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新教材2023年高中数学第八章成对数据的统计分析8.1成对数据的统计相关性素养作业新人教A版选择性必修第三册
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这是一份新教材2023年高中数学第八章成对数据的统计分析8.1成对数据的统计相关性素养作业新人教A版选择性必修第三册，共8页。
第八章 8.1
A组·素养自测
一、选择题
1．(多选)下列关系中，属于相关关系的是( BD )
A．正方形的边长与面积之间的关系
B．农作物的产量与施肥量之间的关系
C．人的身高与年龄之间的关系
D．降雪量与交通事故的发生率之间的关系
[解析] 在A中正方形的边长与面积之间的关系是函数关系；在B中，农作物的产量与施肥量之间不具有严格的函数关系，但具有相关关系；在C中，人的身高与年龄之间的关系既不是函数关系，也不是相关关系，因为人的年龄达到一定时期身高就不发生明显变化了，因而它们不具有相关关系；在D中，降雪量与交通事故的发生率之间具有相关关系．
2．(2022·重庆高一期中)已知x，y是两个变量，下列四个散点图中，x，y呈正相关趋势的是( A )
[解析] x，y呈正相关趋势时，散点图应该是从左下到右上趋势，由图可知选项A中的散点图是从左下到右上趋势，描述了y随着x的增大而增大的变化趋势，故选A．
3．已知两个变量x，y与其线性相关系数r，下列说法正确的是( C )
①若r>0，则x增大时，y也相应增大；②若r<0，则x增大时，y也相应增大；③若r＝1或r＝－1，则x与y的关系完全相关(有函数关系)．
A．①② B．②③
C．①③ D．①②③
[解析] 若两个变量正相关，则因变量随着自变量的增大(减小)而增大(减小)，此时相关系数r>0；若两个变量负相关，则因变量随自变量的增大(减小)而减小(增大)，此时相关系数r<0；若|r|＝1，则两个变量完全相关．故选C．
4．(多选)某校地理学兴趣小组在某座山测得海拔高度、气压和沸点的六组数据绘制成散点图如图所示，则下列说法正确的是( BCD )
A．沸点与海拔高度呈正相关
B．沸点与气压呈正相关
C．沸点与海拔高度呈负相关
D．沸点与海拔高度、沸点与气压的相关性都很强
[解析] 由左图知气压随海拔高度的增加而减小，由右图知沸点随气压的升高而升高，所以沸点与气压呈正相关，沸点与海拔高度呈负相关，由于两个散点图中的点都成线性分布，所以沸点与海拔高度、沸点与气压的相关性都很强，故B，C、D正确，A错误．
5．在下列各图中，两个变量具有相关关系的是( D )
A．①② B．①③
C．②④ D．②③
[解析] 显然题图①属于函数关系，因为每个x值对应一个y值，这是确定的关系；题图②中散点图中各点分布的区域大致为从左下角到右上角，这属于正相关关系；题图③中尽管从散点图中各点分布的区域来看，二者既不属于正相关关系，也不属于负相关关系，但是各点大致在一条曲线附近，对于每个x，其对应的y呈现出一定的规律性，因此这两个变量具有相关关系；题图④中各点分布很均匀，但对于每个x，y的分布没有规律，因此不属于相关关系．故选D．
二、填空题
6．下列两个变量之间具有相关关系的是_②④__.(填序号)
①正方形的边长a和面积S；
②一个人的身高h和右手一拃长x；
③真空中的自由落体运动其下落的距离h和下落的时间t；
④一个人的身高h和体重x.
[解析] 对于①，正方形的边长a和面积S是函数关系，不是相关关系；对于②，一般情况下，一个人的身高h和右手一拃长x是正相关关系；对于③，真空中的自由落体运动其下落的距离h和下落的时间t是函数关系，不是相关关系；对于④，一般情况下，一个人的身高h和他的体重x是正相关关系．
7．下列说法中正确的是_①②__(填序号)．
①变量间的线性相关系数r的取值范围为[－1，1]；②变量间的线性相关系数r的绝对值越接近0，则变量间的线性相关程度越低；③变量间的相关系数越小，变量间的相关程度越小．
[解析] 根据题意，依次分析．对于①，相关系数r满足|r|≤1，即相关系数r的取值范围为[－1，1]，①正确；
对于②，根据相关系数的性质知|r|≤1，且|r|越接近1，相关程度越大；
|r|越接近0，相关程度越小，则②正确；
对于③，当r接近－1时，变量间的相关程度比r接近0时的大，故③错误．
8．在一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn不全相等)的散点图中，若所有样本点(xi，yi)(i＝1，2，…，n)都在直线y＝－x＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为_－1__.
