高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.3 导数在研究函数中的应用第2课时练习题

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.3 导数在研究函数中的应用第2课时练习题，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第五章　5.3　5.3.2　第2课时

A组·素养自测
一、选择题
1．函数y＝2x3－3x2－12x＋5在[－2，1]上的最大值、最小值分别是(　A　)
A．12；－8　　 B．1；－8
C．12；－15　　 D．5；－16
[解析]　y′＝6x2－6x－12，由y′＝0⇒x＝－1或x＝2(舍去)．x＝－2时y＝1；x＝－1时y＝12；x＝1时y＝－8.
∴ymax＝12，ymin＝－8.故选A．
2．使函数f(x)＝x＋2cos x在上取最大值的x是(　B　)
A．0　　 B．
C．　　 D．
[解析]　∵f ′(x)＝1－2sin x＝0，x∈时，sin x＝，x＝，
∴当x∈时，f ′(x)>0，f(x)是增函数．
当x∈时，f ′(x)<0，f(x)是减函数，
即x＝，f(x)取最大值，故选B．
3．函数y＝xe－x，x∈[0，4]的最大值是(　B　)
A．0　　 B．
C．　　 D．
[解析]　y′＝e－x－x·e－x＝e－x(1－x)，令y′＝0，
∴x＝1.∵f(0)＝0，f(4)＝，f(1)＝e－1＝，
∴f(1)为最大值．故选B．
4．已知函数f(x)＝(x2＋a)ex有最小值，则函数y＝f ′(x)的零点个数为(　C　)
A．0　　 B．1
C．2　　 D．不确定
[解析]　由题意，f ′(x)＝(x2＋a＋2x)·ex.
因为函数f(x)有最小值且ex>0，
所以函数存在单调递减区间，
即f ′(x)<0有解．
所以x2＋2x＋a＝0有两个不等实根，
所以函数y＝f ′(x)的零点个数为2，
故选C．
5．函数f(x)＝x3－3ax－a在(0，1)内有最小值，则a的取值范围为(　B　)
A．0≤a<1　　 B．0 C．－1 [解析]　∵f ′(x)＝3x2－3a，令f ′(x)＝0，可得a＝x2.
又∵x∈(0，1)，∴0 6．若函数f(x)＝在(－2，a)上有最小值，则a的取值范围为(　A　)
A．(－1，＋∞)　　 B．[－1，＋∞)
C．(0，＋∞)　　 D．[0，＋∞)
[解析]　f ′(x)＝，
令f ′(x)＞0，解得：x＞－1，
令f ′(x)＜0，解得：x＜－1，
故f(x)在(－2，－1)递减，在(－1，＋∞)递增，
若f(x)在(－2，a)有最小值，
则a＞－1，故选A．
二、填空题
7．已知函数f(x)＝x3－12x＋8在区间[－3，3]上的最大值与最小值分别为M，m，则M－m＝__32__．
[解析]　令f′(x)＝3x2－12＝0，得x＝－2或x＝2，
列表得：
x
－3
(－3，－2)
－2
(－2，2)
2
(2，3)
3
f′(x)

