即可；
(3)假设存在，经过推理求出时间t．
本题是四边形综合题，解答时用到锐角三角函数、二次函数、勾股定理、梯形的有关知识，综合性较强，需要学生熟练运用所学的知识，认真解答．
2023年山东省青岛市局属学校中考数学三模试卷
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列四个选项中的数不是分数的是( )
A. −12 B. 227 C. π2 D. 80%
2. 下列计算正确的是( )
A. −(2x2)3=8x6 B. x5÷x2=x3 C. 3x2×2x3=6x6 D. 14×40=1
3. 下面图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
4. 甲、乙两名同学本学期五次引体向上的测试成绩(个数)如图所示，下列判断正确的是( )
A. 甲的成绩比乙稳定 B. 甲的最好成绩比乙高
C. 甲的成绩的平均数比乙大 D. 甲的成绩的中位数比乙大
5. 如图，AB、AC为⊙O的切线，B和C是切点，延长OB到点D，使BD=OB，连接AD，若∠DAC=78°，则∠ADO=( )
A. 70°
B. 64°
C. 62°
D. 51°
6. 如图，将线段AB先绕原点O按逆时针方向旋转90°，再向下平移4个单位，得到线段A′B′，则点B的对应点B′的坐标是( )
A. (−3,−1) B. (−3,−3) C. (−1,−3) D. (−1,−2)
7. 如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，H是AF的中点，CH=3，那么CE的长是( )
A. 3
B. 4
C. 15
D. 17
8. 抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，a>0)经过(0,0)，(4,0)两点.则下列四个结论正确的有( )
①4a+b=0；
②5a+3b+2c>0；
③若该抛物线y=ax2+bx+c与直线y=−3有交点，则a的取值范围是a≥34；
④对于a的每一个确定值，如果一元二次方程ax2+bx+c−t=0(t为常数，t≤0)的根为整数，则t的值只有3个．
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
9. 计算：sin30°+(π−3)0−(12)2= ______ ．
10. 国家卫健委通报：截至2022年6月1日，31个省(自治区、直辖市)和新疆生产建设兵团累计报告接种新冠病毒疫苗201000万余剂次，将数据101000用科学记数法表示为______ ．
11. 某工厂四月份生产口罩50万个，防疫需要，预计第二季度生产182万个口罩的生产任务，该工厂增加设备，并提高生产效率，设该工厂五、六月份生产口罩平均每月的增长率为x，那么x=______．
12. 如图，在同一平面直角坐标系中，直线y=t(t为常数)与反比例函数y1=5x，y2=−1x的图象分别交于点A，B，点O为坐标原点，连接OA，OB，则△OAB的面积为______．
13. 如图，AC⊥BC，AC=BC=8，以BC为直径作半圆，圆心为O.以点C为圆心，BC为半径作弧AB，过点O作AC的平行线交两弧于点D、E，则阴影部分的面积是______ ．
14. 如图，正方形ABCD的边长为4，延长CB至E使EB=2，以EB为边在上方作正方形EFGB，延长FG交DC于M，连接AM，AF，H为AD的中点，连接FH分别与AB、AM交于点N、K.则下列结论：
①△ANH≌△GNF；
②FK=3NK；
③S△AFN：S△ADM=1：4；
④若点P是AM上一点，则EP+CP最小值为2 13．
其中正确的结论有______ .(填序号)
三、解答题（本大题共11小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. (本小题4.0分)
已知：△ABC．
求作：△ABC内的一个最大的菱形，使A为菱形的一个内角．
16. (本小题8.0分)
计算：
(1)化简：a2−1a2−2a+1÷a+1a−1+aa−1；
(2)解不等式组12(x+1)≤2x+22>x+33，并求出不等式组的整数解之和．
17. (本小题6.0分)
4张相同的卡片上分别写有数字0、1、−2、3，将卡片的背面朝上，洗匀后从中任意抽取1张，将卡片上的数字记录下来；再从余下的3张卡片中任意抽取1张，同样将卡片上的数字记录下来．
