新教材2023年高中数学第七章随机变量及其分布列检测题新人教A版选择性必修第三册

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第七章检测题
考试时间120分钟，满分150分．
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知随机变量ξ服从二项分布，ξ～B，则P(ξ＝1)的值为(　C　)
A． B．
C． D．
[解析]　由随机变量ξ服从二项分布ξ～B，则P(ξ＝1)＝C13＝.
2．某班有60名学生，一次考试后数学成绩X～N(110，102)，若P(100≤X≤110)＝0.35，则估计该班学生数学成绩在120分以上的人数为(　A　)
A．9 B．8
C．7 D．6
[解析]　因为数学成绩X～N(110，102)，
所以由P(100≤X≤110)＝0.35可得P(110≤X≤120)＝ 0.35，
所以该班学生数学成绩在120分以上的概率为P(X>120)＝1－0.5－0.35＝0.15，
所以估计该班学生数学成绩在120分以上的人数为0.15×60＝9(人)，故选A．
3．近来，受冷空气影响，我市气温变化异常，时有降雨及大风天气，经预报台统计，我市每年四月份降雨的概率为，出现四级以上大风天气的概率为，在出现四级以上大风天气条件下，降雨的概率为，则在已知降雨的条件下，出现四级以上大风天气的概率为(　B　)
A． B．
C． D．
[解析]　若A表示降雨，B表示四级以上大风，则P(A)＝，P(B)＝，而P(A|B)＝，根据条件概率公式知：P(B|A)＝，P(A|B)＝，∴P(B|A)＝＝.
4．如图所示的是当σ取三个不同值σ1，σ2，σ3的三种正态曲线N(0，σ2)的图象，那么σ1，σ2，σ3的大小关系是(　D　)

A．σ1>1>σ2>σ3>0 B．0<σ1<σ2<1<σ3
C．σ1>σ2>1>σ3>0 D．0<σ1<σ2＝1<σ3
[解析]　当μ＝0，σ＝1时，正态曲线f(x)＝e－在x＝0处取最大值，故σ2＝1.由正态曲线的性质，当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，反之越“矮胖”，故选D．
5．抛掷甲、乙两颗骰子，若事件A：“甲骰子的点数大于3”，事件B：“甲、乙两骰子的点数之和等于7”，则P(B|A)的值等于(　B　)
A． B．
C． D．
[解析]　由题意可得事件A：“甲骰子的点数大于3”包含点数为4，5，6三种情况，所以P(A)＝＝.
又事件B：“甲、乙两骰子的点数之和等于7”，
所以事件A与事件B都发生所包含的情况有(4，3)，(5，2)，(6，1)，共3个基本事件；而抛掷甲、乙两颗骰子，共有36种情况，所以事件A与事件B都发生的概率为P(AB)＝＝，故P(B|A)＝＝.
6．随机变量X的概率分布为P(X＝n)＝(n＝1，2，3，4)，其中a为常数，则P的值为(　D　)
A． B．
C． D．
[解析]　∵P(X＝n)＝(n＝1，2，3，4)，
∴＋＋＋＝1，∴a＝.
∴P＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝×＋×＝，故选D．
7．一批排球中正品有m个，次品有n个，m＋n＝10(m≥n)，从这批排球中每次随机取一个，有放回地抽取10次，X表示抽到的次品个数．若D(X)＝2.1，从这批排球中随机取两个，则至少有一个正品的概率p＝(　B　)
A． B．
C． D．
[解析]　由题意知抽取10次，每次抽到次品的概率为，则方差D(X)＝10××＝2.1，
又m≥n，则n≤5，∴解得n＝3，
∴所求的概率为p＝1－＝.故选B．
8．已知随机变量ξ的分布列如下表，则随机变量E的方差D(ξ)的最大值为(　B　)
ξ
0
1
2
P
y
0.4
x
A．0.72 B．0.6
C．0.24 D．0.48
[解析]　由分布列的性质，可得x＋y＋0.4＝1，所以y＝0.6－x，又由期望的公式，可得E(ξ)＝0.4＋2x，所以E(ξ2)＝0.4＋4x，则D(ξ)＝E(ξ2)－(E(ξ))2＝0.4＋4x－(0.4＋2x)2＝－4x2＋2.4x＋0.24＝－4(x－0.3)2＋0.6，所以当x＝0.3时，故选B．
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)
9．已知随机变量X的分布列为
X
－1
0
1
P