＋
0
－
0
＋

f(x)
17
↗
极大值24
↘
极小值－8
↗
－1
可知M＝24，m＝－8，∴M－m＝32.
故答案为32.
8．已知f(x)＝－x2＋mx＋1在区间[－2，－1]上的最大值就是函数f(x)的极大值，则m的取值范围是__(－4，－2)__．
[解析]　f′(x)＝m－2x，令f′(x)＝0，得x＝.
由题设得－2<<－1，故m∈(－4，－2)．
三、解答题
9．已知函数f(x)＝ax3＋bx＋c在x＝2处取得极值为c－16.
(1)求a，b的值；
(2)若f(x)有极大值28，求f(x)在[－3，3]上的最小值．
[解析]　(1)∵f(x)＝ax3＋bx＋c，∴f′(x)＝3ax2＋b，
∵f(x)在点x＝2处取得极值c－16，
∴
即
化简得
解得
(2)由(1)知f(x)＝x3－12x＋c，f′(x)＝3x2－12，
令f′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝2，
当x∈(－∞，－2)或x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)在(－∞，－2)和(2，＋∞)上为增函数，
当x∈(－2，2)时，f′(x)<0，f(x)在(－2，2)上为减函数．
由此可知f(x)在x1＝－2处取得极大值f(－2)＝16＋c，f(x)在x2＝2处取得极小值f(2)＝c－16，由题设条件知16＋c＝28得c＝12，
此时f(－3)＝9＋c＝21，f(3)＝－9＋c＝3，f(2)＝c－16＝－4，
因此f(x)在[－3，3]的最小值为f(2)＝－4.
10．已知函数f(x)＝ax3＋x2＋bx(a，b∈R)的图象在x＝－1处的切线斜率为－1，且x＝－2时，y＝f(x)有极值．
(1)求f(x)的解析式；
(2)求f(x)在[－3，2]上的最大值和最小值．
[解析]　(1)∵f(x)＝ax3＋x2＋bx(a，b∈R)，
∴f ′(x)＝3ax2＋2x＋b.
由条件得即
解得
故f(x)＝x3＋x2.
(2)由(1)可得，f ′(x)＝x2＋2x＝0，解得x＝－2或x＝0，
当x∈(－3，－2)时，f ′(x)>0，f(x)单调递增，
当x∈(－2，0)时，f ′(x)<0，f(x)单调递减，
当x∈(0，2)时，f ′(x)>0，f(x)单调递增，
故f(x)在x＝－2上取得极大值，f(x)在x＝0上取得极小值0，且f(－3)＝0，f(2)＝，
故f(x)在[－3，2]上的最大值为，最小值为0.
B组·素养提升
一、选择题
1．设函数f(x)＝－x3＋3bx，当x∈[0，1]时，f(x)的值域为[0，1]，则b的值是(　C　)
A．　　 B．
C．　　 D．
[解析]　∵函数f(x)＝－x3＋3bx，
∴f ′(x)＝－3x2＋3b，
令f ′(x)＝0，当b＞0时，可得x＝±，
x∈(－∞，－)，x∈(，＋∞)，f ′(x)＜0，函数是减函数，则函数的极大值：f()＝2b，
当x∈[0，1]时，f(x)的值域为[0，1]，
可知≤1时，f()＝2b＝1，解得b＝，
当b≥1时，f(1)＝－1＋3b＝1，无解．
当b≤0时，x∈[0，1]时，f(x)的值域为[0，1]不成立；
∴函数f(x)＝－x3＋3bx，当x∈[0，1]时，f(x)的值域为[0，1]则b的值是，故选C．
2．设函数f(x)＝x3－，则(　A　)
A．是奇函数，且在(0，＋∞)单调递增
B．是奇函数，且在(0，＋∞)单调递减
C．是偶函数，且在(0，＋∞)单调递增
D．是偶函数，且在(0，＋∞)单调递减
[解析]　因为函数f(x)＝x3－定义域为{x|x≠0}，其关于原点对称，而f(－x)＝－f(x)，
所以函数f(x)为奇函数．
又因为函数y＝x3在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递增，
而y＝＝x－3在(0，＋∞)上单调递减，在(－∞，0)上单调递减，
所以函数f(x)＝x3－在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递增．
故选A．
3．(多选题)已知函数f(x)＝ex＋e－x，下列结论正确的是(　AC　)
A．f(x)是偶函数
B．f(x)的最大值为2
C．当f(x)取到最小值时，对应的x＝0
D．f(x)在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减
[解析]　∵函数f(x)＝ex＋e－x，x∈R，
∴f(－x)＝e－x＋ex＝f(x)，∴函数f(x)是R上的偶函数，故A正确，
∵f ′(x)＝ex－e－x＝ex－＝，
令f ′(x)＝0得，ex＝1，x＝0，
∴当x∈(－∞，0)时，f ′(x)＜0，函数f(x)单调递
减；当x∈(0，＋∞)时，f ′(x)＞0，函数f(x)单调递增，
且f(0)＝2，画出函数f(x)的大致图象，
如图所示：