(1)第一次抽取的卡片上数字是非负数的概率为______；
(2)小敏设计了如下游戏规则：当第一次记录下来的数字减去第二次记录下来的数字所得结果为非负数时，甲获胜；否则，乙获胜．小敏设计的游戏规则公平吗？为什么？(请用树状图或列表等方法说明理由)
18. (本小题6.0分)
如图，A、B是两个核酸检测点，点C、D、E是附近的在同一条直线上的三个小区的物业服务中心，在A处测得点C在正北60m处，点D在北偏东45°，在B处测得点E在北偏东37°，点A在北偏西60°，AB=80m，求D、E两个小区的物业服务中心距离．(结果保留整数，参考数据： 3≈1.7,sin37°≈0.6,cos37°≈0.8,tan37°≈0.75)
19. (本小题6.0分)
党的二十大报告在思想领导上强调“巩固绿水青山就是金山银山的理念”.某学校开展了主题为“垃圾分类，绿色生活新时尚“的宣传活动.为了解学生对垃圾分类知识的掌握情况，学校从全校学生中随机抽取部分学生进行知识测试(测试满分100分，得分均为整数)，并对成绩进行整理、描述和分析．
成绩的扇形统计图与频数分布表
组别
成绩a(分)
频数(人)
各组总分数(分)
A
50≤a<60
10
552
B
60≤a<70
15
971
C
70≤a<80
m
1512
D
80≤a<90
40
3393
E
90≤a≤100
15
1422
已知成绩在60≤a<70这一组的是：60 62 64 65 66 66 67 67 67 68 69 65 61 63 67
根据以上信息，回答下列问题：
(1)填空：m= ______ ，n= ______ ．
(2)所抽取学生成绩在60≤a<70这一组的众数是______ 分.
(3)求所抽取学生的平均成绩；
(4)若该校有1400名学生，假设全部参加此次测试，请估计成绩不低于80分的人数．
20. (本小题6.0分)
如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC=BC，过点A作AD//BC交⊙O于点D，连接CD，延长DA到点E，连接CE，∠D=∠E．
(1)求证：CE是⊙O的切线；
(2)若CE=8，AE=5，求⊙O半径的长．
21. (本小题6.0分)
如图，直线y=kx+b与双曲线y=mx交于A(1,8)，B(4,n)两点，与x轴，y轴分别交于点D，C．
(1)填空：k= ______ ，b= ______ ，m= ______ ；
(2)连接OA，OB，求△AOB的面积；
(3)将直线y=kx+b向下平移t(t>0)个单位后，与双曲线y=mx有唯一交点，直接写出t的值．
22. (本小题8.0分)
如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD=CD，点E是边AC的中点，连接DE，DE的延长线与边BC相交于点F，AG//BC，交DE于点G，连接AF、CG．
(1)求证：△AEG≌△CEF；
(2)已知______ (从以下两个条件中选择一个作为已知，填写序号)，请判断四边形AFCG的形状，并证明你的结论．
条件①：AB=2EF；
条件②：AB=AC．
(注：如果选择条件①条件②分别进行解答，按第一个解答计分)
23. (本小题8.0分)
如图1，有一组平行线l1//l2//l3//l4，正方形ABCD的四个顶点分别在l1，l2，l3，l4上，EG过点D且垂直l1于点E，分别交l2，l4于点F，G，EF=DG=1，DF=2．
(1)AE=______，正方形ABCD的边长=______；
(2)如图2，将∠AEG绕点A顺时针旋转得到∠AE′D′，旋转角为α(0°<α<90°)，点D′在直线l3上，以AD′为边在E′D′左侧作菱形AB′C′D′，使B′，C′分别在直线l2，l4上．
①写出∠B′AD′与α的数量关系并给出证明；
②若α=30°，求菱形AB′C′D′的边长．
24. (本小题10.0分)
某商店为了推销一种新产品，在某地先后举行40场产品发布会，已知该产品每台成本为10万元，设第x场
产品的销售量为y(台)，已知第一场销售产品49台，然后每增加一场，产品就少卖出1台；
(1)直接写出y与x之间满足的函数关系式；
产品的每场销售单价p(万元)由基本价和浮动价两部分相加组成，其中基本价保持不变.经过统计，发现第1场一第20场浮动价与发布场次x成正比，第21场一一第40场浮动价与发布场次x成反比，得到如下数据：