则下列结论正确的是(　ACD　)
A．E(X)＝－ B．E(X＋4)＝－
C．D(3X＋1)＝5 D．P(X>0)＝
[解析]　由已知E(X)＝(－1)×＋0×＋1×＝－，故A正确；
E(X＋4)＝E(X)＋4＝－＋4＝，故B错误；由D(X)＝2×＋2×＋2×＝，可得D(3X＋1)＝32D(X)＝9×＝5，故C正确；由分布列可知P(X>0)＝P(X＝1)＝，故D正确，所以选ACD．
10．(2022·海南中学)若随机变量ξ满足E(1－ξ)＝4，D(1－ξ)＝4，则下列说法正确的是(　BD　)
A．E(ξ)＝－4 B．E(ξ)＝－3
C．D(ξ)＝－4 D．D(ξ)＝4
[解析]　随机变量ξ满足E(1－ξ)＝4，D(1－ξ)＝4，则1－E(ξ)＝4，(－1)2D(ξ)＝4，据此可得E(ξ)＝－3，D(ξ)＝4.故选BD．
11．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是红球、白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是(　BD　)
A．P(B)＝
B．P(B|A1)＝
C．事件B与事件A1相互独立
D．A1，A2，A3是两两互斥的事件
[解析]　由题意A1，A2，A3是两两互斥的事件，P(A1)＝＝，P(A2)＝＝，P(A3)＝，P(B|A1)＝＝＝，故B正确；
P(B)＝P(B·A1)＋P(B·A2)＋P(B·A3)＝×＋×＋×＝，故A，C不正确；A1，A2，A3是两两互斥的事件，故D正确．
故选BD．
12．下列说法正确的是(　CD　)
A．5的展开式中含x2y3项的二项式系数为20
B．事件A∪B为必然事件，则事件A，B是互为对立事件
C．设随机变量ξ服从正态分布N(μ，7)，若P(ξ<2)＝P(ξ>4)，则μ与D(ξ)的值分别为μ＝3，D(ξ)＝7
D．甲、乙、丙、丁4个人到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A＝“4个人去的景点各不相同”，事件B＝“甲独自去一个景点”，则P(A|B)＝
[解析]　对于A，由二项式定理得5的展开式中含x2y3项的二项式系数为C＝10，故A错误；对于B，事件A∪B为必然事件，若A，B互斥，则事件A，B是互为对立事件；若A，B不互斥，则事件A，B不是互为对立事件，故B错误；对于C，设随机变量ξ服从正态分布N(μ，7)，若P(ξ<2)＝P(ξ>4)，则正态曲线关于直线x＝3对称，则μ与D(ξ)的值分别为μ＝3，D(ξ)＝7，故C正确；对于D，事件A＝“4个人去的景点各不相同”，事件B＝“甲独自去一个景点”，
则P(B)＝＝，P(AB)＝＝，
则P(A|B)＝＝，故D正确．
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知随机变量X服从正态分布N(0，σ2)，且P(－2≤X≤0)＝0.4，则P(X>2)＝_0.1__.
[解析]　∵随机变量X服从正态分布N(0，σ2)，且P(－2≤X≤0)＝0.4，
∴P(0≤X≤2)＝0.4，
∴P(X>2)＝0.5－0.4＝0.1，
故答案为0.1.
14．袋中有2个红球，2个白球，2个黑球共6个球，现有一个游戏：从袋中任取3个球，恰好三种颜色各取到1个则获奖，否则不获奖．有3个人参与这个游戏，则恰好有1人获奖的概率是___.
[解析]　设中奖为事件A，则事件A包含的基本事件个数为(C)3＝8，所有的基本事件共有C＝20，所以中奖概率为P(A)＝＝；
有3个人参与这个游戏，设中奖人数为X，则X～B，P(X＝1)＝C××2＝.
15．商场每月售出的某种商品的件数X是一个随机变量，其分布列如下表.
X
1
2
3
…
12
P



