人教A版 (2019)选择性必修 第三册第七章 随机变量及其分布7.2 离散型随机变量及其分布列一课一练

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第三册第七章 随机变量及其分布7.2 离散型随机变量及其分布列一课一练，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第七章　7.2

A组·素养自测
一、选择题
1．(多选)下列问题中的随机变量服从两点分布的是(　BCD　)
A．抛掷一枚骰子，出现的点数记为随机变量X
B．某射手射击一次，击中目标的次数记为随机变量X
C．从装有5个红球、3个白球的袋中取一个球，令随机变量X＝
D．做一次试验，试验成功的次数记为随机变量X
[解析]　选项A，抛掷一枚骰子，出现的点数有6种情况，故随机变量X有6个取值，不服从两点分布，故A不符合题意；选项B，射击一次，击中目标的次数为0或1，故随机变量X服从两点分布，故B符合题意；选项C，显然服从两点分布，故C符合题意；选项D，做一次试验，试验成功的次数为0或1，故随机变量X服从两点分布，故D符合题意．故选BCD．
2．(多选)抛掷两枚骰子一次，记第一枚骰子掷出的点数减去第二枚骰子掷出的点数之差为X，那么“X≤－4”表示的随机事件的结果是(　BCD　)
A．第一枚1点，第二枚4点
B．第一枚2点，第二枚6点
C．第一枚1点，第二枚5点
D．第一枚1点，第二枚6点
[解析]　抛掷两枚骰子，点数之差满足小于等于－4的只有三种情况，故第一枚为1点、第二枚为6点，第一枚为1点、第二枚为5点，第一枚为2点、第二枚为6点．
3．设X是一个离散型随机变量，其分布列为
X
0
1
P
9a2－a
3－8a
则常数a的值为(　A　)
A． B．
C．或 D．－或－
[解析]　由分布列性质可得：9a2－a＋3－8a＝1，
∴9a2－9a＋2＝0，∴a1＝，a2＝，
当a＝时，3－8a<0不合题意，∴a＝，故选A．
4．已知随机变量X的分布列为P(X＝k)＝，k＝1，2，….则P(2 A． B．
C． D．
[解析]　P(2 5．(2022·安徽合肥)两名学生参加考试，随机变量X代表通过的学生数，其分布列为
X
0
1
2
P


a
那么这两人通过各自考试的概率的最小值分别为(　B　)
A．； B．；
C．； D．；
[解析]　依题意得，这两名同学通过各自考试的事件是相互独立的．设这两人通过各自考试的事件分别是A，B，依题意得，[1－P(A)]·[1－P(B)]＝，P(A)P(B)＝1－－＝，解得P(A)＝，P(B)＝或P(A)＝，P(B)＝.
所以这两人通过各自考试的概率的最小值均为.故选B．
二、填空题
6．(2022·山西大同)在一个口袋中装有黑、白两个球，从中随机取一球，记下它的颜色，然后放回，再取一球，记下它的颜色，写出这两次取出白球数X的分布列为___.
[解析]　由题意可得，随机变量X的所有可能取值为0，1，2.
P(X＝0)＝×＝，P(X＝1)＝2××＝，P(X＝2)＝×＝.
∴X的分布列为
X
0
1
2
P



7.(2022·天津红桥)已知随机变量X的分布列如下：
X
1
2
3
4
5
P
0.1
0.2
0.4
0.2
0.1
若Y＝2X－3，则P(Y＝5)的值为_0.2__.
[解析]　当Y＝5时，由2X－3＝5得X＝4，
所以P(Y＝5)＝P(X＝4)＝0.2.
8．(2022·山东寿光)设离散型随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
0.2
0.1
0.1
0.3
m
若随机变量Y＝|X－2|，则P(Y＝2)＝_0.5__.
[解析]　由离散型随机变量分布列的性质可得0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，∴m＝0.3，
则P(Y＝2)＝P(X＝0)＋P(X＝4)＝0.2＋0.3＝0.5.
三、解答题
9．一个袋中装有除颜色外其他都相同的3个白球和4个红球．
(1)从中任意摸出1个球，用0表示摸出白球，用1表示摸出红球，即X＝求X的分布列；
(2)从中任意摸出两个球，用X＝0表示“两个球全是白球”，用X＝1表示“两个球不全是白球”，求X的分布列．
[解析]　(1)由题意知P(X＝0)＝，
P(X＝1)＝.
所以X的分布列为：
X
0
1
P


(2)由题意知P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝1－P(X＝0)＝.
所以X的分布列为：
X
0
1
P