x(场)
3
10
25
P(万元)
10.6
12
14.2
(2)求p与x之间满足的函数关系式
(3)当产品销售单价为13万元时，求销售场次是第几场？
(4)在这40场产品发布会中，求哪一场获得的利润最大，最大利润是多少？
25. (本小题10.0分)
如图①，四边形ABCD中，AD//BC，DC⊥BC，AD=6cm，DC=8cm，BC=12cm，动点M在CB上运动，从C点出发到B点，速度每秒2cm；动点N在BA上运动，从B点出发到A点，速度每秒1cm.两个动点同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止，设两个点的运动时间为t(秒)．
(1)当MN//CD时，求t的值？
(2)设三角形DMN的面积为S，求S与t之间的函数关系式．
(3)如图②，连接BD，是否存在某一时刻t，使MN与BD互相垂直？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A.−12是分数，故此选项不合题意；
B.227是分数，故此选项不合题意；
C.π2是无理数，不是分数，故此选项符合题意；
D.80%是分数，故此选项不合题意．
故选：C．
根据无限不循环小数，不能化成分数形式，因而不属于有理数，也不是分数，进而判断得出答案．
此题主要考查了有理数，正确掌握分数的定义是解题关键．
2.【答案】B
【解析】解：A、−(2x2)3=−8x6，故此选项错误；
B、x5÷x2=x3，故此选项正确；
C、3x2×2x3=6x5，故此选项错误；
D、14×40=14，故此选项错误．
故选：B．
直接利用单项式乘单项式以及积的乘方运算法则、零指数幂的性质分别计算得出答案．
此题主要考查了单项式乘单项式以及积的乘方运算等知识，正确掌握相关运算法则是解题关键．
3.【答案】D
【解析】解：A、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
4.【答案】A
【解析】解：甲同学的成绩从小到大排列为：7、8、8、8、9，
则其中位数为8，平均数为7+8+8+8+95=8，方差为15×[(7−8)2+3×(8−8)2+(9−8)2]=0.4；
乙同学的成绩从小到大排列为：6、7、8、9、10，
则其中位数为8，平均数为6+7+8+9+105=8，方差为15×[(6−8)2+(7−8)2+(8−8)2+(9−8)2+(10−8)2]=2；
∴甲的成绩比乙稳定，甲、乙的平均成绩和中位数均相等，甲的最好成绩比乙低，
故选：A．
分别计算出两人成绩的平均数、中位数、方差可得出答案．
本题考查了方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量：方差越大，则离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它的离散程度越小，稳定性越好；也考查了平均数、中位数．
5.【答案】B
【解析】解：连接OA，
∵AB、AC为⊙O的切线，
∴∠BAO=∠CAO，OB⊥AB，
∵BD=OB，
∴AB垂直平分OD，
∴AO=AD，△AOD为等腰三角形，
∴∠BAO=∠BAD，
∴∠CAO=∠BAO=∠BAD，
∵∠DAC=∠BAD+∠BAO+∠CAO=78°，
∴3∠BAD=78°，
∴∠BAD=26°，
∴∠ADO=90°−∠BAD=90°−26°=64°．
故选：B．
先根据切线长定理，由AB、AC为⊙O的切线得到∠BAO=∠CAO，根据切线的性质得OB⊥AB，加上BD=OB，则可判断△AOD为等腰三角形，于是根据等腰三角形的性质得∠BAO=∠BAD，即∠CAO=∠BAO=∠BAD，然后利用∠DAC=∠BAD+∠BAO+∠CAO=78°可计算出∠BAD=26°，再利用∠ADO=90°−∠BAD求解．
本题考查了切线的性质，圆的切线垂直于经过切点的半径，也考查了切线长定理．
6.【答案】A
【解析】解：如图，B′(−3,−1)．
故选：A．
画出图形，可得结论．
本题考查坐标与图形变化−旋转，平移变换等知识，解题的关键是正确作出图形，属于中考常考题型．
7.【答案】D
【解析】解：连接AC，CF，如图，
∵四边形ABCD和四边形CEFG为正方形，
∴AB=BC=1，CE=EF，∠ACD=∠GCF=45°．
∴∠ACF=45°×2=90°．