[解析] 因为这组样本数据的所有样本点(xi，yi)(i＝1，2，…n)都在直线y＝－x＋1上，所以这组样本数据完全相关，其相关系数是－1.
三、解答题
9．某厂的生产原料耗费x(单位：百万元)与销售额Y(单位：百万元)之间有如下的对应关系：
x
2
4
6
8
Y
30
40
50
70
x与Y之间是否具有线性相关关系？若有，判断相关性的强弱．
[解析] 画出散点图如图所示，由图可知x，Y有线性关系．
＝5，＝47.5，＝120，＝9 900，iyi＝1 080，
r＝
＝≈0.982 7.
故x与Y之间具有很强的正相关关系．
10．一台机器由于使用时间较长，但还可以使用，它按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺点，每小时生产有缺点的零件的多少，随机器运转的速度而变化，下表为抽样试验的结果：
转速x(转/秒)
16
14
12
8
每小时生产有缺点的零件数y(件)
11
9
8
5
计算线性相关系数并判断变量y与x的关系．
[解析] 由题中数据可得＝12.5，＝8.25，
iyi＝438，4＝412.5，
＝660，＝291，
所以r＝＝＝≈0.995.
因为0.995接近于1，所以y与x具有较强的线性相关关系．
B组·素养提升
一、选择题
1．(多选)以下各对变量成正相关的是( CD )
A．学生的学籍号与学生的数学成绩
B．坚持每天吃早餐的人数与患胃病的人数
C．气温与冷饮销售量
D．电瓶车的重量和行驶每千米的耗电量
[解析] 对于A，学生的学籍号与学生的数学成绩没有相关关系；对于B，一般情况下，坚持每天吃早餐的人数与患胃病的人数成负相关关系；对于C，一般情况下，气温与冷饮销售量成正相关关系；对于D，一般情况下，电瓶车的重量和行驶每千米的耗电量成正相关关系．
2．某商家今年上半年各月的人均销售额(单位：千元)与利润率统计表如下：
月份
1
2
3
4
5
6
人均销售额
6
5
8
3
4
7
利润率/%
12.6
10.4
18.5
3.0
8.1
16.3
根据表中数据，下列说法正确的是( C )
A．利润率与人均销售额成正比例函数关系
B．利润率与人均销售额成反比例函数关系
C．利润率与人均销售额成正相关关系
D．利润率与人均销售额成负相关关系
[解析] 根据题意，画出利润率与人均销售额的散点图，如图所示．
由散点图可知，利润率与人均销售额成正相关关系．故选C．
3．(2022·江苏省盐城中学高三月考)相关变量x，y的散点图如图所示，现对这两个变量进行线性相关分析，方案一：根据图中所有数据计算得到的相关系数为r1；方案二：剔除点(10，21)后，根据剩下的数据计算得到的相关系数为r2.则( D )
A．0
A．r1＝r2 B．0
5．如图所示的五组数据(x，y)中，去掉_(4，10)__后，剩下的四组数据相关性增强．
[解析] 去掉点(4，10)后，其余四点大致在一条直线附近，相关性增强．
6．变量X与Y相对应的一组数据为(10，1)，(11.3，2)，(11.8，3)，(12.5，4)，(13，5)；变量U与V相对应的一组数据为(10，5)，(11.3，4)，(11.8，3)，(12.5，2)，(13，1)．r1表示变量Y与X之间的线性相关系数，r2表示变量V与U之间的线性相关系数，则r1，r2，0的大小关系为_r2<0
7．(2022·河南郑州高一期末)现求得甲、乙、丙3组不同的成对样本数据的样本相关系数分别为0.81，－0.98，0.63，其中_乙__(填甲、乙、丙中的一个)组成对样本数据的线性相关程度最强．
[解析] 因为成对样本数据的样本相关系数的绝对值越接近1，相关程度越强，又甲、乙、丙3组不同的成对样本数据的样本相关系数分别为0.81，－0.98，0.63，乙组的样本相关系数的绝对值最接近1，所以乙组成对样本数据的线性相关程度最强．
三、解答题
8．炼钢是一个氧化降碳的过程，钢水含碳量的多少直接影响冶炼时间的长短，必须掌握钢水含碳量和冶炼时间的关系．如果已测得炉料熔化完毕时钢水的含碳量x与冶炼时间y(从炉料熔化完毕到出钢的时间)的一组数据，如表所示：
x(0.01%)
104
180
190
177
147
134
150
191
204
121
y(min)
100
200
210
185
155
135
170
205
235
125
判断含碳量与冶炼时间的相关关系的强弱．
[解析] 由已知数据列成下表.
