数学人教A版 (2019)5.3 导数在研究函数中的应用第1课时练习题

这是一份数学人教A版 (2019)5.3 导数在研究函数中的应用第1课时练习题，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第五章　5.3　5.3.2　第1课时

A组·素养自测
一、选择题
1．已知函数y＝f(x)在定义域内可导，则函数y＝f(x)在某点处的导数值为0是函数y＝f(x)在这点处取得极值的(　B　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．非充分非必要条件
[解析]　根据导数的性质可知，若函数y＝f(x)在这点处取得极值，则f′(x)＝0，即必要性成立；反之不一定成立，如函数f(x)＝x3在R上是增函数，f′(x)＝3x2，则f′(0)＝0，但在x＝0处函数不是极值，即充分性不成立．
故函数y＝f(x)在某点处的导数值为0是函数y＝f(x)在这点处取得极值的必要不充分条件，故选B．
2．函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)(　C　)

A．无极大值点，有四个极小值点
B．有三个极大值点，两个极小值点
C．有两个极大值点，两个极小值点
D．有四个极大值点，无极小值点
[解析]　f′(x)的符号由正变负，则f(x0)是极大值，f′(x)的符号由负变正，则f(x0)是极小值．由图象易知有两个极大值点，两个极小值点．
3．已知函数y＝f(x)，x∈R有唯一的极值，且x＝1是f(x)的极小值点，则(　C　)
A．当x∈(－∞，1)时，f ′(x)≥0；当x∈(1，＋∞)时，f ′(x)≤0
B．当x∈(－∞，1)时，f ′(x)≥0；当x∈(1，＋∞)时，f ′(x)≥0
C．当x∈(－∞，1)时，f ′(x)≤0；当x∈(1，＋∞)时，f ′(x)≥0
D．当x∈(－∞，1)时，f ′(x)≤0；当x∈(1，＋∞)时，f ′(x)≤0
[解析]　由极小值点的定义，知极小值点左右两侧的导函数是左负右正，又函数f(x)，x∈R有唯一的极值，故当x∈(－∞，1)时，f ′(x)≤0；当x∈(1，＋∞)时，f ′(x)≥0.
4．已知a为函数f(x)＝x3－12x的极小值点，则a＝(　D　)
A．－4　　　 B．－2　　　
C．4　　　 D．2
[解析]　由题意得f ′(x)＝3x2－12，由f ′(x)＝0得x＝±2，当x∈(－∞，－2)时，f ′(x)>0，函数f(x)单调递增，当x∈(－2，2)时，f ′(x)<0，函数f(x)单调递减，当x∈(2，＋∞)时，f ′(x)>0，函数f(x)单调递增，所以a＝2.
5．已知函数f(x)＝x(x－c)2，在x＝2处取得极大值，则实数c的值是(　D　)
A．　　 B．2
C．2或6　　 D．6
[解析]　函数f(x)＝x(x－c)2的导数为f ′(x)＝(x－c)2＋2x(x－c)＝(x－c)(3x－c),
由f(x)在x＝2处有极大值，即有f ′(2)＝0，即(c－2)(c－6)＝0，
解得c＝2或6, 若c＝2时，f ′(x)＝0，可得x＝2或，
由f(x)在x＝2处导数左负右正，取得极小值，
若c＝6，f ′(x)＝0 ，可得x＝6或2 ，
由f(x)在x＝2处导数左正右负，取得极大值.
综上可得c＝6.
6．函数y＝x3－2ax＋a在(0，1)内有极小值，则实数a的取值范围是(　D　)
A．(0，3)　　　　　　　 B．(－∞，3)
C．(0，＋∞)　　 D．
[解析]　y′＝3x2－2a，因为函数在(0，1)内有极小值，
所以y′＝3x2－2a＝0在(0，1)内必有实数解，
记f(x)＝3x2－2a，如图