∵H是AF的中点，CH=3，
∴AF=2CH=6．
在Rt△ABC中，AC= 2BC= 2．
在Rt△ACF中，
CF= AF2−AC2= 34．
在Rt△ECF中，
∵CE2+EF2=CF2，CE=EF，
∴CE= 22CF= 22× 34= 17．
故选：D．
连接AC，CF，正方形ABCD和正方形CEFG可得∠ACD=∠FCG=45°，则∠ACF=90°.利用H是AF的中点，CH=3，根据斜边上的中线等于斜边的一半可得AF=2CH=6；由BC=1可得AC= 2，利用勾股定理可求得CF，利用正方形的性质可求CE．
本题主要考查了正方形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理．连接正方形的对角线是正方形题目中常添加的辅助线．
8.【答案】C
【解析】解：∵抛物线经过(0,0)，(4,0)，
∴抛物线对称轴为直线x=−b2a=2，
∴b=−4a，即4a+b=0，①正确．
∵a>0，
∴抛物线开口向上，
当x<0或x>4时y>0，当0
∴5a+3b+2c<0，②错误．
∵抛物线开口向上，函数值最小值为y=−4a，
∴−4a≤−3时，抛物线与直线y=−3有交点，
解得a≥43，③正确．
∵抛物线经过原点，
∴c=0，
∵b=−4a，
∴y=ax2−4ax，
将x=2代入y=ax2−4ax得y=4a−8a=−4a，
∴函数最小值为−4a，④正确．
故选：C．
由抛物线经过(0,0)，(4,0)可得抛物线对称轴为直线x=2，从而可判断①，由抛物线开口向上可得当0
9.【答案】54
【解析】解：原式=12+1−14=54．
故答案为：54．
先算乘方，再代入特殊角的函数值算加减．
本题主要考查了实数的运算，掌握乘方法则、零指数幂的意义及特殊角的函数值是解决本题的关键．
10.【答案】1.01×105
【解析】解：将数据101000用科学记数法表示为1.01×105．
故答案为：1.01×105．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
11.【答案】20%
【解析】解：设该工厂五、六月份生产这种零件平均每月的增长率为x，
根据题意得：50+50(1+x)+50(1+x)2=182．
解得x1=0.2=20%，x2=−3.2(舍去)．
故答案是：20%．
设该工厂五、六月份生产这种零件平均每月的增长率为x，根据第二季度完成182万个零件的生产任务，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
12.【答案】3
【解析】解：设线段AB与y轴交于点C，如图所示：
根据题意可知，AB⊥y轴，
∴△BOC的面积=12，△AOC的面积=52，
∴△ABO的面积=12+52=3，
故答案为：3．
设线段AB与y轴交于点C，根据反比例函数k的几何意义可得△BOC的面积=12，△AOC的面积=52，即可求出△ABO的面积．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数k的几何意义是解题的关键．
13.【答案】20π3−8 3
【解析】解：如图，连接CE．
∵AC⊥BC，AC=BC=8，以BC为直径作半圆，圆心为点O；以点C为圆心，BC为半径作弧AB，
∴∠ACB=90°，OB=OC=OD=4，BC=CE=8．
又∵OE//AC，
∴∠ACB=∠COE=90°．
在直角△OEC中，OC=4，CE=8，
∴∠CEO=30°，∠ECB=60°，OE=4 3，
∴S阴影=S扇形BCE−S扇形BOD−S△OCE=60π×82360−14π×42−12×4×4 3=20π3−8 3，
故答案为：20π3−8 3．
如图，连接CE.图中S阴影=S扇形BCE−S扇形BOD−S△OCE.根据已知条件易求得OB=OC=OD=4，BC=CE=8.∠ECB=60°，OE=4 3所以由扇形面积公式、三角形面积公式进行解答即可．
本题考查了扇形面积的计算．不规则图形的面积一定要注意分割成规则图形的面积进行计算．
14.【答案】①②③
【解析】解：∵正方形ABCD的边长为4，正方形BEFG的顶点E在CB的延长线上，BE=2，
∵AB=CB=AD=CD=4，GB=FE=FG=BE=2，∠EBG=∠BGF=90°，
∴∠GBC=∠ABC=90°，
∴点G在AB边上，
∵∠AGM=∠GAD=∠D=90°，
∴四边形AGMD是矩形，