10.设离散型随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
0.2
0.1
0.1
0.3
0.3
(1)求3X＋2的分布列；
(2)求|X－1|的分布列．
[解析]　(1)由题意，知3X＋2的可能取值为2，5，8，11，14，则3X＋2的分布列为
3X＋2
2
5
8
11
14
P
0.2
0.1
0.1
0.3
0.3
(2)由题意，知|X－1|的可能取值为0，1，2，3，
|X－1|的分布列为
|X－1|
0
1
2
3
P
0.1
0.3
0.3
0.3
B组·素养提升
一、选择题
1．(多选)(2022·吉林吉化)设X是一个离散型随机变量，则下列能作为X的分布列的一组概率数据是(　AC　)
A．0，，0，0，
B．0.2，0.2，0.3，0.4
C．p，1－p(0≤p≤1)
D．，，…，
[解析]　根据分布列的性质可知，所有的概率和等于1，故B选项不能．而＋＋…＋＝1－＋－＋…＋－＝1－＝，所以D选项不能作为随机变量的分布列的一组概率取值，故选AC．
2．(多选)甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局．用ξ表示甲的得分，则{ξ＝3}表示的可能结果为(　BC　)
A．甲赢三局 B．甲赢一局输两局
C．甲、乙平局三次 D．甲赢一局
[解析]　甲赢一局输两局得3分，甲与乙平三局得3分．
3．抛掷两颗骰子，所得点数之和X是一个随机变量，则P(X≤4)等于(　A　)
A． B．
C． D．
[解析]　根据题意，有P(X≤4)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＋P(X＝4)．抛掷两颗骰子，按所得的点数共36个基本事件，而X＝2对应(1，1)，X＝3对应(1，2)，(2，1)，X＝4对应(1，3)，(3，1)，(2，2)，
故P(X＝2)＝，P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝，
所以P(X≤4)＝＋＋＝.
4．离散型随机变量X的分布列中的部分数据丢失，丢失数据以x，y(x，y＝0，1，2，…，9)代替，分布列如下：
X＝i
1
2
3
4
5
6
P(X＝i)
0.20
0.10
0.x5
0.10
0.1y
0.20
则P等于(　B　)
A．0.25 B．0.35
C．0.45 D．0.55
[解析]　根据分布列的性质知随机变量的所有取值的概率和为1，因此0.x5＋0.1y＋0.6＝1，即10x＋y＝25，由x，y是0～9间的自然数可解得x＝2，y＝5，故P＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝0.10＋0.25＝0.35.故选B．
二、填空题
5．已知随机变量η的分布列如表：
η
1
2
3
4
5
6
P
0.2
x
0.25
0.1
0.15
0.2
则x＝_0.1__；P(η>3)＝_0.45__；P(1<η≤4)＝_0.45__.
[解析]　由分布列的性质得0.2＋x＋0.25＋0.1＋0.15＋0.2＝1，解得x＝0.1；P(η>3)＝P(η＝4)＋P(η＝5)＋P(η＝6)＝0.1＋0.15＋0.2＝0.45；P(1<η≤4)＝P(η＝2)＋P(η＝3)＋P(η＝4)＝0.1＋0.25＋0.1＝0.45.
6．由于电脑故障，使得随机变量X的分布列中部分数据丢失，以□代替，其表如下：
X
1
2
3
4
5
6
P
0.20
0.10
0.□5
0.10
0.1□
0.20
根据该表可知X取奇数值时的概率是_0.60__.
[解析]　因为X取偶数值时的概率为P(X＝2)＋P(X＝4)＋P(X＝6)＝0.10＋0.10＋0.20＝0.40.
故X取奇数值的概率为1－0.40＝0.60.
7．设随机变量X只能取5，6，7，…，16这12个值，且取每个值的概率均相同，则P(X>8)＝___；P(6 [解析]　X有12个值且每个值的概率相同，则取每个值的概率为.于是P(X>8)＝P(X＝9)＋P(X＝10)＋…＋P(X＝16)＝8×＝，P(6 三、解答题
8．一个盒子里装有4张大小形状完全相同的卡片，分别标有数字2，3，4，5；另一个盒子里也装有4张大小形状完全相同的卡片，分别标有数字3，4，5，6.现从一个盒子里任取一张卡片，其上面的数记为x，再从另一个盒子里任取一张卡片，其上面的数记为y，记随机变量η＝x＋y，求η的分布列．
[解析]　依题意，η的可能取值是5，6，7，8，9，10，11.则有P(η＝5)＝＝，P(η＝6)＝＝，P(η＝7)＝，P(η＝8)＝＝，P(η＝9)＝，P(η＝10)＝＝，P(η＝11)＝.
所以η的分布列为
η
5
6
7
8
9
10
11
P







9.唐代饼茶的制作一直延续至今，它的制作由“炙”“碾”“罗”三道工序组成：根据分析甲、乙、丙三位学徒通过“炙”这道工序的概率分别是0.5，0.6，0.5；能通过“碾”这道工序的概率分别是0.8，0.5，0.4；由于他们平时学习刻苦，都能通过“罗”这道工序；且这三道工序之间通过与否没有影响．
(1)求甲、乙、丙三位同学中恰好有一人通过“炙”这道工序的概率；
(2)设只要通过三道工序就可以制成饼茶，求甲、乙、丙三位同学中制成饼茶人数X的分布列．
[解析]　(1)设A，B，C分别表示事件“甲、乙、丙通过‘炙’这道工序”，
则所求概率P＝P(A　)＋P(B)＋P(　C)＝0.5×(1－0.6)×(1－0.5)＋(1－0.5)×0.6×(1－0.5)＋(1－0.5)×(1－0.6)×0.5＝0.35.
(2)甲制成饼茶的概率为P甲＝0.5×0.8＝0.4，同理P乙＝0.6×0.5＝0.3，P丙＝0.5×0.4＝0.2.
随机变量X的可能取值为0，1，2，3，
P(X＝0)＝(1－0.4)×(1－0.3)×(1－0.2)＝0.336，
P(X＝1)＝0.4×(1－0.3)×(1－0.2)＋(1－0.4)×(1－0.3)×0.2＋(1－0.4)×0.3×(1－0.2)＝0.452，
P(X＝2)＝0.4×0.3×(1－0.2)＋0.4×(1－0.3)×0.2＋(1－0.4)×0.3×0.2＝0.188，
P(X＝3)＝0.4×0.3×0.2＝0.024.
故X的分布列为
X
0
1
2
3
P
0.336
0.452
0.188
0.024