数学7.1 条件概率与全概率公式课后测评

这是一份数学7.1 条件概率与全概率公式课后测评，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第七章　7.1　7.1.2

A组·素养自测
一、选择题
1．设某医院仓库中有10盒同样规格的X光片，已知其中有5盒、3盒、2盒依次是甲厂、乙厂、丙厂生产的．且甲、乙、丙三厂生产该种X光片的次品率依次为，，，现从这10盒中任取一盒，再从这盒中任取一张X光片，则取得的X光片是次品的概率为(　A　)
A．0.08 B．0.1
C．0.15 D．0.2
[解析]　以A1，A2，A3分别表示取得的这盒X光片是由甲厂、乙厂、丙厂生产的，B表示取得的X光片为次品，
P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝，P(B|A1)＝，P(B|A2)＝，P(B|A3)＝；
则由全概率公式，所求概率为
P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)
＝×＋×＋×＝0.08.
2．如果在上题中已知取得的X光片是次品，则该次品是由甲厂生产的概率为(　C　)
A．0.085 B．0.226
C．0.625 D．0.815
[解析]　以A1，A2，A3分别表示取得的这盒X光片是由甲厂、乙厂、丙厂生产的，B表示取得的X光片为次品，
P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝，P(B|A1)＝，P(B|A2)＝，P(B|A3)＝，
所以P(B)＝0.08，P(A1|B)＝＝＝＝0.625.
3．设有5个袋子中放有白球，黑球，其中1号袋中白球占，另外2，3，4，5号4个袋子中白球都占，今从中随机取1个袋子，从所取的袋子中随机取1个球，结果是白球，则这个球是来自1号袋子中的概率为(　A　)
A． B．
C． D．
[解析]　设Ai：取到第i号袋子，i＝1，2，3，4，5.
B：取到白球，
由贝叶斯公式得
P(A1|B)＝
＝
＝.
4．某大学决定从甲、乙两个学院分别抽取100人、60人参加演出活动，其中甲学院中女生占，乙学院中女生占.求从中抽取一人恰好是女生的概率为(　D　)
A． B．
C． D．
[解析]　用A和分别表示取一人是来自甲学院与乙学院，B表示抽取一人恰好是女生，则根据已知有P(A)＝＝，P()＝，且P(B|A)＝，P(B|)＝，所以P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)＝×＋×＝＋＝.
5．设有来自三个地区的各10名，15名和25名考生的报名表，其中女生报名表分别为3份、7份和5份，随机地取一个地区的报名表，从中先后取出两份，则先取到的一份为女生表的概率为(　D　)
A． B．
C． D．
[解析]　设A＝“先取到的是女生表”，Bi＝“取到第i个地区的表”，i＝1，2，3，
∴P(A)＝P(Bi)P(A|Bi)＝×＋×＋×＝.
二、填空题
6．某射击小组共有20名射手，其中一级射手4人、二级射手8人、三级射手7人、四级射手1人，一、二、三、四级射手能通过选拔进入比赛的概率分别为0.9，0.7，0.5，0.2，则任选一名射手能通过选拔进入比赛的概率为_0.645__.
[解析]　设任选一名射手，分别为一、二、三、四级射手的事件分别为A1，A2，A3，A4，
设一、二、三、四级射手进入比赛的事件分别为B1，B2，B3，B4，
P(A1)＝＝0.2，P(A2)＝＝0.4，
P(A3)＝＝0.35，P(A4)＝＝0.05，
P(B1|A1)＝0.9，P(B2|A2)＝0.7，P(B3|A3)＝0.5，P(B4|A4)＝0.2.
则由全概率公式得所求的概率为
P(B)＝P(A1)P(B1|A1)＋P(A2)P(B2|A2)＋P(A3)P(B3|A3)＋P(A4)P(B4|A4)
＝0.2×0.9＋0.4×0.7＋0.35×0.5＋0.05×0.2
＝0.18＋0.28＋0.175＋0.01＝0.645.
7．(2022·山东聊城)某保险公司把被保险人分为3类：“谨慎的”“一般的”“冒失的”．统计资料表明，这3类人在一年内发生事故的概率依次为0.05，0.15和0.30.如果“谨慎的”被保险人占20%，“一般的”被保险人占50%，“冒失的”被保险人占30%，则一个被保险人在一年内出事故的概率是_0.175__.