∴DM=AG=AB−GB=4−2=2，GM=AD=4，GM//AD，
∴∠AHN=∠GFN，∠HAN=∠FGN=90°，
∵H为AD的中点，
∴HA=HD=12AD=12×4=2，
∴HA=FG，
∴△ANH≌△GNF(ASA)，
故①正确；
∵MF//AH，
∴△AHK∽△MFK，
∵HA=2，FM=FG+GM=2+4=6，
∴HKFK=HAFM=26=13，
∴FK=3HK，
∵AN=GN=12AG=12×2=1，
∴FGGN=tan∠GNF=12，
∵GMAG=tan∠GAM=24=12，
∴∠GAM=∠GNF=∠ANK，
∴NK=AK，∠KAH=90°−∠GAM=90°−∠ANK=∠KHA，
∴HK=AK=NK，
∴FK=3NK，
故②正确；
∵S△AFN=12AN⋅FG=12×1×2=1，S△ADM=12AD⋅DM=12×4×2=4，
∴S△AFN：S△ADM=1：4，
故③正确；
连接并延长EA到点R，使AR=AE，连接CR交AM于点P，作RQ⊥BC于点Q，交AD于点H，
∵AB=AD，∠ABE=∠D，BE=DM，
∴△ABE≌△ADM(SAS)，
∴∠BAE=∠DAM，
∴∠EAM=∠BAE+∠BAM=∠DAM+∠BAM=∠BAD=90°，
∵AM垂直平分ER，
∴EP=RP，
∴EP+CP=RP+CP=RC，
∴此时EP+CP的值最小，
∵∠ABE=∠RQE=90°，
∴AB//RQ，
∴BEBQ=AEAR=1，
∴BE=BQ=2，
∴CQ=CB−BQ=4−2=2，RQ=2AB=2×4=8，
∵∠CQR=90°，
∴CR= CQ2+RQ2= 22+82=2 17，
∵EP+CP最小值为2 17，而不是2 13，
故④错误，
故答案为：①②③．
由正方形的性质得AB=CB=AD=CD=4，GB=FE=FG=BE=2，∠EBG=∠BGF=90°，可证明四边形AGMD是矩形，则DM=AG=AB=2，GM=AD=4，GM//AD，即可由∠AHN=∠GFN，∠HAN=∠FGN=90°，HA=FG，证明△ANH≌△GNF，可判断①正确；由MF//AH，证明△AHK∽△MFK，则HKFK=HAFM=13，所以FK=3HK，由FGGN=tan∠GNF=12，GMAG=tan∠GAM=12，可证明∠GAM=∠GNF=∠ANK，则NK=AK，再证明HK=AK=NK，则FK=3NK，可判断②正确；可求得S△AFN=1，S△ADM=4，则S△AFN：S△ADM=1：4，可判断③正确；连接并延长EA到点R，使AR=AE，连接CR交AM于点P，作RQ⊥BC于点Q，交AD于点H，可证明△ABE≌△ADM，得∠BAE=∠DAM，可推导出∠EAM=∠BAD=90°，则AM垂直平分ER，可知此时EP+CP的值最小，可求得CQ=2，RQ=2AB=8，所以CR= CQ2+RQ2=2 17，可判断④错误，于是得到问题的答案．
此题重点考查正方形的性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形、两点之间线段最短等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
15.【答案】解：如图所示：四边形APMN即为所求．
【解析】作∠BAC的角平分线AM与BC交于点M，作AM的垂直平分线交AB，AC于点P，N，连接MP，MN，则四边形APMN即为所求．
本题考查了作图−复杂作图，菱形的性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法．
16.【答案】解：(1)原式=(a+1)(a−1)(a−1)2⋅a−1a+1+aa−1
=1+aa−1
=a−1a−1+aa−1
=2a−1a−1；
(2)12(x+1)≤2①x+22>x+33②，
解①得x≤3，
解②得x>0，
所以不等式组的解集为0
【解析】(1)先把分子分母因式分解和除法运算化为乘法运算，再约分，然后通分后进行同分母的加法运算；
(2)分别解两个不等式得到x≤3和x>0，利用大小小大中间找确定不等式组的解集为0
17.【答案】34
【解析】解：(1)第一次抽取的卡片上数字是非负数的概率为34，
故答案为：34；
(2)小敏设计的游戏规则公平，理由如下：
列表如下：
0
1
−2
3
0
1
−2
3
1
−1
−3
2
−2
2
3
5
3
−3
−2
−5
由表可知，共有12种等可能结果，其中结果为非负数的有6种结果，结果为负数的有6种结果，
