高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.3 等比数列第1课时习题

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.3 等比数列第1课时习题，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第四章　4.3　4.3.2　第1课时

A组·素养自测
一、选择题
1．(2022·北京市第十三中学高二检测)设Sn为等比数列{an}的前n项和，S3＝3a3，则公比q＝(　C　)
A．－　　 B．
C．1或－　　 D．－1或
[解析]　设等比数列{an}的公比为q，由S3＝3a3，得a1＋a2＋a3＝3a3⇒a1＋a2＝2a3，所以a1＋a1q＝2a1q2⇒2q2－q－1＝0，解得q＝1或q＝－.故选C．
2．在各项都为正数的等比数列{an}中，首项a1＝3，前3项和为21，则a3＋a4＋a5等于(　C　)
A．33　　 B．72
C．84　　 D．189
[解析]　设等比数列公比为q.
∵a1＋a2＋a3＝21且a1＝3，
∴a1(1＋q＋q2)＝21，
∴1＋q＋q2＝7，∴q2＋q－6＝0，
∴q＝2或q＝－3(舍)，
又∵a3＋a4＋a5＝a1q2(1＋q＋q2)，
∴a3＋a4＋a5＝3×4×7＝84.
3．已知{an}是由正数组成的等比数列，Sn表示{an}的前n项和．若a1＝3，a2a4＝144，则S10的值是(　D　)
A．511　　　　　　　　　 B．1 023
C．1 533　　 D．3 069
[解析]　由题意知a2a4＝144，即a1q·a1q3＝144，
所以aq4＝144，
∴q4＝16，∴q＝2，∴S10＝＝3(210－1)＝3 069.
4．等比数列{an}的公比q<0，已知a2＝1，an＋2＝an＋1＋2an，则{an}的前2 022项和等于(　D　)
A．2 022　　 B．－1
C．1　　 D．0
[解析]　由an＋2＝an＋1＋2an，得qn＋1＝qn＋2qn－1，即q2－q－2＝0.又q<0，
解得q＝－1.又a2＝1，
∴a1＝－1.
∴S2 020＝＝0.
5．某人计划2023年出国旅游，从2016年起每年5月10日到银行存入a元定期储蓄，若年利率为p，且保持不变，并约定每年到期存款均自动转为新一年的定期，到2023年5月10日将所有存款和利息全部取回，则可取回的钱数(元)为(　D　)
A．a(1＋p)7
B．a(1＋p)8
C．[(1＋p)7－(1＋p)]
D．[(1＋p)8－(1＋p)]
[解析]　设所有存款和利息的总和为S元，由题意知第一年存入的a元到2023年本息和为a(1＋p)7元，以此类推，2022年存入的a元到2023年本息和为a(1＋p)元，所以S＝a(1＋p)7＋a(1＋p)6＋a(1＋p)5＋…＋a(1＋p)
＝a[(1＋p)7＋(1＋p)6＋(1＋p)5＋…＋(1＋p)]
＝a·＝[(1＋p)8－(1＋p)]．故选D．
6．已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，则a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝(　C　)
A．16(1－4－n)　　 B．16(1－2－n)
C．(1－4－n)　　 D．(1－2－n)
[解析]　∵＝q3＝，∴q＝.
∴an·an＋1＝4··4·
＝25－2n，
故a1a2＋a2a3＋a3a4＋…＋anan＋1
＝23＋21＋2－1＋2－3＋…＋25－2n
＝＝(1－4－n)．
二、填空题
7．设Sn为等比数列{an}的前n项和，且Sn＝3n＋1－A，则A＝__3__．
[解析]　∵Sn为等比数列{an}的前n项和，且Sn＝3n＋1－A，∴a1＝S1＝32－A＝9－A，a2＝S2－S1＝(33－A)－(9－A)＝18，a3＝S3－S2＝(34－A)－(33－A)＝54.
∵a1，a2，a3成等比数列，∴a＝a1a3，
∴182＝(9－A)×54，解得A＝3.
故答案为3.
8．(2022·山东青岛高三模拟)设Sn为公比q≠1的等比数列{an}的前n项和，且3a1，2a2，a3成等差数列，则q＝__3__，＝__10__．
[解析]　设等比数列{an}的通项公式an＝a1qn－1.因为3a1，2a2，a3成等差数列，所以2×2a2＝3a1＋a3，即4a1q＝3a1＋a1q2.又因为等比数列中a1≠0，则4q＝3＋q2，解得q＝1或q＝3.又因为q≠1，所以q＝3.所以＝＝＝1＋q2＝1＋32＝10.
三、解答题
9．在等比数列{an}中，
(1)若Sn＝189，q＝2，an＝96，求a1和n；
(2)若a1＋a3＝10，a4＋a6＝，求a4和S5；
(3)若q＝2，S4＝1，求S8.
[解析]　(1)解法一：由Sn＝，an＝a1qn－1以及已知条件得，
∴a1·2n＝192，∴2n＝.
∴189＝a1(2n－1)＝a1，∴a1＝3.
又∵2n－1＝＝32，∴n＝6.
解法二：由公式Sn＝及条件得
189＝，解得a1＝3，又由an＝a1·qn－1，
得96＝3·2n－1，解得n＝6.
(2)设公比为q，由通项公式及已知条件得
，
即
∵a1≠0，1＋q2≠0，∴②÷①得q3＝.
即q＝，∴a1＝8.∴a4＝a1q3＝8×＝1，
S5＝＝＝.
(3)设首项为a1，
∵q＝2，S4＝1，∴＝1，即a1＝.
∴S8＝＝＝17.
10．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的前n项和为Tn，a1＝－1，b1＝1，a2＋b2＝2.
(1)若a3＋b3＝5，求{bn}的通项公式；
(2)若T3＝21，求S3.
[解析]　设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，
则an＝－1＋(n－1)·d，bn＝qn－1.
由a2＋b2＝2得d＋q＝3.①
(1)由a3＋b3＝5得2d＋q2＝6.②
联立①和②解得(舍去)，.
因此{bn}的通项公式为bn＝2n－1.
(2)由b1＝1，T3＝21得q2＋q－20＝0.
解得q＝－5或q＝4.
当q＝－5时，由①得d＝8，则S3＝21.
当q＝4时，由①得d＝－1，则S3＝－6.
B组·素养提升
一、选择题
1．设Sn是等比数列{an}的前n项和，＝，则等于(　B　)
A．　　 B．
C．　　 D．
[解析]　由数列{an}是等比数列得，
S4，S8－S4，S12－S8仍成等比数列，
由＝，S8＝3S4，
所以S8－S4＝2S4，S12－S8＝4S4，S12＝7S4，
∴＝＝.
2．设{an}是等比数列，Sn是{an}的前n项和，对任意正整数n，有an＋2an＋1＋an＋2＝0，又a1＝2，则S101的值为(　A　)
A．2　　 B．200
C．－2　　 D．0
[解析]　设公比为q，∵an＋2an＋1＋an＋2＝0，∴a1＋2a2＋a3＝0，∴a1＋2a1q＋a1q2＝0，∴q2＋2q＋1＝0，∴q＝－1，又∵a1＝2，
∴S101＝＝＝2.
3．如图，画一个边长为2的正三角形，再将这个正三角形各边的中点相连得到第二个正三角形，依此类推，一共画了5个正三角形．那么这五个正三角形的面积之和等于(　D　)