∴函数f(x)的最小值为2，故B错误，C正确，D错误，
故选AC．
4．设函数f(x)满足x2f′(x)＋2xf(x)＝，f(2)＝，则x＞0时，f(x)(　D　)
A．有极大值，无极小值
B．有极小值，无极大值
C．既有极大值又有极小值
D．既无极大值也无极小值
[解析]　∵函数f(x)满足x2f′(x)＋2xf(x)＝，
∴[x2f(x)]′＝，
令F(x)＝x2f(x)，则F ′(x)＝，
F(2)＝4·f(2)＝.
由x2f′(x)＋2xf(x)＝，得f′(x)＝，
令φ(x)＝ex－2F(x)，则φ′(x)＝ex－2F ′(x)＝.
∴φ(x)在(0，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，
∴φ(x)的最小值为φ(2)＝e2－2F(2)＝0.
∴φ(x)≥0.
又x＞0，∴f′(x)≥0.
∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
∴f(x)既无极大值也无极小值．故选D．
二、填空题
5．若F(x)＝x－2ln x＋2a，则F(x)在(0，＋∞)上的最小值是__2－2ln2＋2a__．
[解析]　令f ′(x)＝1－＝＝0得x＝2.
当x∈(0，2)时f′(x)<0，当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，
∴当x＝2时F(x)min＝F(2)＝2－2ln 2＋2a.
6．已知函数f(x)＝2ln x＋(a>0)．若当x∈(0，＋∞)时，f(x)≥2恒成立，则实数a的取值范围是__[e，＋∞)__．
[解析]　f(x)≥2即a≥2x2－2x2ln x.
令g(x)＝2x2－2x2ln x，x>0，
则g′(x)＝2x(1－2ln x)．
由g′(x)＝0得x＝e，
且00；当x>e时g′(x)<0，
∴x＝e时，g(x)取最大值g(e)＝e，∴a≥e.
三、解答题
7．已知函数f(x)＝ln x＋.
(1)当a<0时，求函数f(x)的单调区间；
(2)若函数f(x)在[1，e]上的最小值是，求a的值．
[解析]　函数f(x)＝ln x＋的定义域为(0，＋∞)，
f ′(x)＝－＝，
(1)∵a<0，∴f ′(x)>0，
故函数在其定义域(0，＋∞)上单调递增．
(2)x∈[1，e]时，分如下情况讨论：
①当a<1时，f ′(x)>0，函数f(x)单调递增，其最小值为f(1)＝a<1，这与函数在[1，e]上的最小值是相矛盾；
②当a＝1时，函数f(x)在[1，e]上单调递增，其最小值为f(1)＝1，同样与最小值是相矛盾；
③当10，f(x)单调递增，所以，函数f(x)的最小值为f(a)＝ln a＋1，由ln a＋1＝，得a＝.
④当a＝e时，函数f(x)在[1，e]上有f ′(x)<0，f(x)单调递减，其最小值为f(e)＝2，这与最小值是相矛盾；
⑤当a>e时，显然函数f(x)在[1，e]上单调递减，其最小值为f(e)＝1＋>2，仍与最小值是相矛盾；
综上所述，a的值为.
8．已知函数f(x)＝ex－ax(a为常数)的图象与y轴交于点A，曲线y＝f(x)在点A处切线斜率为－1.
(1)求a的值及函数f(x)的极值；
(2)证明：当x>0时，x2 [解析]　(1)f ′(x)＝ex－a，由题意知f ′(0)＝1－a＝－1，则a＝2，
因此f(x)＝ex－2x，f ′(x)＝ex－2；当x 当x>ln 2时f ′(x)>0，f(x)单调递增；
故f(x)的极小值为f(ln 2)＝2－2ln 2＝2－ln 4，无极大值．
(2)构造函数g(x)＝，x>0，则g′(x)＝；
当00，g(x)单调递增；当x>2时，g(x)<0，g(x)单调递减；
g(x)≤<1，则有不等式ex>x2.