∴甲获胜的概率=乙获胜的概率=612=12，
∴小敏设计的游戏规则公平．
(1)利用概率公式求解即可；
(2)利用列表法列举出所有可能结果，再利用概率公式得出甲、乙获胜的概率，即可得出答案．
本题考查的是游戏公平性的判断以及列表法求概率．判断游戏公平性就要计算每个参与者取胜的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
18.【答案】解：如图，过B作BF⊥CE于点F，过A作AG⊥BF于点G，
则四边形ACFG是矩形，
∴FG=AC，CF=AG，
由题意得：∠ACD=90°，∠CAD=45°，AC=60m，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴DC=AC=FG=60m，
在Rt△ABG中，∠ABG=60°，AB=80m，
∵sin∠ABG=AGAB=sin60°= 32，cos∠ABG=BGAB=cos60°=12，
∴CF=AG= 32AB= 32×80=40 3(m)，BG=12AB=12×80=40(m)，
∴BF=BG+FG=40+60=100(m)，
在Rt△BEF中，∠EBF=37°，tan∠EBF=EFBF=tan37°≈0.75=34，
∴EF≈34BF=34×100=75(m)，
∴CE=CF+EF≈(40 3+75)m，
∴DE=CE−DC=40 3+75−60=40 3+15≈83(m)，
答：D、E两个小区的物业服务中心距离约为83m．
【解析】过B作BF⊥CE于点F，过A作AG⊥BF于点G，证△ACD是等腰直角三角形，得DC=AC=FG=60m，再由锐角三角函数定义得CF=AG=40 3m，BG=40m，则BF=BG+FG=100m，然后由锐角三角函数定义得EF≈75m，即可解决问题．
本题考查了解直角三角形的应用−方向角问题，矩形的判定和性质等知识，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
19.【答案】20 20 67
【解析】解：(1)本次抽取的学生有：10÷10%=100(人)，
m=100−10−15−40−15=20，
n%=20÷100×100%=20%，
故答案为：20，20；
(2)所抽取学生成绩在60≤a<70这一组的众数是67分，
故答案为：67；
(3)(552+971+1512+3393+1422)÷100
=7850÷100
=78.5(分)，
即所抽取学生的平均成绩是78.5分；
(4)1400×40+15100=770(人)，
即估计成绩不低于80分的有770人．
(1)根据频数表中的数据，可以计算出本次抽取的学生人数，然后即可计算出m、n的值；
(2)写出成绩在60≤a<70这一组的众数；
(3)根据频数表中的数据，可以计算出所抽取学生的平均成绩；
(4)根据频数表中的数据，可以计算出计成绩不低于80分的人数．
本题考查扇形统计图、用样本估计总体、众数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
20.【答案】(1)证明：连接OC，如图，
∵AD//BC，
∴∠B=∠DAB．
∵∠B=∠D，
∴∠DAB=∠D．
∵∠D=∠E，
∴∠DAB=∠E，
∴AB//EC．
∵AC=BC，
∴OC⊥AB，
∴OC⊥EC．
∵OC是⊙O的半径，
∴CE是⊙O的切线；
(2)解：连接OC，OB，OC交AB于点F，如图，
由(1)知：AB//EC，
∵AD//BC，
∴四边形ABCE为平行四边形，
∴BC=AE=5，AB=EC=8．
∵OC⊥AB，
∴AF=BF=12AB=4．
∴FC= BC2−BF2=3．
设⊙O半径的长为r，则OF=OC−CF=r−3，
∵OF2+BF2=OB2，
∴(r−3)2+42=r2，
解得：r=256．
∴⊙O半径的长为256．
【解析】(1)连接OC，利用平行线的性质，同圆的半径相等，平行线的判定和圆的切线的判定定理解答即可；
(2)连接OC，OB，OC交AB于点F，利用(1)的结论判定四边形ABCE为平行四边形，利用垂径定理和勾股定理求得CF，设⊙O半径的长为r，则OF=OC−CF=r−3，利用勾股定理列出方程，解方程即可求解．
本题主要考查了圆的切线的判定，圆周角定理，垂径定理，平行线的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线．
