新教材2023年高中数学本册综合检测2新人教A版选择性必修第二册

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第二册全册综合课后复习题，共10页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
本册综合检测(二)
考试时间120分钟，满分150分．
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．数列{an}满足a1＝－3，an＋1＝3an－1(n∈N*)，那么a4的值为(　C　)
A．－10　　 B．－31　　
C．－94　　 D．94
[解析]　a2＝3×(－3)－1＝－10，a3＝3×(－10)－1＝－31，a4＝3×(－31)－1＝－94，故选C．
2．函数f(x)＝2ex＋的图象在点(0，f(0))处的切线方程为(　C　)
A．x＋y＋3＝0　　 B．x＋y－3＝0
C．x－y＋3＝0　　 D．x－y－3＝0
[解析]　因为f ′(x)＝2ex－，所以f ′(0)＝1，f(0)＝3，故所求的切线方程为x－y＋3＝0.
3．(2022·全国新高考Ⅱ卷)中国的古建筑不仅是挡风遮雨的住处，更是美学和哲学的体现．如图是某古建筑物的剖面图，其中DD1，CC1，BB1，AA1是举，OD1，DC1，CB1，BA1是相等的步，相邻桁的举步之比分别为＝0.5，＝k1，＝k2，＝k3，已知k1，k2，k3成公差为0.1的等差数列，且直线OA的斜率为0.725，则k3＝(　D　)


A．0.75　　 B．0.8　　
C．0.85　　 D．0.9
[解析]　设OD1＝DC1＝CB1＝BA1＝1，则CC1＝k1，BB1＝k2，AA1＝k3.
由题意得k3＝k1＋0.2，k3＝k2＋0.1
且＝0.725，
解得k3＝0.9，故选D．
4．某公司生产某种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总收入R与年产量x的关系是R(x)＝则总利润最大时，每年生产的产品件数为(　D　)
A．100　　 B．200　　
C．250　　 D．300
[解析]　由题意知，总成本为C＝20 000＋100x，所以总利润为
P＝R(x)－C＝
P′＝
令P′＝0，当0≤x≤400时，得x＝300；当x>400时，P′－1　　 B．－1b
C．c>b>a　　 D．b>a>c
[解析]　∵(x－1)f ′(x)＜0，
∴当x＞1时，f ′(x)＜0，此时函数f(x)单调递减；
当x＜1时，f ′(x)＞0，此时函数f(x)单调递增．
又f(1.9＋x)＝f(0.1－x)，∴f(x)＝f(2－x)，
∴f(3)＝f(2－(－1))＝f(－1)，
∵－1＜00，则a2 019>0
C．若a3>0，则S2 019>0
D．若a4>0，则S2 018>0
[解析]　当a3＝a1q2>0时，a1为正数，q无法确定，故当q＝1时，S2 019＝2 019a1>0，当q≠1时，S2 019＝，分析可得q>1与q0，C选项正确．而a2 018＝a1q2 017无法确定正负，A选项错误．当a4＝a1q3>0时，不妨设数列为－1，1，－1，1，…则a2 019＝－10时－mex1＋x2恒成立，则m的取值范围为__(－∞，2]__．
[解析]　>mex1＋x2⇔ex1－x2－ex2－x1－m(x1－x2)>0恒成立，
令t＝x1－x2>0，则不等式转化为et－e－t－mt>0，
设函数f(t)＝et－e－t－mt(t>0)，f ′(t)＝et＋e－t－m，
当m≤2时，f ′(t)>0，则f(t)在(0，＋∞)上单调递增，故f(t)>f(0)＝0，符合题意；当m>2时，由于f ″(t)＝et－e－t>0，故f ′(t)在(0，＋∞)上单调递增，存在t0∈(0，＋∞)满足f ′(t0)＝0，即f(t)在(0，t0)单调递减，(t0，＋∞)单调递增，因此当t∈(0，t0)时，f(t)0，
∴g(x)在(－1，1)上单调递增．
19．(本小题满分12分)(2021·全国甲卷)已知数列{an}的各项均为正数，记Sn为{an}的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
①数列{an}是等差数列；②数列{}是等差数列；
③a2＝3a1.
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
[解析]　选①②作条件证明③：
设＝an＋b(a>0)，则Sn＝(an＋b)2，
当n＝1时，a1＝S1＝(a＋b)2；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(an＋b)2－(an－a＋b)2＝a(2an－a＋2b)；
因为{an}也是等差数列，
所以(a＋b)2＝a(2a－a＋2b)，解得b＝0；
所以an＝a2(2n－1)，所以a2＝3a1.
选①③作条件证明②：
因为a2＝3a1，{an}是等差数列，
所以公差d＝a2－a1＝2a1，
所以Sn＝na1＋d＝n2a1，即＝n，
因为－＝(n＋1)－n＝，
所以{}是等差数列．
选②③作条件证明①：
设＝an＋b(a>0)，则Sn＝(an＋b)2，
当n＝1时，a1＝S1＝(a＋b)2；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(an＋b)2－(an－a＋b)2＝a(2an－a＋2b)；
因为a2＝3a1，所以a(3a＋2b)＝3(a＋b)2，解得b＝0或b＝－；
当b＝0时，a1＝a2，an＝a2(2n－1)，当n≥2时，an－an－1＝2a2满足等差数列的定义，此时{an}为等差数列；
当b＝－时，＝an＋b＝an－a，＝－g(1)，
当n＝2时，f(2)＝，g(2)＝，f(2)>g(2)，
当n＝3时，f(3)＝，g(3)＝，f(3)>g(3)．
(2)猜想：f(n)>g(n)(n∈N*)，
即…>.
下面用数学归纳法证明：①当n＝1时，上面已证．
②假设当n＝k(k∈N*)时，猜想成立，即
…>，则当n＝k＋1时，
f(k＋1)＝…·>
＝×＝.
因为＝＝g(k＋1)，
所以，当n＝k＋1时猜想也成立．
综上可知：对任意n∈N*，猜想均成立．
21．(本小题满分12分)为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用15年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为8万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位cm)满足关系C(x)＝(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f(x)为隔热层建造费用与15年的能源耗费用之和．
(1)求k的值及f(x)的表达式；
(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．
[解析]　(1)设隔热层厚度为x cm，由题设，每年能源消耗费用为C(x)＝，再由C(0)＝8，得k＝40，
因此C(x)＝，而建造费用为C1(x)＝8x，
因此得隔热层建造费用与15年的能源消耗费用之和为
f(x)＝15C(x)＋C1(x)＝15×＋8x＝＋8x(0≤x≤10)．
(2)f ′(x)＝8－，令f ′(x)＝0，即＝8，
解得x＝，x＝－(舍去)，
由0