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
xi
104
180
190
177
147
134
150
191
204
121
yi
100
200
210
185
155
135
170
205
235
125
xiyi
10 400
36 000
39 900
32 745
22 785
18 090
25 500
39 155
47 940
15 125
＝159.8，＝172，
＝265 448，＝312 350，iyi＝287 640
于是r＝≈0.990 6.y与x具有很强的线性相关关系．
9．(2022·山东临沂高二期末)根据统计，某蔬菜基地西红柿亩产量的增加量y(百千克)与某种液体肥料每亩使用量x(千克)之间对应数据的散点图如图所示．
依据散点图可以看出，y与x间具有较强的线性相关关系，请计算样本相关系数r并加以说明(若|r|>0.75，则线性相关程度很高)．
附：样本相关系数公式
r＝
＝，
参考数据：≈0.55，≈0.95.
[解析] 由已知数据可得＝＝5，＝＝4.
所以(xi－)(yi－)＝(－3)×(－1)＋(－1)×0＋0×0＋1×0＋3×1＝6，
＝＝2，
＝＝，
所以样本相关系数r＝＝＝≈0.95.因为|r|>0.75，所以y与x具有较强的线性相关关系．
第八章 8.1
A组·素养自测
一、选择题
1．(多选)下列关系中，属于相关关系的是( BD )
A．正方形的边长与面积之间的关系
B．农作物的产量与施肥量之间的关系
C．人的身高与年龄之间的关系
D．降雪量与交通事故的发生率之间的关系
[解析] 在A中正方形的边长与面积之间的关系是函数关系；在B中，农作物的产量与施肥量之间不具有严格的函数关系，但具有相关关系；在C中，人的身高与年龄之间的关系既不是函数关系，也不是相关关系，因为人的年龄达到一定时期身高就不发生明显变化了，因而它们不具有相关关系；在D中，降雪量与交通事故的发生率之间具有相关关系．
2．(2022·重庆高一期中)已知x，y是两个变量，下列四个散点图中，x，y呈正相关趋势的是( A )
[解析] x，y呈正相关趋势时，散点图应该是从左下到右上趋势，由图可知选项A中的散点图是从左下到右上趋势，描述了y随着x的增大而增大的变化趋势，故选A．
3．已知两个变量x，y与其线性相关系数r，下列说法正确的是( C )
①若r>0，则x增大时，y也相应增大；②若r<0，则x增大时，y也相应增大；③若r＝1或r＝－1，则x与y的关系完全相关(有函数关系)．
A．①② B．②③
C．①③ D．①②③
[解析] 若两个变量正相关，则因变量随着自变量的增大(减小)而增大(减小)，此时相关系数r>0；若两个变量负相关，则因变量随自变量的增大(减小)而减小(增大)，此时相关系数r<0；若|r|＝1，则两个变量完全相关．故选C．
4．(多选)某校地理学兴趣小组在某座山测得海拔高度、气压和沸点的六组数据绘制成散点图如图所示，则下列说法正确的是( BCD )
A．沸点与海拔高度呈正相关
B．沸点与气压呈正相关
C．沸点与海拔高度呈负相关
D．沸点与海拔高度、沸点与气压的相关性都很强
[解析] 由左图知气压随海拔高度的增加而减小，由右图知沸点随气压的升高而升高，所以沸点与气压呈正相关，沸点与海拔高度呈负相关，由于两个散点图中的点都成线性分布，所以沸点与海拔高度、沸点与气压的相关性都很强，故B，C、D正确，A错误．