A．2　　 B．
C．　　 D．
[解析]　此五个正三角形的边长an形成等比数列：2，1，，，.
∴这五个正三角形的面积之和＝×＋＋＝×＝.故选D．
4．(多选题)已知等比数列{an}中，满足a1＝1，公比q＝－2，则(　BC　)
A．数列{2an＋an＋1}是等比数列
B．数列{an＋1－an}是等比数列
C．数列{anan＋1}是等比数列
D．数列{log2|an|}是递减数列
[解析]　因为等比数列{an}中，满足a1＝1，
公比q＝－2，
所以an＝1×(－2)n－1＝(－2)n－1.
由此可得2an＋an＋1＝2·(－2)n－1＋(－2)n＝0，A错误；an＋1－an＝(－2)n－(－2)n－1＝－3·(－2)n－1，故数列{an＋1－an}是等比数列，B正确；anan＋1＝(－2)n－1(－2)n＝(－2)2n－1，
故数列{anan＋1}是等比数列，C正确；log2|an|＝log22n－1＝n－1，故数列{log2|an|}是递增数列，D错误．
二、填空题
5．设Sn为等比数列{an}的前n项和．若a1＝，a＝a6，则S5＝____．
[解析]　由a＝a6得(a1q3)2＝a1q5，
整理得q＝＝3.
∴S5＝＝.
6．将正偶数集合{2，4，6，8，…，2n，…}中的数从小到大按第n组有2n个数进行分组如下：
　　　
则2 018位于第__9__组．
[解析]　前n组共有2＋4＋8＋…＋2n＝＝2n＋1－2个数．由an＝2n＝2 018得n＝1 009，
∴2 018为第1 009个偶数．
∵29＝512，210＝1 024，
∴前8组共有510个数，前9组共有1 022个数，因此2 018位于第9组．
三、解答题
7．已知{an}是公差为3的等差数列，数列{bn}满足b1＝1，b2＝，anbn＋1＋bn＋1＝nbn.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求{bn}的前n项和．
[解析]　(1)由已知，a1b2＋b2＝b1，b1＝1，b2＝，
得a1＝2.
所以数列{an}是首项为2，公差为3的等差数列．
通项公式为an＝3n－1.
(2)由(1)和anbn＋1＋bn＋1＝nbn，得bn＋1＝，因此数列{bn}是首项为1，公比为的等比数列．记{bn}的前n项和为Sn，则
Sn＝＝－.
8．已知数列{an}的前n项和Sn＝1＋λan.其中λ≠0.
(1)证明{an}是等比数列，并求其通项公式；
(2)若S5＝，求λ.
[解析]　(1)由题意得a1＝S1＝1＋λa1，
故λ≠1，a1＝，a1≠0.
由Sn＝1＋λan，Sn＋1＝1＋λan＋1得an＋1＝λan＋1－λan，即an＋1(λ－1)＝λan.
由a1≠0，λ≠0且λ≠1得an≠0，
所以＝.
因此{an}是首项为，公比为的等比数列，
于是an＝.
(2)由(1)得Sn＝1－.
由S5＝得1－＝，即＝.
解得λ＝－1.