…

每售出一件可获利300元，如果销售不出去，每件每月需要保养费100元．该商场月初进货9件这种商品，则销售该商品获利的期望为_1500元__.
[解析]　由题意知E(X)＝(1＋2＋3＋…＋12)×＝6.5.∵每售出一件可获利300元，如果销售不出去，每件每月需要保养费100元，该商场月初进货9件这种商品，则销售该商品获利的期望为6×300－(9－6)×100＝1 500(元)．
故答案为1 500元．
16．(2021·浙江卷)袋中有4个红球，m个黄球，n个绿球．现从中任取两个球，记取出的红球数为ξ，若取出的两个球都是红球的概率为，一红一黄的概率为，则m－n＝_1__，E(ξ)＝___.
[解析]　由题意可得，P(ξ＝2)＝＝＝，化简得(m＋n)2＋7(m＋n)－60＝0，得m＋n＝5，取出的两个球一红一黄的概率P＝＝＝，解得m＝3，故n＝2.所以m－n＝1，易知ξ的所有可能取值为0，1，2，且P(ξ＝2)＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝0)＝＝，所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝.
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)甲、乙、丙、丁4名同学被随机地分到A、B、C三个社区参加社会实践，要求每个社区至少有一名同学．
(1)求甲、乙两人都被分到A社区的概率；
(2)求甲、乙两人不在同一个社区的概率；
(3)设随机变量ξ为四名同学中到A社区的人数，求ξ的分布列和E(ξ)的值．
[解析]　(1)记甲、乙两人同时到A社区为事件M，那么P(M)＝＝，
即甲、乙两人同时分到A社区的概率是.
(2)记甲、乙两人在同一社区为事件E，那么
P(E)＝＝，
所以，甲、乙两人不在同一社区的概率是
P()＝1－P(E)＝.
(3)随机变量ξ可能取的值为1，2.事件“ξ＝i(i＝1，2)”是指有i个同学到A社区，
则P(ξ＝2)＝＝.
所以P(ξ＝1)＝1－P(ξ＝2)＝，
ξ的分布列是：
ξ
1
2
P


∴E(ξ)＝1×＋2×＝.
18．(本小题满分12分)(2021·新高考Ⅰ卷)某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题．每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束．A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分．
已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关．
(1)若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；
(2)为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由．
[解析]　(1)由题意得，X的所有可能取值为0，20，100，
P(X＝0)＝1－0.8＝0.2，
P(X＝20)＝0.8×(1－0.6)＝0.32，
P(X＝100)＝0.8×0.6＝0.48，
所以X的分布列为
X
0
20
100
P
0.2
0.32
0.48
(2)当小明先回答A类问题时，由(1)可得E(X)＝0×0.2＋20×0.32＋100×0.48＝54.4.
当小明先回答B类问题时，记Y为小明的累计得分，
则Y的所有可能取值为0，80，100，
P(Y＝0)＝1－0.6＝0.4，
P(Y＝80)＝0.6×(1－0.8)＝0.12，
P(Y＝100)＝0.6×0.8＝0.48，
所以Y的分布列为
Y
0
80
100
P
0.4
0.12
0.48
E(Y)＝0×0.4＋80×0.12＋100×0.48＝57.6.
因为57.6>54.4，即E(Y)>E(X)，所以为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答B类问题．
19．(本小题满分12分)某中学的环保社团参照国家环境标准制定了该校所在区域的空气质量指数与空气质量等级对应关系，如下表(假设该区域空气质量指数不会超过300)：
空气质
量指数
(0，50]
(50，100]
(100，150]
(150，200]
(200，250]
(250，300]
空气质
量等级
1级优
2级良
3级轻
度污染
4级中
度污染
5级重
度污染
6级严
重污染
该社团将该校区在2020年100天的空气质量指数监测数据作为样本，绘制的频率分布直方图如图所示，把该直方图所得频率估计为概率．

(1)请估算2020年(以365天计算)全年空气质量优、良的天数(未满一天按一天计算)；
(2)该校2020年某三天举行了一场运动会，若这三天中某天出现5级重度污染，需要净化空气费用10 000元，出现6级严重污染，需要净化空气费用20 000元，记这三天净化空气总费用为X元，求X的分布列．
[解析]　(1)由频率分布直方图可估算2020年(以365天计算)全年空气质量优、良的天数为(0.002×50＋0.004×50)×365＝0.3×365＝109.5≈110.
(2)由题意知，X的所有可能取值为0，10 000，20 000，30 000，40 000， 50 000，60 000，
由频率分布直方图知空气质量指数为(0，200]的概率为，
空气质量指数为(200，250]的概中为，
空气质量指数为(250，300]的概率为，
则P(X＝0)＝3＝，
P(X＝10 000)＝C××2＝，P(X＝20 000)＝C×2×＋C××2＝，
P(X＝30 000)＝3＋C××C××＝，
P(X＝40 000)＝C×2×＋C×2×＝，
P(X＝50 000)＝C×2×＝，
P(X＝60 000)＝3＝.
所以X的分布列为
X
0
10 000
20 000
30 000
40 000
50 000
60 000
P







