高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.2 导数的运算课时作业

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.2 导数的运算课时作业，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第五章　5.2　5.2.2　5.2.3

A组·素养自测
一、选择题
1．函数y＝(x－a)(x－b)在x＝a处的导数为(　D　)
A．ab　　　　　　　　　　　 B．－a(a－b)
C．0　　 D．a－b
[解析]　∵f(x)＝(x－a)(x－b)＝x2－(a＋b)x＋ab
∴f′(x)＝2x－(a＋b)，
∴f′(a)＝2a－(a＋b)＝a－b，故应选D．
2．已知f ′(x)为函数f(x)＝ax－bln x的导函数，且满足f ′(1)＝0，f ′(－1)＝2，则f ′(2)＝(　C　)
A．1　　　　　　 B．－　　　　　　
C．　　　　　　 D．
[解析]　由f ′(x)＝a－，得f ′(1)＝a－b＝0，
f ′(－1)＝a＋b＝2，得a＝b＝1，
得f ′(x)＝1－，得f ′(2)＝.
3．已知函数f(x)＝ax2＋2bx的图象在点(1，f(1))处的切线方程为y＝4x＋3，则b－a＝(　C　)
A．－8　　 B．20　　
C．8　　 D．－2
[解析]　函数f (x)＝ax2＋2bx的导数为
f ′(x)＝2ax＋2b，
可得函数的图象在点(1，f (1))处的切线斜率为f ′(1)＝2a＋2b＝4，即a＋b＝2，
由切线方程为y＝4x＋3，
可得f(1)＝a＋2b＝4＋3＝7，
所以a＝－3，b＝5，所以b－a＝8.
4．如图，y＝f(x)是可导函数，直线l：y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝(　B　)

A．－1　　 B．0
C．2　　 D．4
[解析]　由已知得：3k＋2＝1，∴k＝－，又g(x)＝xf(x)，f′(3)＝－，∴g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，
∴g′(3)＝f(3)＋3f′(3)＝1＋3×＝0.
5．函数f(x)＝ex＋xsin x－7x在x＝0处的导数等于(　A　)
A．－6　　 B．6　　
C．－4　　 D．－5
[解析]　f ′(x)＝(ex)′＋(xsin x)′－(7x)′
＝ex＋sin x＋xcos x－7，
所以f ′(0)＝e0－7＝－6.
6．已知函数f(x)＝f ′(－2)ex－x2，则f ′(－2)＝(　D　)
A．　　 B．
C．　　 D．
[解析]　f ′(x)＝f ′(－2)ex－2x.
∴f ′(－2)＝f ′(－2)·e－2－2·(－2)；
解得f ′(－2)＝.
故选D．
二、填空题
7．已知f(x)＝x3＋3xf ′(0)，则f ′(1)＝__1__．
[解析]　根据题意，f(x)＝x3＋3xf ′(0)，
则其导数f ′(x)＝x2＋3f ′(0)，
令x＝0可得： f ′(0)＝3f ′(0)，
解可得f ′(0)＝0，
则f ′(x)＝x2，
则有f ′(1)＝1.
故答案为1.
8．若函数f(x)＝eax＋ln(x＋1), f ′(0)＝4，则a＝__3__．
[解析]　由f(x)＝eax＋ln(x＋1)，
得f ′(x)＝aeax＋，
∵f ′(0)＝4，∴f ′(0)＝a＋1＝4，
∴a＝3.
三、解答题
9．求下列函数的导数：
(1)y＝xex；
(2)y＝；
(3)y＝xsin x－；
(4)y＝cos2.
[解析]　(1)y′＝x′·ex＋x·(ex)′＝ex＋xex＝(1＋x)ex.
(2)y′＝′
＝
＝＝.
(3)y′＝(xsin x)′－′
＝sin x＋xcos x－.
(4)y＝cos2＝＝＋cos x，
∴y′＝(－sin x)＝－sin x.
10．求下列函数的导数：
(1)y＝x；
(2)y＝(＋1)；
(3)y＝sin4＋cos4；
(4)y＝＋ .
[解析]　(1)∵y＝x＝x3＋1＋，
∴y′＝3x2－.
(2)∵y＝(＋1)＝－x＋x－，
∴y′＝－x－－x－＝－.
(3)∵y＝sin4＋cos4
＝－2sin2cos2
＝1－sin2＝1－·＝＋cos x，
∴y′＝－sin x.
(4)∵y＝＋＝＋
＝＝－2，
∴y′＝′＝＝.
B组·素养提升
一、选择题
1．已知f(x)＝x2＋cos x，f ′(x)为f(x)的导函数，则f ′(x)的图象是(　A　)

