人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.2 等差数列第1课时课后作业题

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.2 等差数列第1课时课后作业题，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第四章　4.2　4.2.2　第1课时

A组·素养自测
一、选择题
1．若等差数列{an}的前三项和S3＝9，且a1＝1，则a2等于(　A　)
A．3　　　　　 B．4　　　　　
C．5　　　　　 D．6
[解析]　S3＝3a1＋d＝9，
又∵a1＝1，∴d＝2，∴a2＝a1＋d＝3.
2．已知数列{an}的通项公式为an＝2－3n，则{an}的前n项和Sn＝(　A　)
A．－n2＋　　 B．－n2－
C．n2＋　　 D．n2－
[解析]　易知{an}是等差数列且a1＝－1，所以Sn＝＝＝－n2＋.故选A．
3．记Sn为等差数列{an}的前n项和．若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5＝(　B　)
A．－12　　　　　 B．－10　　　　　
C．10　　　　　 D．12
[解析]　3＝2a1＋d＋4a1＋×d⇒9a1＋9d＝6a1＋7d⇒3a1＋2d＝0⇒6＋2d＝0⇒d＝－3，
所以a5＝a1＋4d＝2＋4×(－3)＝－10.
4．记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S4＝0，a5＝5，则(　A　)
A．an＝2n－5　　 B．an＝3n－10
C．Sn＝2n2－8n　　 D．Sn＝n2－2n
[解析]　设首项为a1，公差为d.
由S4＝0，a5＝5可得
解得
所以an＝－3＋2(n－1)＝2n－5，
Sn＝n×(－3)＋×2＝n2－4n.故选A．
5．(2022·全国乙卷文)已知等比数列{an}的前3项和为168，a2－a5＝42，则a6＝(　D　)
A．14　　 B．12　　
C．6　　 D．3
[解析]　设等比数列{an}的公比为q，q≠0，
若q＝1，则a2－a5＝0，与题意矛盾，
所以q≠1，
则解得，
所以a6＝a1q5＝3.
故选D．
6．我国古代某数学著作中有这么一道题：九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠；次第每人多十七，要将第八数来言；务要分明依次第，考和休惹外人传．意思是说，有996斤棉花全部赠送给8个子女做旅费，从第1个孩子开始，以后每人依次多17斤，直到第8个孩子为止．在这个问题中，第1个孩子分到的棉花为(　C　)
A．75斤　　 B．70斤　　
C．65斤　　 D．60斤
[解析]　设第一个孩子分配到a1斤棉花，则由题意可知，八个子女分到的棉花是以a1为首项，17为公差的等差数列，得S8＝8a1＋×17＝996，解得a1＝65，故选C．
二、填空题
7．(2022·全国乙卷文)记Sn为等差数列{an}的前n项和，若2S3＝3S2＋6，则公差d＝__2__．
[解析]　由2S3＝3S2＋6可得2(a1＋a2＋a3)＝3(a1＋a2)＋6，化简得2a3＝a1＋a2＋6，即2(a1＋2d)＝2a1＋d＋6，解得d＝2.
8．等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＋a17＝20，则S18＝__180__．
[解析]　因为a1＋a18＝a2＋a17＝20，
所以S18＝＝＝180.
三、解答题
9．若等差数列{an}的公差d<0，且a2·a4＝12，a2＋a4＝8.求：
(1)数列{an}的首项a1和公差d；
(2)数列{an}的前10项和S10的值．
[解析]　(1)根据题意，得
，解得.
(2)S10＝10a1＋d＝10×8＋×(－2)＝－10.
10．等差数列{an}中，已知a1＋a2＝5，S4＝14.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求{an}的前n项和Sn.
[解析]　(1)设等差数列{an}的公差为d，
则由a1＋a2＝5，S4＝14得，
即
解得a1＝2，d＝1，
所以an＝2＋(n－1)＝n＋1.
(2)由(1)可知，Sn＝a1＋a2＋…＋an
＝na1＋＝.