5．在下列各图中，两个变量具有相关关系的是( D )
A．①② B．①③
C．②④ D．②③
[解析] 显然题图①属于函数关系，因为每个x值对应一个y值，这是确定的关系；题图②中散点图中各点分布的区域大致为从左下角到右上角，这属于正相关关系；题图③中尽管从散点图中各点分布的区域来看，二者既不属于正相关关系，也不属于负相关关系，但是各点大致在一条曲线附近，对于每个x，其对应的y呈现出一定的规律性，因此这两个变量具有相关关系；题图④中各点分布很均匀，但对于每个x，y的分布没有规律，因此不属于相关关系．故选D．
二、填空题
6．下列两个变量之间具有相关关系的是_②④__.(填序号)
①正方形的边长a和面积S；
②一个人的身高h和右手一拃长x；
③真空中的自由落体运动其下落的距离h和下落的时间t；
④一个人的身高h和体重x.
[解析] 对于①，正方形的边长a和面积S是函数关系，不是相关关系；对于②，一般情况下，一个人的身高h和右手一拃长x是正相关关系；对于③，真空中的自由落体运动其下落的距离h和下落的时间t是函数关系，不是相关关系；对于④，一般情况下，一个人的身高h和他的体重x是正相关关系．
7．下列说法中正确的是_①②__(填序号)．
①变量间的线性相关系数r的取值范围为[－1，1]；②变量间的线性相关系数r的绝对值越接近0，则变量间的线性相关程度越低；③变量间的相关系数越小，变量间的相关程度越小．
[解析] 根据题意，依次分析．对于①，相关系数r满足|r|≤1，即相关系数r的取值范围为[－1，1]，①正确；
对于②，根据相关系数的性质知|r|≤1，且|r|越接近1，相关程度越大；
|r|越接近0，相关程度越小，则②正确；
对于③，当r接近－1时，变量间的相关程度比r接近0时的大，故③错误．
8．在一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn不全相等)的散点图中，若所有样本点(xi，yi)(i＝1，2，…，n)都在直线y＝－x＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为_－1__.
[解析] 因为这组样本数据的所有样本点(xi，yi)(i＝1，2，…n)都在直线y＝－x＋1上，所以这组样本数据完全相关，其相关系数是－1.
三、解答题
9．某厂的生产原料耗费x(单位：百万元)与销售额Y(单位：百万元)之间有如下的对应关系：
x
2
4
6
8
Y
30
40
50
70
x与Y之间是否具有线性相关关系？若有，判断相关性的强弱．
[解析] 画出散点图如图所示，由图可知x，Y有线性关系．
＝5，＝47.5，＝120，＝9 900，iyi＝1 080，
r＝
＝≈0.982 7.
故x与Y之间具有很强的正相关关系．
10．一台机器由于使用时间较长，但还可以使用，它按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺点，每小时生产有缺点的零件的多少，随机器运转的速度而变化，下表为抽样试验的结果：
转速x(转/秒)
16
14
12
8
每小时生产有缺点的零件数y(件)
11
9
8
5
计算线性相关系数并判断变量y与x的关系．
[解析] 由题中数据可得＝12.5，＝8.25，
iyi＝438，4＝412.5，
＝660，＝291，
所以r＝＝＝≈0.995.