20.(本小题满分12分)某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为和 ，现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B．设甲、乙两组的研发是相互独立的．
(1)求至少有一种新产品研发成功的概率；
(2)若新产品A研发成功，预计企业可获得利润120万元，若新产品B研发成功，预计企业可获得利润100万元，求该企业可获得利润的分布列和数学期望．
[解析]　(1)设至少有一种新产品研发成功的事件为事件A且事件B为事件A的对立事件，则事件B为新产品A，B都没有研发成功，因为甲、乙成功的概率分别为，，
则P(B)＝×＝×＝，
再根据对立事件概率之间的概率公式可得
P(A)＝1－P(B)＝，
所以至少有一种新产品研发成功的概率为.
(2)设该企业可获得利润为ξ，
则由题可得ξ的取值有0，120＋0，100＋0，120＋100，
即ξ的取值为0，120，100，220.
则有P(ξ＝0)＝×＝；
P(ξ＝120)＝×＝；
P(ξ＝100)＝×＝；
P(ξ＝220)＝×＝；
所以ξ的分布列如下：
ξ
0
120
100
220
P




则数学期望E(ξ)＝0× ＋120×＋100×＋220×＝32＋20＋88＝140.
21．(本小题满分12分)某市举办数学知识竞赛活动，共5 000名学生参加，竞赛分为初试和复试，复试环节共3道题，其中2道单选题，1道多选题，得分规则如下：参赛学生每答对一道单选题得2分，答错得0分，答对多选题得3分，答错得0分，答完3道题后的得分之和为参赛学生的复试成绩．
(1)通过分析可以认为学生初试成绩X服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ＝66，σ2＝144，试估计初试成绩不低于90分的人数；
(2)已知小强已通过初试，他在复试中单选题的正答率为，多选题的正答率为，且每道题回答正确与否互不影响．记小强复试成绩为Y，求Y的分布列及数学期望．
附：P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3.
[解析]　(1)∵σ2＝144，
∴σ＝12.又μ＝66，
∴μ＋2σ＝66＋2×12＝90，
∴P(X≥90)＝P(X≥μ＋2σ)＝(1－0.954 5)＝0.022 75，
∴估计不低于90分的人数有0.022 75×5 000≈113.
(2)Y的所有可能取值为0，2，3，4，5，7，
∴P(Y＝0)＝××＝；
P(Y＝2)＝C×××＝＝；
P(Y＝3)＝××＝；
P(Y＝4)＝××＝＝；
P(Y＝5)＝C×××＝＝；
P(Y＝7)＝××＝＝.
∴Y的分布列为
Y
0
2
3
4
5
7
P






∴E(Y)＝0×＋2×＋3×＋4×＋5×＋7×＝.
22．(本小题满分12分)某校设计了一个试验考查方案：考生从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按照题目要求独立完成全部试验操作，规定：至少正确完成其中2道题才可通过．已知6道备选题中考生甲有4道题能正确完成，2道题不能完成，考生乙每道题正确完成的概率都是，且每道题正确完成与否互不影响．
(1)求甲、乙两考生正确完成题数的分布列，并计算其数学期望；
(2)请分析比较甲、乙两考生的试验操作能力．
[解析]　(1)设考生甲、乙正确完成试验操作的题数分别为X，Y，则X所有可能的取值为1，2，3；Y所有可能的取值为0，1，2，3.
∵P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，
∴考生甲正确完成题数的分布列为
X
1
2
3
P



E(X)＝1×＋2×＋3×＝2.
∵P(Y＝0)＝C3＝，
同理P(Y＝1)＝，P(Y＝2)＝，P(Y＝3)＝.
∴考生乙正确完成题数的分布列为
Y
0
1
2
3
P




E(Y)＝0×＋1×＋2×＋3×＝2.
(2)∵D(X)＝(1－2)2×＋(2－2)2×＋(3－2)2×＝，D(Y)＝(0－2)2×＋(1－2)2×＋(2－2)2×＋(3－2)2×
＝，
∴D(X) ∵P(X≥2)＝＋＝0.8，P(Y≥2)＝＋≈0.74，
∴P(X≥2)>P(Y≥2)．
从正确完成题数的数学期望考查，两人的水平相当；从正确完成题数的方差考查，甲较稳定；从至少正确完成2道题的概率考查，甲通过的可能性大，因此可以判定甲的试验操作能力较强．