[解析]　函数f(x)＝x2＋cos x，
f ′(x)＝－sin x，f ′(－x)＝－sin(－x)＝－f ′(x)，
所以f ′(x)为奇函数，排除BD，
当x＝时，f ′＝－<0，排除C，故选A．
2．曲线y＝－在点M处的切线的斜率为(　B　)
A．－　　 B．　　
C．－　　 D．
[解析]　y′＝
＝
所以y′|x＝＝＝.
3．(多选题)在下列函数中，求导正确的是(　BC　)
A．f(x)＝ln 2，f ′(x)＝
B．f(x)＝cos 2x，f ′(x)＝－2sin 2x
C．f(x)＝，f ′(x)＝
D．f(x)＝(x2＋2x)ln x，f ′(x)＝2(x＋1)ln x
[解析]　对于A，f(x)＝ln 2，f ′(x)＝0，则A错误；对于B，f(x)＝cos 2x，f ′(x)＝－2sin 2x，则B正确；对于C，f(x)＝，f ′(x)＝，则C正确；对于D，f(x)＝(x2＋2x)ln x，f ′(x)＝2(x＋1)ln x＋x＋2，则D错误．
4．(多选题)已知函数f(x)＝x2＋f(0)·x－f ′(0)·cos x＋2，其导函数为f ′(x)，则(　BC　)
A．f(0)＝－1　　 B．f ′(0)＝1
C．f(0)＝1　　 D．f ′(0)＝－1
[解析]　∵f(x)＝x2＋f(0)·x－f ′(0)·cos x＋2，∴f(0)＝－f ′(0)＋2，∵f ′(x)＝2x＋f(0)＋f ′(0)sinx，∴f ′(0)＝f(0)，∴f ′(0)＝f(0)＝1.故选BC．
二、填空题
5．曲线y＝2ln(x＋1)在点(0，0)处的切线方程为__y＝2x__．
[解析]　y′＝，k＝＝2，所以切线方程为y－0＝2(x－0), y＝2x.
6．若f(x)＝x2－2x－4ln x，则f ′(x)＝__2x－2－__，f ′(x)>0的解集为__{x|x>2}__．
[解析]　由f(x)＝x2－2x－4ln x，得函数定义域为(0，＋∞)，且f ′(x)＝2x－2－＝＝>0，解得x>2，故f ′(x)>0的解集为{x|x>2}．
三、解答题
7．已知函数f(x)是关于x的二次函数，f ′(x)是f(x)的导函数，对一切x∈R，都有x2f ′(x)－(2x－1)f(x)＝1成立，求函数f(x)的解析式．
[解析]　设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
则f ′(x)＝2ax＋b.
所以x2f ′(x)－(2x－1)f(x)＝x2(2ax＋b)－(2x－1)·(ax2＋bx＋c)
＝(a－b)x2＋(b－2c)x＋c＝1，
所以解得
所以f(x)＝2x2＋2x＋1.
8．已知f(x)＝x3＋bx2＋cx(b，c∈R)，f′(1)＝0，x∈[－1，3]时，曲线y＝f(x)的切线斜率的最小值为－1，求b，c的值．
[解析]　f′(x)＝x2＋2bx＋c＝(x＋b)2＋c－b2，
且f′(1)＝1＋2b＋c＝0.①
(1)若－b≤－1，
即b≥1，则f′(x)在[－1，3]上是增函数，
所以f′(x)min＝f′(－1)＝－1，
即1－2b＋c＝－1.②
由①②解得b＝，不满足b≥1，故舍去．
(2)若－1<－b<3，即－3 则f′(x)min＝f′(－b)＝－1，
即b2－2b2＋c＝－1.③
由①③解得b＝－2，c＝3或b＝0，c＝－1.
(3)若－b≥3，即b≤－3，则f′(x)在[－1，3]上是减函数，
所以f′(x)min＝f′(3)＝－1，
即9＋6b＋c＝－1.④
由①④解得b＝－，不满足b≤－3，故舍去．
综上可知，b＝－2，c＝3或b＝0，c＝－1.