高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册7.3 离散型随机变量的数字特征课后练习题

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册7.3 离散型随机变量的数字特征课后练习题，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第七章　7.3　7.3.1

A组·素养自测
一、选择题
1．(多选)下列说法不正确的是(　ABD　)
A．随机变量X的数学期望E(X)是个变量，其随X的变化而变化
B．随机变量的均值反映样本的平均水平
C．若随机变量X的数学期望E(X)＝2，则E(2X)＝4
D．随机变量X的均值E(X)＝
[解析]　A错误，随机变量的数学期望E(X)是个常量，是随机变量X本身固有的一个数字特征．B错误，随机变量的均值反映随机变量取值的平均水平．C正确，由均值的性质可知．D错误，因为E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn.
2．设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝，k＝1，2，3，4，则E(X)的值为(　A　)
A． B．
C． D．2
[解析]　∵P(X＝k)＝(k＝1，2，3，4)，
∴E(X)＝(1＋2＋3＋4)×＝，故选A．
3．(2022·江苏徐州高二检测)已知离散型随机变量X的概率分布列如下：
X
4
a
9
10
P
0.3
0.1
b
0.2
若E(X)＝7.5，则a等于(　C　)
A．5 B．6
C．7 D．8
[解析]　∵0.3＋0.1＋b＋0.2＝1得b＝0.4，
∴E(X)＝4×0.3＋a×0.1＋9×0.4＋10×0.2＝7.5，
∴a＝7，故选C．
4．甲、乙两台自动车床生产同种标准件，ξ表示甲车床生产1 000件产品中的次品数，η表示乙车床生产1 000件产品中的次品数，经一段时间考察，ξ，η的分布列分别是：
ξ
0
1
2
3
P
0.7
0.1
0.1
0.1

η
0
1
2
3
P
0.5
0.3
0.2
0
据此判定(　A　)
A．甲比乙质量好 B．乙比甲质量好
C．甲与乙质量相同 D．无法判定
[解析]　E(ξ)＝0×0.7＋1×0.1＋2×0.1＋3×0.1＝0.6，E(η)＝0×0.5＋1×0.3＋2×0.2＋3×0＝0.7.
因为E(η)>E(ξ)，故甲比乙质量好．
5．将三个不同的小球全部随机放入三个不同的盒子中，设随机变量ξ为三个盒子中含球最多的盒子里的球数，则ξ的数学期望E(ξ)为(　A　)
A． B．
C．2 D．
[解析]　由题意知ξ的所有可能取值为1，2，3，
P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，
P(ξ＝3)＝＝，
∴E(ξ)＝1×＋2×＋3×＝.
二、填空题
6．某射手射击所得环数X的分布列如下：
X
7
8
9
10
P
x
0.1
0.3
y
已知X的期望E(X)＝8.9，则x的值为_0.4__.
[解析]　∵x＋y＝0.6，7x＋10y＝8.9－0.8－2.7，
解得
7．一袋中装有分别标记着1，2，3数字的3个小球，每次从袋中取出一个球(每只小球被取到的可能性相同)，现连续取3次球，若每次取出一个球后放回袋中，记3次取出的球中标号最小的数字与最大的数字分别为X，Y，设ξ＝Y－X，则E(ξ)＝___.
[解析]　由题意知ξ的取值为0，1，2，ξ＝0，表示X＝Y；ξ＝1表示X＝1，Y＝2，或X＝2，Y＝3；ξ＝2表示X＝1，Y＝3.
∴P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，
P(ξ＝2)＝＝，
∴E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝.
8．设p为非负实数，随机变量X的概率分布为：
X
0
1
2
P
－p
p

则E(X)的最大值为___.
[解析]　由表可得从而得p∈，期望值E(X)＝0×＋1×p＋2×＝p＋1，当且仅当p＝时，E(X)最大值＝.
三、解答题
9．端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同．从中任意选取3个．
(1)求三种粽子各取到1个的概率；
(2)设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与数学期望．
[解析]　(1)令A表示事件“三种粽子各取到1个”，则由古典概型的概率计算公式有P(A)＝＝.
(2)X的所有可能取值为0，1，2，且P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝.
综上知，X的分布列为
X
0
1
2
P



故E(X)＝0×＋1×＋2×＝(个)．
10．(2022·陕西师大附中高三检测)共享单车是一种绿色、环保、健康的出行方式．最近，某机构在某地区随机采访了10名男士和10名女士，结果男士、女士中分别有7人、6人表示“经常骑共享单车出行”，其他人表示“较少或不选择骑共享单车出行”．
(1)从这些男士和女士中各抽取一人，求至少有一人“经常骑共享单车出行”的概率；
(2)从这些男士中抽取一人，女士中抽取两人，记这三人中“经常骑共享单车出行”的人数为X，求X的分布列与数学期望．
[解析]　(1)记事件A：从这些男士和女士中各抽取一人，至少有一人“经常骑共享单车出行”，
则P(A)＝×＋×＋×＝.
(2)X的取值为0，1，2，3，
P(X＝0)＝×＝，
P(X＝1)＝×＋×＝，
P(X＝2)＝×＋×＝，
P(X＝3)＝×＝，
∴随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
P