21.【答案】−2 10 8
【解析】解：(1)∵双曲线y=mx过点A(1,8)，B(4,n)，
∴m=1×8=4n，
∴m=8，n=2，
又∵直线y=kx+b经过点A(1,8)，B(4,2)，
∴k+b=84k+b=2，
解得k=−2，b=10，
故答案为：−2，10，8；
(2)由(1)可得直线AB的关系式为y=−2x+10，
当x=0时，y=10，
∴C(0,10)，
∴OC=10，
由点E(1,0)可得OE=1，
∴EC=OE+OC=1+6=7，
∴S△AOB=S△BOC−S△AOC
=12×10×4−12×10×1
=15；
(3)设直线AB平移后的关系式为y=−2x+10−t，由于平移后与y=8x有唯一公共点，
即方程−2x+10−t=8x有唯一解，
也就是关于x的方程2x2−(10−t)x+8=0有两个相等的实数根，
∴(10−t)2−4×2×8=0，
解得t=2或18，
故t的值为2或18．
(1)根据待定系数法，将点的坐标代入函数关系式即可求出m、k、b的值；
(2)根据S△AOB=S△BOC−S△AOC，利用三角形的面积公式进行计算即可；
(3)设平移后的关系式与反比例函数关系式组成方程组求解即可．
本题考查反比例函数、一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数与反比例图象交点坐标，把点的坐标代入是求函数关系式常用的方法，将坐标转化为线段的长是正确解答的关键．
22.【答案】②
【解析】(1)证明：∵AD=CD，点E是边AC的中点，
∴AE=CE，DE⊥AC，即∠AEG=∠CEF=90°，
∵AG//CF，
∴∠AGE=∠CFE，
在△AEG和△CEF中，
∠AGE=∠CFE∠AEG=∠CEFAE=CE，
∴△AEG≌△CEF(AAS)；
(2)解：已知条件②：AB=AC，四边形AFCG是正方形，理由如下：
∵△AEG≌△CEF，
∴AG=CF，
∵AG//CF，
∴四边形AFCG是平行四边形，
∵DE⊥AC，
∴四边形AFCG是菱形，
∴AF=CF，
在Rt△ABC中，AB=AC．
∴∠ACB=45°，
∴∠FAC=∠ACB=45°，
∴∠AFC=90°，
∴四边形AFCG是正方形．
(1)可利用AAS证明△AEG≌△CEF；
(2)选择②，先证明四边形AFCG是平行四边形，再证明是菱形，通过证明∠AFC=90°可证明四边形AFCG是正方形．
本题考查的是正方形的判定方法，全等三角形的判定与性质等基础知识的灵活运用，判别一个四边形是正方形主要是根据正方形的定义及其性质．
23.【答案】解：(1)1； 10；
(2)①∠B′AD′=90°−α；
理由：过点B′作B′M垂直于l1于点M，
在Rt△AE′D′和Rt△B′MA中，
B′M=AE′AB′=AD′,
∴Rt△AE′D′≌Rt△B′MA(HL)，
∴∠D′AE′+∠B′AM=90°，
∠B′AD′+α=90°，
∴∠B′AD′=90°−α；
②过点E′作ON垂直于l1，分别交l1，l3于点O，N，
若α=30°，
则∠E′D′N=60°，AE′=1，
故E′O=12，E′N=52，E′D′=5 33，
由勾股定理可知菱形的边长为： 253+1= 843=2 213．
【解析】本题主要考查了勾股定理以及全等三角形的判定与性质等知识，熟练应用全等三角形的判定方法是解题关键．
(1)利用已知得出△AED≌△DGC(AAS)，即可得出AE，以及正方形的边长；
(2)①过点B′作B′M垂直于l1于点M，进而得出Rt△AE′D′≌Rt△B′MA(HL)，求出∠B′AD′与α的数量关系即可；
②首先过点E′作ON垂直于l1分别交l1，l2于点O，N，若α=30°，则∠E′D′N=60°，可求出AE′=1，E′O，E′N，E′D′的长，进而由勾股定理可知菱形的边长．
【解答】
解：(1)由题意可得：∠1+∠3=90°，∠1+∠2=90°，
∴∠2=∠3，
在△AED和△DGC中，
∠AEF=∠DGC∠3=∠2AD=CD，
∴△AED≌△DGC(AAS)，
∴AE=GD=1，
又∵DE=1+2=3，
∴正方形ABCD的边长= 12+32= 10，
故答案为1； 10；
(2)①见答案；
②见答案．
24.【答案】(1)由题意，当x=5时，y=45，
y与x的函数关系式为y=50−x．
∴第5场销售45台产品，y与x的函数关系式为y=50−x；
(2)设基本价为b，
