2023年全国统一高考数学试卷（理科）（乙卷）

这是一份2023年全国统一高考数学试卷（理科）（乙卷），共35页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年全国统一高考数学试卷（理科）（乙卷）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）设z＝，则＝（　　）
A．1﹣2i B．1+2i C．2﹣i D．2+i
2．（5分）设集合U＝R，集合M＝{x|x＜1}，N＝{x|﹣1＜x＜2}，则{x|x≥2}＝（　　）
A．∁U（M∪N） B．N∪∁UM C．∁U（M∩N） D．M∪∁UN
3．（5分）如图，网格纸上绘制的一个零件的三视图，网格小正方形的边长为1，则该零件的表面积为（　　）

A．24 B．26 C．28 D．30
4．（5分）已知f（x）＝是偶函数，则a＝（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
5．（5分）设O为平面坐标系的坐标原点，在区域{（x，y）|1≤x2+y2≤4}内随机取一点，记该点为A，则直线OA的倾斜角不大于的概率为（　　）
A． B． C． D．
6．（5分）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）在区间（，）单调递增，直线x＝和x＝为函数y＝f（x）的图像的两条对称轴，则f（﹣）＝（　　）
A．﹣ B．﹣ C． D．
7．（5分）甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（　　）
A．30种 B．60种 C．120种 D．240种
8．（5分）已知圆锥PO的底面半径为，O为底面圆心，PA，PB为圆锥的母线，∠AOB＝120°，若△PAB的面积等于，则该圆锥的体积为（　　）
A．π B．π C．3π D．3π
9．（5分）已知△ABC为等腰直角三角形，AB为斜边，△ABD为等边三角形，若二面角C﹣AB﹣D为150°，则直线CD与平面ABC所成角的正切值为（　　）
A． B． C． D．
10．（5分）已知等差数列{an}的公差为，集合S＝{cosan|n∈N*}，若S＝{a，b}，则ab＝（　　）
A．﹣1 B．﹣ C．0 D．
11．（5分）设A，B为双曲线x2﹣＝1上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（　　）
A．（1，1） B．（﹣1，2） C．（1，3） D．（﹣1，﹣4）
12．（5分）已知⊙O的半径为1，直线PA与⊙O相切于点A，直线PB与⊙O交于B，C两点，D为BC的中点，若|PO|＝，则•的最大值为（　　）
A． B． C．1+ D．2+
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）已知点A（1，）在抛物线C：y2＝2px上，则A到C的准线的距离为 　 　．
14．（5分）若x，y满足约束条件，则z＝2x﹣y的最大值为 　 　．
15．（5分）已知{an}为等比数列，a2a4a5＝a3a6，a9a10＝﹣8，则a7＝　 　．
16．（5分）设a∈（0，1），若函数f（x）＝ax+（1+a）x在（0，+∞）上单调递增，则a的取值范围是 　 　．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。
17．（12分）某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率，甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为xi，yi（i＝1，2，…10）．试验结果如下：
试验序号i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
伸缩率xi
545
533
551
522
575
544
541
568
596
548
伸缩率yi
536
527
543
530
560
533
522
550
576
536
记zi＝xi﹣yi（i＝1，2，⋯，10），记z1，z2，⋯，z10的样本平均数为，样本方差为s2．
（1）求，s2；
（2）判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高．（如果≥2，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高）
18．（12分）在△ABC中，已知∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1．
（1）求sin∠ABC；
（2）若D为BC上一点．且∠BAD＝90°，求△ADC的面积．
19．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，AB⊥BC，AB＝2，BC＝2，PB＝PC＝，AD＝DO，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，点F在AC上，BF⊥AO．
（1）证明：EF∥平面ADO；
（2）证明：平面ADO⊥平面BEF；
（3）求二面角D﹣AO﹣C的正弦值．

20．（12分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，点A（﹣2，0）在C上．
（1）求C的方程；
（2）过点（﹣2，3）的直线交C于点P，Q两点，直线AP，AQ与y轴的交点分别为M，N，证明：线段MN的中点为定点．
21．（12分）已知函数f（x）＝（+a）ln（1+x）．
（1）当a＝﹣1时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）是否存在a，b，使得曲线y＝f（）关于直线x＝b对称，若存在，求a，b的值，若不存在，说明理由；
（3）若f（x）在（0，+∞）存在极值，求a的取值范围．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
22．（10分）在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ＝2sinθ（≤θ≤），曲线C2：（α为参数，＜α＜π）．
（1）写出C1的直角坐标方程；
（2）若直线y＝x+m既与C1没有公共点，也与C2没有公共点、求m的取值范围．
[选修4-5：不等式选讲]（10分）
23．已知f（x）＝2|x|+|x﹣2|．
（1）求不等式f（x）≤6﹣x的解集；
（2）在直角坐标系xOy中，求不等式组所确定的平面区域的面积．