∴X的数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
B组·素养提升
一、选择题
1．如果a1，a2，a3，a4，a5，a6的期望为3，那么2(a1－3)，2(a2－3)，2(a3－3)，2(a4－3)，2(a5－3)，2(a6－3)的期望是(　A　)
A．0 B．3
C．6 D．12
[解析]　由E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b＝2×3－6＝0.
2．(多选)受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关．某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年，现从该厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取50辆，统计数据如表：
品牌
甲
乙
首次出现故障的时间x(年)
0 1 x>2
0 x>2
轿车数量(辆)
2
3
45
5
45
每辆利润(万元)
1
2
3
1.8
2.9
将频率视为概率，则下列说法正确的是(　BD　)
A．从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，其首次出现故障发生在保修期内的概率为
B．若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为X1，则E(X1)＝2.86(万元)
C．若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆乙品牌轿车的利润为X2，则E(X2)＝2.99(万元)
D．该厂预计今后这两种品牌轿车的销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌的轿车．若从经济效益的角度考虑，应生产甲品牌的轿车
[解析]　设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件A，则P(A)＝＝.
依题意得，X1的分布列为
X1
1
2
3
P



E(X1)＝1×＋2×＋3×＝＝2.86(万元)，
X2的分布列为
X2
1.8
2.9
P


E(X2)＝1.8×＋2.9×＝2.79(万元)．
因为E(X1)>E(X2)，所以应生产甲品牌轿车．
3．(多选)离散型随机变量X的可能取值为1，2，3，4，P(X＝k)＝ak＋b(k＝1，2，3，4)，E(X)＝3，则(　BC　)
A．a＝10 B．a＝
C．b＝0 D．b＝1
[解析]　易知E(X)＝1×(a＋b)＋2×(2a＋b)＋3×(3a＋b)＋4×(4a＋b)＝3，即30a＋10b＝3.①
又(a＋b)＋(2a＋b)＋(3a＋b)＋(4a＋b)＝1，即10a＋4b＝1，②
由①②，得a＝，b＝0.
4．(多选)(2022·浙江丽水高二月考)设0 ξ
0
1
2
p
p－p2
p2
1－p
A．E(ξ)随着p的增大而增大
B．E(ξ)随着p的增大而减小
C．P(ξ＝0) D．P(ξ＝2)的值最大
[解析]　由题意E(ξ)＝p2＋2(1－p)＝(p－1)2＋1，由于0，D错，故选BC．
二、填空题
5．已知随机变量ξ和η，其中η＝4ξ－2，且E(η)＝7，若ξ的分布列如下表，则n的值为___.
ξ
1
2
3
4
P

m
n

[解析]　η＝4ξ－2⇒E(η)＝4E(ξ)－2⇒7＝4·E(ξ)－2⇒E(ξ)＝⇒＝1×＋2×m＋3×n＋4×，又＋m＋n＋＝1，联立求解可得n＝.
6．马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的概率分布列如表：
t
1
2
3
P(ξ＝t)
？
！
？
请小牛同学计算ξ的数学期望，尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能肯定这两个“？”处的数值相同．据此，小牛给出了正确答案E(ξ)＝_2__.
[解析]　设“？”处为x，“！”处为y，则由分布列的性质得2x＋y＝1，所以期望E(ξ)＝1×P(ξ＝1)＋2×P(ξ＝2)＋3×P(ξ＝3)＝4x＋2y＝2.
7．一个盒子里有1个红1个绿2个黄四个相同的球，每次拿一个，不放回，拿出红球即停，设拿出黄球的个数为ξ，则P(ξ＝0)＝___；E(ξ)＝_1__.
[解析]　由题知，随机取出红球的概率为，随机取出绿球的概率为，随机取出黄球的概率为，ξ的取值情况共有0，1，2，P(ξ＝0)＝＋×＝，P(ξ＝1)＝×＋××＋××＝，P(ξ＝2)＝××＋××＋××＋××＝，所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝1.
三、解答题
8．某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门，首次到达智能门，系统会随机(即等可能)为你打开一个通道．若是1号通道，则需要1小时走出迷宫；若是2号通道、3号通道，则分别需要2小时、3小时返回智能门．再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过的通道，直至走出迷宫为止．令ξ表示走出迷宫所需时间．
(1)求ξ的分布列；
(2)求ξ的数学期望(均值)．
[解析]　(1)ξ的可能取值为1，3，4，6.
P(ξ＝1)＝，P(ξ＝3)＝，P(ξ＝4)＝，P(ξ＝6)＝，
所以ξ的分布列为
ξ
1
3
4
6
P




(2)E(ξ)＝1×＋3×＋4×＋6×＝(小时)．
9．(2022·全国甲卷)甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．
(1)求甲学校获得冠军的概率；
(2)用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望．
[解析]　(1)设甲学校获得冠军的事件为A，则甲学校必须获胜2场或者3场．
P(A)＝0.5×0.4×0.8＋(1－0.5)×0.4×0.8＋0.5×(1－0.4)×0.8＋0.5×0.4×(1－0.8)＝0.6.
故甲学校获得冠军的概率为0.6.
(2)X的取值可以为0，10，20，30.
P(X＝0)＝0.5×0.4×0.8＝0.16，
P(X＝10)＝(1－0.5)×0.4×0.8＋0.5×(1－0.4)×0.8＋0.5×0.4×(1－0.8)＝0.44，
P(X＝20)＝(1－0.5)×(1－0.4)×0.8＋0.5×(1－0.4)×(1－0.8)＋(1－0.5)×0.4×(1－0.8)＝0.34，
P(X＝30)＝(1－0.5)×(1－0.4)×(1－0.8)＝0.06.
所以X的分布列为
X
0
10
20
30
P
0.16
0.44
0.34
0.06
所以E(X)＝0×0.16＋10×0.44＋20×0.34＋30×0.06＝13.