所以解得0 二、填空题
7．已知函数f(x)＝x3－x2＋cx＋d有极值，则c的取值范围为__c<__．
[解析]　∵f ′(x)＝x2－x＋c且f(x)有极值，
∴f ′(x)＝0有不等的实数根，
即Δ＝1－4c>0，解得c<.
8．若x＝1是函数f(x)＝x3＋的一个极值点，则实数a＝__3__．
[解析]　∵函数f(x)＝x3＋，
∴f ′(x)＝3x2－，
∵x＝1是函数f(x)的一个极值点，
∴f ′(1)＝0，即3－a＝0，∴a＝3.经验证a＝3符合题意．故答案为3.
三、解答题
9．设函数f(x)＝2x3＋3x2＋ax＋b，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝－12x＋1.
(1)求f(x)的解析式；
(2)求f(x)的极值．
[解析]　(1)∵f(x)＝2x3＋3x2＋ax＋b，
∴f ′(x)＝6x2＋6x＋a，
曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝－12x＋1，
所以f(0)＝b＝1，f ′(0)＝a＝－12，
∴f(x)＝2x3＋3x2－12x＋1.
(2)由(1)得f ′(x)＝6x2＋6x－12＝6(x＋2)(x－1)，
令f ′(x)＝0，x＝－2或x＝1，
f ′(x)＞0，x＜－2或x＞1，f ′(x)＜0，－2＜x＜1，
∴f(x)递增区间是(－∞，－2)，(1，＋∞)，递减区间是(－2，1)，
∴f(x)的极大值为f(－2)＝21，极小值为f(1)＝－6.
10．设函数f(x)＝(x2＋3x＋1)ex.
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)求函数f(x)的极值．
[解析]　(1)∵f ′(x)＝(2x＋3)ex＋(x2＋3x＋1)ex＝(x2＋5x＋4)ex＝(x＋1)(x＋4)ex，
∴当x∈(－∞，－4)∪(－1，＋∞)时，f ′(x)>0；
当x∈(－4，－1)时，f ′(x)<0，∴f(x)的单调递增区间为(－∞，－4)和(－1，＋∞)，单调递减区间为(－4，－1)．
(2)由(1)可知f(x)在x＝－4处取得极大值，在x＝－1处取得极小值，∴f(x)的极大值为f(－4)＝5e－4＝，极小值为f(－1)＝－e－1＝－.
B组·素养提升
一、选择题
1．已知函数f(x)＝，则该函数的极小值为(　A　)
A．e　　 B．3　　
C．0　　 D．1
[解析]　根据题意f ′(x)＝，令f ′(x)＝0，∴x＝0或－1，当x<－1或x>0时，f ′(x)<0，当－10，所以f(x)极小值＝f(－1)＝e，f(x)极大值＝f(0)＝3，所以极小值为e.故选A．
2．在等比数列{an}中，a3，a7是函数f(x)＝x3＋4x2＋9x－1的极值点，则a5＝(　B　)
A．－4　　 B．－3　　
C．3　　 D．4
[解析]　因为f(x)＝x3＋4x2＋9x－1，
所以由f ′(x)＝x2＋8x＋9＝0可知a3·a7＝9，a3＋a7＝－8，
因为等比数列中a＝a3·a7且a5<0，所以a5＝－3.
3．已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图象与x轴切于点(1，0)，则f(x)的极值为(　A　)
A．极大值为，极小值为0
B．极大值为0，极小值为
C．极小值为－，极大值为0
D．极大值为－，极小值为0
[解析]　f′(x)＝3x2－2px－q，
由得
∴f′(x)＝3x2－4x＋1.
令f′(x)＝0得x＝或x＝1，
易得x＝时，f(x)有极大值，x＝1时，f(x)有极小值0.
4．(多选题)对于函数f(x)＝x3－3x2，给出下列结论中正确的是(　CD　)
A．f(x)是增函数，无极值
B．f(x)是减函数，无极值
C．f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，(2，＋∞)，单调递减区间为(0，2)
D．f(0)＝0是极大值，f(2)＝－4是极小值
[解析]　f ′(x)＝3x2－6x.令f ′(x)＝3x2－6x>0，得x>2或x<0；令f ′(x)＝3x2－6x<0，得0 二、填空题
5．已知f(x)＝x3－x2＋2x＋1，x1，x2是f(x)的两个极值点，且0 [解析]　f′(x)＝x2－ax＋2，
∴x1，x2是f′(x)＝0的两个根，
由0 解得3 6．已知函数f(x)＝x(ln x－ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是____．
[解析]　由题知，x>0，f ′(x)＝ln x＋1－2ax，由于函数f(x)有两个极值点，则f ′(x)＝0有两个不等的正根，即函数y＝ln x＋1与y＝2ax的图象有两个不同的交点(x>0)，则a>0；设函数y＝ln x＋1上任一点(x0，1＋ln x0)处的切线为l，则kl＝y′＝，当l过坐标原点时，＝⇒x0＝1，令2a＝1⇒a＝，∴0 三、解答题
7．已知函数f(x)＝x3－3ax－1，a≠0.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)在x＝－1处取得极大值，直线y＝m与y＝f(x)的图象有三个不同的交点，求m的取值范围．
[解析]　(1)f′(x)＝3x2－3a＝3(x2－a)，
当a<0时，对x∈R，有f′(x)>0，
∴当a<0时，f(x)的单调增区间为(－∞，＋∞)．
当a>0时，由f′(x)>0解得x<－或x>；
由f′(x)<0解得－ ∴当a>0时，f(x)的单调增区间为(－∞，－)，
(，＋∞)；f(x)的单调减区间为(－，)．
(2)∵f(x)在x＝－1处取得极大值，
∴f′(－1)＝3×(－1)2－3a＝0，∴a＝1.
∴f(x)＝x3－3x－1，f′(x)＝3x2－3，
由f′(x)＝0解得x1＝－1，x2＝1.
由(1)中f(x)的单调性可知，f(x)在x＝－1处取得极大值f(－1)＝1，
在x＝1处取得极小值f(1)＝－3.
∵直线y＝m与函数y＝f(x)的图象有三个不同的交点，又f(－3)＝－19<－3，f(3)＝17>1，
结合f(x)的单调性可知，m的取值范围是(－3，1)．
8．已知函数f(x)＝(a，b∈R且a≠0，e为自然对数的底数)．若曲线f(x)在点(e，f(e))处的切线斜率为0，且f(x)有极小值，求实数a的取值范围．
[解析]　f(x)＝，(x＞0)，
∴f ′(x)＝，
由f ′(e)＝0，则b＝0，则f ′(x)＝，
当a＞0时，f ′(x)在(0，e)内大于0，在(e，＋∞)内小于0，
∴f(x)在(0，e)内为增函数，在(e，＋∞)为减函数，
∴f(x)有极大值无极小值；
当a＜0时，f(x)在(0，e)为减函数，在(e，＋∞)为增函数，
∴f(x)有极小值无极大值；
∴实数a的取值范围(－∞，0)．