第1场～第20场，1≤x≤20且x为正整数，
设P与x的函数关系式为P=ax+b，
依题意得：3a+b=10.610a+b=12，
解得：a=0.2b=10，
∴P=0.2x+10．
第21场～第40场，即21≤x≤40且x为正整数时，
设P与x的函数关系式为P=mx+b，
即P=mx+10．
依题意得：14.2=m25+10，
解得m=105，
∴P=105x+10，
∴当1≤x≤20且x为正整数时，P与x之间满足的函数关系式为p=0.2x+10；当21≤x≤40且x为正整数时，P与x之间满足的函数关系式为P=105x+10；
(3)当P=13时，0.2x+10=13，
解得x=15，
或105x+10=13，
解得x=35．
故当产品销售单价为13万元时，销售场次是第15场和第35场；
(4)设每场获得的利润为w(万元)．
当1≤x≤20且x为正整数时，w=(0.2x+10−10)(50−x)=−0.2x2+10x=−0.2(x−25)2+125，
∵在对称轴的左侧，w随x的增大而增大，
∴当x=20时，w最大，最大利润为−0.2(20−25)2+125=120(万元)．
当21≤x≤40且x为正整数时，w=(108x+10−10)(50−x)=5400x−108，
∵w随x的增大而减小，
∴当x=21时，w最大，最大利润为540021−108=14917(万元)，
∵14917>120，
∴在这40场产品促销会中，第21场获得的利润最大，最大利润为14917万元．
【解析】(1)设第x场产品的销售量为y(台)，根据已知第一场销售产品49台，然后每增加一场，产品就少卖出1台，即第5场销售的台数和y与x之间满足的函数关系式；
(2)根据题意可知每场销售单价p(万元)=基本价+浮动价．设基本价为b，分两种情况：第1场一第20场，设p与x的函数关系式为p=ax+b，把(3,10.6)，(10,12)代入，利用待定系数法求出p与x的函数关系式；第21场--第40场，设p与x的函数关系式为p=mx+b，把(25,14.2)代入，利用待定系数法求出p与x的函数关系式；
(3)将p=13分别代入两个函数解析式，求出x即可；
(4)设每场获得的利润为w(万元).根据利润=(销售单价−每台成本)×销售量，分①1≤x≤20；②21≤x≤40两种情况，分别列出w与x的解析式，再根据函数的性质结合自变量的取值范围求出w的最大值，最后比较即可．
本题考查了反比例函数的应用，二次函数的应用，待定系数法求一次函数与反比例函数的解析式，一次函数与二次函数的性质以及最值的求法．对x的取值进行分类讨论，求出p与x以及w与x的函数关系式是解题的关键．
25.【答案】解：(1)作AE⊥BC于E，
根据题意得，AE=DC=8，EC=AD=6，BE=BC−EC=6，
在Rt△ABE中，由勾股定理，AB=10．
若MN//CD，则NM⊥BC，
BMBN=cosB=610=35，
即12−2tt=35，
解得：t=6013．
(2)△DMN的面积S=梯形ABCD的面积−△CDM的面积−△BMN的面积−△ADN的面积
=12×(6+12)×8−12×2t×8−12×(12−2t)×45t−12×6×(8−45t)
=45(t−132)2+715，
又M从C点运动到B点的时间为6秒，N点从B点运动到A点所需的时间为10秒
依题意，两者取小值6秒，
所以，S=45(t−132)2+715(0≤t≤6秒)．
(3)假设存在，则有MN⊥BD，
显然有∠BMN=∠BDC，tan∠BMN=tan∠BDC=BCCD=128=32，
如图②，过点N作NF⊥BC于F，
依题意可求得NF=45t，MF=12−2t−35t，
所以，NFMF=45t12−2t−35t=tan∠BMN=32，
解得：t=18047<6秒，符合题意．
所以存在t=18047，使MN⊥BD．
【解析】(1)作AE⊥BC于E，根据直角梯形的性质和勾股定理求出AB的长；根据MN//CD，则NM⊥BC，运用∠B的余弦求出时间t；
(2)根据△DMN的面积S=梯形ABCD的面积−△CDM的面积−△BMN的面积−△ADN的面积，代入数据整理即可；
(3)假设存在，经过推理求出时间t．
本题是四边形综合题，解答时用到锐角三角函数、二次函数、勾股定理、梯形的有关知识，综合性较强，需要学生熟练运用所学的知识，认真解答．
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