[解析]　设B1＝“他是谨慎的”，B2＝“他是一般的”，B3＝“他是冒失的”，则B1，B2，B3构成了Ω的一个样本空间，设事件A＝“出事故”，由全概率公式得，
P(A)＝P(Bi)P(A|Bi)(i＝1，2，3)＝0.05×20%＋0.15×50%＋0.30×30%＝0.175.
8．甲罐中有5个红球、2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球、3个白球和3个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1，A2和A3表示由甲罐中取出的球是红球、白球和黑球的事件，再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐中取出的球是红球的事件，则P(B)＝___.
[解析]　由题意A1，A2，A3是两两互斥的事件，且A1∪A2∪A3＝Ω，
所以P(B)＝P[B∩(A1∪A2∪A3)]
＝P(BA1)＋P(BA2)＋P(BA3)
＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝×＋×＋×＝.
三、解答题
9．某药店购进一批消毒液，其品牌、数量和优质率如下表：
品牌
甲
乙
丙
数量(瓶)
240
120
40
优质率
95%
90%
85%
现从该药店任意买一瓶消毒液，求买到优质品的概率．
[解析]　设事件A1，A2，A3分别表示买到的消毒液为甲品牌、乙品牌、丙品牌；事件B表示买到优质品．
由题意得P(A1)＝＝0.6，P(A2)＝＝0.3，P(A3)＝＝0.1，P(B|A1)＝0.95，P(B|A2)＝0.9，P(B|A3)＝0.85.
由全概率公式，得P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝0.6×0.95＋0.3×0.9＋0.1×0.85＝0.925.
故从该药店任意买一瓶消毒液，买到优质品的概率为0.925.
10．某生产线的管理人员通过对以往数据的分析发现，每天生产线启动时，初始状态良好的概率为80%.当生产线初始状态良好时，第一件产品合格的概率为95%；否则，第一件产品合格的概率为60%.若某天生产线启动时，生产出的第一件产品是合格品，求当天生产线初始状态良好的概率(精确到0.1%)．
[解析]　设事件A＝“生产线初始状态良好”，事件B＝“第一件产品是合格品”，则由题意得
P(A)＝80%，P(B|A)＝95%，P(B|)＝60%，
从而P()＝1－P(A)＝20%.
由贝叶斯公式，得
P(A|B)＝
＝≈86.4%.
B组·素养提升
一、选择题
1．盒中有a个红球，b个黑球，今随机地从中取出一个，观察其颜色后放回，并加上同色球c个，再从盒中抽取一球，则第二次抽出的是黑球的概率是(　C　)
A． B．
C． D．
[解析]　设事件A＝“第一次抽出的是黑球”，事件B＝“第二次抽出的是黑球”，则B＝AB＋B，
由全概率公式P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)．
由题意P(A)＝，P(B|A)＝，
P()＝，P(B|)＝，
所以P(B)＝＋＝.
2．已知A学校有15名数学老师，其中9名男老师，6名女老师，B学校有10名数学老师，其中3名男老师，7名女老师，为了实现师资均衡，现从A学校任意抽取一名数学老师到B学校，然后从B学校任意抽取一名数学老师到县里上公开课，则两次都抽到男老师的概率是(　B　)
A． B．
C． D．
[解析]　从A学校任意抽取一名数学老师到B学校，抽到男老师的概率是＝，然后从B学校任意抽取一名数学老师，抽到男老师的概率是＝，两个事件同时发生的概率是×＝.
3．某卡车为乡村小学运送书籍，共装有10个纸箱， 其中5箱英语书、2箱数学书、3箱语文书．到目的地时发现丢失一箱，但不知丢失哪一箱．现从剩下9箱中任意打开两箱，结果都是英语书，则丢失的一箱也是英语书的概率为(　B　)
A． B．
C． D．
[解析]　用A表示丢失一箱后任取两箱是英语书，用Bk表示丢失的一箱为k，k＝1，2，3分别表示英语书、数学书、语文书．
由全概率公式得P(A)＝P(Bk)P(A|Bk)＝·＋·＋·＝.
P(B1|A)＝＝＝÷＝.故选B．
4．(多选)在某一季节，疾病D1的发病率为2%，病人中40%表现出症状S，疾病D2的发病率为5%，其中18%表现出症状S，疾病D3的发病率为0.5%，症状S在病人中占60%.则(　ABC　)
A．任意一位病人有症状S的概率为0.02
B．病人有症状S时患疾病D1的概率为0.4
C．病人有症状S时患疾病D2的概率为0.45
D．病人有症状S时患疾病D3的概率为0.25
[解析]　P(D1)＝0.02，P(D2)＝0.05，P(D3)＝0.005，P(S|D1)＝0.4，P(S|D2)＝0.18，P(S|D3)＝0.6，
由全概率公式得P(S)＝P(Di)P(S|Di)
＝0.02×0.4＋0.05×0.18＋0.005×0.6＝0.02.