因为0.995接近于1，所以y与x具有较强的线性相关关系．
B组·素养提升
一、选择题
1．(多选)以下各对变量成正相关的是( CD )
A．学生的学籍号与学生的数学成绩
B．坚持每天吃早餐的人数与患胃病的人数
C．气温与冷饮销售量
D．电瓶车的重量和行驶每千米的耗电量
[解析] 对于A，学生的学籍号与学生的数学成绩没有相关关系；对于B，一般情况下，坚持每天吃早餐的人数与患胃病的人数成负相关关系；对于C，一般情况下，气温与冷饮销售量成正相关关系；对于D，一般情况下，电瓶车的重量和行驶每千米的耗电量成正相关关系．
2．某商家今年上半年各月的人均销售额(单位：千元)与利润率统计表如下：
月份
1
2
3
4
5
6
人均销售额
6
5
8
3
4
7
利润率/%
12.6
10.4
18.5
3.0
8.1
16.3
根据表中数据，下列说法正确的是( C )
A．利润率与人均销售额成正比例函数关系
B．利润率与人均销售额成反比例函数关系
C．利润率与人均销售额成正相关关系
D．利润率与人均销售额成负相关关系
[解析] 根据题意，画出利润率与人均销售额的散点图，如图所示．
由散点图可知，利润率与人均销售额成正相关关系．故选C．
3．(2022·江苏省盐城中学高三月考)相关变量x，y的散点图如图所示，现对这两个变量进行线性相关分析，方案一：根据图中所有数据计算得到的相关系数为r1；方案二：剔除点(10，21)后，根据剩下的数据计算得到的相关系数为r2.则( D )
A．0
A．r1＝r2 B．0
5．如图所示的五组数据(x，y)中，去掉_(4，10)__后，剩下的四组数据相关性增强．
[解析] 去掉点(4，10)后，其余四点大致在一条直线附近，相关性增强．
6．变量X与Y相对应的一组数据为(10，1)，(11.3，2)，(11.8，3)，(12.5，4)，(13，5)；变量U与V相对应的一组数据为(10，5)，(11.3，4)，(11.8，3)，(12.5，2)，(13，1)．r1表示变量Y与X之间的线性相关系数，r2表示变量V与U之间的线性相关系数，则r1，r2，0的大小关系为_r2<0
7．(2022·河南郑州高一期末)现求得甲、乙、丙3组不同的成对样本数据的样本相关系数分别为0.81，－0.98，0.63，其中_乙__(填甲、乙、丙中的一个)组成对样本数据的线性相关程度最强．
[解析] 因为成对样本数据的样本相关系数的绝对值越接近1，相关程度越强，又甲、乙、丙3组不同的成对样本数据的样本相关系数分别为0.81，－0.98，0.63，乙组的样本相关系数的绝对值最接近1，所以乙组成对样本数据的线性相关程度最强．
三、解答题
8．炼钢是一个氧化降碳的过程，钢水含碳量的多少直接影响冶炼时间的长短，必须掌握钢水含碳量和冶炼时间的关系．如果已测得炉料熔化完毕时钢水的含碳量x与冶炼时间y(从炉料熔化完毕到出钢的时间)的一组数据，如表所示：
x(0.01%)
104
180
190
177
147
134
150
191
204
121
y(min)
100
200
210
185
155
135
170
205
235
125
判断含碳量与冶炼时间的相关关系的强弱．
[解析] 由已知数据列成下表.
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
xi
104
180
190
177
147
134
150
191
204
121
yi
100
200
210
185
155
135
170
205
235
125
xiyi
10 400
36 000
39 900
32 745
22 785
18 090
25 500
39 155
47 940
15 125
＝159.8，＝172，
＝265 448，＝312 350，iyi＝287 640
于是r＝≈0.990 6.y与x具有很强的线性相关关系．
9．(2022·山东临沂高二期末)根据统计，某蔬菜基地西红柿亩产量的增加量y(百千克)与某种液体肥料每亩使用量x(千克)之间对应数据的散点图如图所示．
依据散点图可以看出，y与x间具有较强的线性相关关系，请计算样本相关系数r并加以说明(若|r|>0.75，则线性相关程度很高)．
附：样本相关系数公式
r＝
＝，
参考数据：≈0.55，≈0.95.
[解析] 由已知数据可得＝＝5，＝＝4.
所以(xi－)(yi－)＝(－3)×(－1)＋(－1)×0＋0×0＋1×0＋3×1＝6，
＝＝2，
＝＝，
所以样本相关系数r＝＝＝≈0.95.因为|r|>0.75，所以y与x具有较强的线性相关关系．
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