B组·素养提升
一、选择题
1．等差数列{an}的前n项和记为Sn，若a2＋a4＋a15的值为一个确定的常数，则下列各数中也是常数的是(　C　)
A．S7　　 B．S8　　
C．S13　　 D．S15
[解析]　∵a2＋a4＋a15＝3a1＋18d＝3(a1＋6d)＝3a7为常数，∴S13＝＝13a7为常数．
2．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则等于(　A　)
A．　　 B．
C．　　 D．
[解析]　据等差数列前n项和性质可知：S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9仍成等差数列．
设S3＝k，则S6＝3k，S6－S3＝2k，
∴S9－S6＝3k，S12－S9＝4k，
∴S9＝S6＋3k＝6k，S12＝S9＋4k＝10k，
∴＝＝.
3．(多选题)设Sn是公差为d(d≠0)的无穷等差数列{an}的前n项和，则下列结论中正确的是(　ABD　)
A．若d<0，则数列{Sn}有最大项
B．若数列{Sn}有最大项，则d<0
C．若数列{Sn}是递增数列，则对任意n∈N＋，均有Sn>0
D．若对任意n∈N＋，均有Sn>0，则数列{Sn}是递增数列
[解析]　由Sn＝n2＋n，根据二次函数的图像与性质，可知当d<0时数列{Sn}有最大项，选项A，B正确；如果数列{Sn}是递增数列，那么d>0，但对任意的n∈N＋，Sn>0不一定成立，选项C错误；若对任意n∈N＋，均有Sn>0，对应的抛物线开向上，所以d>0，故数列{Sn}是递增数列，选项D正确．
4．(多选题)设等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d.已知a3＝12，S12>0，a7<0，则下列说法正确的是(　ABC　)
A．a6>0
B．－ C．Sn<0时，n的最小值为13
D．数列中的最小项为第六项
[解析]　根据题意，等差数列{an}中，S12>0，即S12＝＝＝6(a6＋a7)>0，
又a7<0，则a6>0，A正确；
已知a3＝12，且a6>0，a7<0，a6＋a7>0，
则有，
解可得－ 根据题意，S13＝＝13a7<0，
而S12>0，故Sn<0时，n的最小值为13，C正确；
数列中，由上面分析可知d<0，所以数列{an}是递减的等差数列，当1≤n≤6时，an>0；当n≥7时，an<0；当1≤n≤12时，Sn>0；当n≥13时，Sn<0，所以当1≤n≤6时，>0；当7≤n≤12时，<0；当n≥13时，>0，故数列中的最小项不是第六项，D错误．
二、填空题
5．若一个等差数列前3项的和为34，最后三项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有__13__项．
[解析]　设这个等差数列为{an}，由题意得
，
①＋②得3(a1＋an)＝180，∴a1＋an＝60.
∴Sn＝＝30n＝390，∴n＝13.
6．在等差数列{an}中，a＋a＋2a3a8＝9，且an<0，则S10＝__－15__．
[解析]　由a＋a＋2a3a8＝9得(a3＋a8)2＝9，
∵an<0，∴a3＋a8＝－3.
∴S10＝＝＝＝－15.
三、解答题
7．已知{an}是等差数列，其中a2＝22，a8＝4.
(1)求{an}的通项公式；
(2)设数列{an}的前n项和为Sn，求Sn的最大值．
[解析]　(1)∵a8＝a2＋6d，4＝22＋6d，∴d＝－3，a1＝25，∴an＝28－3n.
(2)∵an＝28－3n，令28－3n<0，得n>9，
∴当n≤9时，an>0；当n≥10时，an<0，
故当n＝9时，Sn最大，且最大值为S9＝25×9＋×9×8×(－3)＝117.
8．设{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，已知S7＝7，S15＝75，Tn为数列的前n项和，求数列的前n项和Tn.
[解析]　设等差数列{an}的公差为d，则
Sn＝na1＋n(n－1)d.
∵S7＝7，S15＝75，∴，
即，解得a1＝－2，d＝1.
∴＝a1＋(n－1)d＝－2＋(n－1)，
∵－＝，
∴数列是等差数列，其首项为－2，公差为，
∴Tn＝n2－n.