由贝叶斯公式得：
P(D1|S)＝＝＝0.4，
P(D2|S)＝＝＝0.45，
P(D3|S)＝＝＝0.15.
二、填空题
5．某工厂有甲、乙、丙3个车间生产同一种产品，产量依次占全厂的45%，35%，20%，且各车间的次品率分别为4%，2%，5%，现从一批产品中检查出1个次品，则该次品由_甲__车间生产的可能性最大．
[解析]　设A1，A2，A3表示产品来自甲、乙、丙车间，B表示产品为次品的事件，易知A1，A2，A3是样本空间Ω中的事件，且有P(A1)＝0.45，P(A2)＝0.35，P(A3)＝0.2，P(B|A1)＝0.04，P(B|A2)＝0.02，P(B|A3)＝0.05.
由全概率公式得P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝0.45×0.04＋0.35×0.02＋0.2×0.05＝0.035.
由贝叶斯公式得P(A1|B)＝≈0.514，
P(A2|B)＝≈0.200，
P(A3|B)＝≈0.286，
所以，该次品由甲车间生产的可能性最大．
6．某乡镇有甲、乙两家超市，在某一周内老王去超市购物两次，第一次购物时随机地选择一家超市购物．若第一次去甲超市，则第二次去甲超市的概率为0.4，若第一次去乙超市，则第二次去甲超市的概率为0.6，则老王第二次去甲超市购物的概率为_0.5__.
[解析]　设A1为“第一次去甲超市购物”，B1为“第一次去乙超市购物”，A2为“第二次去甲超市购物”，则Ω＝A1∪B1且A1与B1互斥，得P(A1)＝P(B1)＝0.5，P(A2|A1)＝0，4，P(A2|B1)＝0.6.
由全概率公式得
P(A2)＝P(A1)P(A2|A1)＋P(B1)P(A2|B1)
＝0.5×0.4＋0.5×0.6＝0.5.
∴老王第二次去甲超市购物的概率为0.5.
7．在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列，由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.9和0.1；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.95和0.05，假设发送信号0和1是等可能的，且已知接收信号为0，则发送的信号是1的概率是___.
[解析]　设A表示发送信号为0，B表示接收信号为0，则表示的发送信号为1，
表示接收信号为1，
所以P(A)＝0.5，P(B|A)＝0.9，P(B|)＝0.05，
由题意知，P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)＝0.475，
所以P(|B)＝＝.
三、解答题
8．学生在做一道有4个选项的选择题时，如果他不知道问题的正确答案，就做随机猜测．现从卷面上看题是答对了，试在以下情况下求学生确实知道正确答案的概率．
(1)学生知道正确答案和胡乱猜想的概率都是；
(2)学生知道正确答案的概率是0.2.
[解析]　记事件A为“题答对了”，事件B为“知道正确答案”，则按题意有P(A|B)＝1，P(A|)＝0.25.
(1)此时有P(B)＝P()＝0.5，所以由贝叶斯公式得
P(B|A)＝
＝＝0.8.
(2)此时有P(B)＝0.2，P()＝0.8，所以由贝叶斯公式得P(B|A)＝
＝＝0.5.
9．一学生连续参加同一课程的两次考试．第一次及格的概率为p，若第一次及格，则第二次及格的概率也为p；若第一次不及格，则第二次及格的概率为.
(1)若至少有一次及格他就能取得某种资格，求他取得该种资格的概率．
(2)若已知他第二次及格，求他第一次及格的概率．
[解析]　设Ai＝“他第i次及格”，i＝1，2，
则P(A1)＝P(A2|A1)＝p，P(A2|)＝.
(1)设B＝“他至少有一次及格”，
则＝“两次均不及格”＝　，
∴P(B)＝1－P()＝1－P(　)＝1－P()P(|)
＝1－[1－P(A1)][1－P(A2|)]
＝1－(1－p)＝－.
(2)∵P(A1A2)＝P(A1)P(A2|A1)＝p2，
∴由全概率公式，有
P(A2)＝P(A1)P(A2|A1)＋P()P(A2|)
＝p·p＋(1－p)·＝＋，
∴P(A1|A2)＝＝＝.