2023年全国统一高考数学试卷（理科）（乙卷）
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）设z＝，则＝（　　）
A．1﹣2i B．1+2i C．2﹣i D．2+i
【分析】先对z进行化简，再根据共轭复数概念写出即可．
【解答】解：∵i2＝﹣1，i5＝i，
∴z＝
＝
＝1﹣2i，
∴＝1+2i．
故选：B．
2．（5分）设集合U＝R，集合M＝{x|x＜1}，N＝{x|﹣1＜x＜2}，则{x|x≥2}＝（　　）
A．∁U（M∪N） B．N∪∁UM C．∁U（M∩N） D．M∪∁UN
【分析】由数据可直接判断，必要时可借助数轴分析．
【解答】解：由题意：M∪N＝{x|x＜2}，又U＝R，
∴∁U（M∪N）＝{x|x≥2}．
故选：A．
3．（5分）如图，网格纸上绘制的一个零件的三视图，网格小正方形的边长为1，则该零件的表面积为（　　）

A．24 B．26 C．28 D．30
【分析】首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步求出几何体的表面积．
【解答】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体是由两个直四棱柱组成的几何体．
如图所示：

故该几何体的表面积为：4+6+5+5+2+2+2+4＝30．
故选：D．
4．（5分）已知f（x）＝是偶函数，则a＝（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
【分析】根据偶函数的性质，运算即可得解．
【解答】解：∵f（x）＝的定义域为{x|x≠0}，又f（x）为偶函数，
∴f（﹣x）＝f（x），
∴，
∴，
∴ax﹣x＝x，∴a＝2．
故选：D．
5．（5分）设O为平面坐标系的坐标原点，在区域{（x，y）|1≤x2+y2≤4}内随机取一点，记该点为A，则直线OA的倾斜角不大于的概率为（　　）
A． B． C． D．
【分析】作出图形，根据几何概型的概率公式，即可求解．
【解答】解：如图，PQ为第一象限与第三象限的角平分线，
根据题意可得构成A的区域为圆环，
而直线OA的倾斜角不大于的点A构成的区域为图中阴影部分，
∴所求概率为＝．
故选：C．

6．（5分）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）在区间（，）单调递增，直线x＝和x＝为函数y＝f（x）的图像的两条对称轴，则f（﹣）＝（　　）
A．﹣ B．﹣ C． D．
【分析】先根据题意建立方程求出参数，再计算，即可得解．
【解答】解：根据题意可知＝，
∴T＝π，取ω＞0，∴ω＝＝2，
又根据“五点法“可得，k∈Z，
∴φ＝，k∈Z，
∴f（x）＝sin（2x）＝sin（2x﹣），
∴f（﹣）＝sin（﹣）＝sin（﹣）＝sin＝．
故选：D．
7．（5分）甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（　　）
A．30种 B．60种 C．120种 D．240种
【分析】根据排列组合数公式，即可求解．
【解答】解：根据题意可得满足题意的选法种数为：＝120．
故选：C．
8．（5分）已知圆锥PO的底面半径为，O为底面圆心，PA，PB为圆锥的母线，∠AOB＝120°，若△PAB的面积等于，则该圆锥的体积为（　　）
A．π B．π C．3π D．3π
【分析】根据题意，设该圆锥的高为h，即PO＝h，取AB的中点E，连接PE，利用余弦定理求出AB的长，分析可得PE⊥AB，由三角形面积公式求出PE的长，由此求出h的值，由圆锥的体积计算可得答案．
【解答】解：根据题意，设该圆锥的高为h，即PO＝h，取AB的中点E，连接PE、OE，
由于圆锥PO的底面半径为，即OA＝OB＝，
而∠AOB＝120°，故AB＝＝＝3，
同时OE＝OA×sin30°＝，
△PAB中，PA＝PB，E为AB的中点，则有PE⊥AB，
又由△PAB的面积等于，即PE•AB＝，变形可得PE＝，
而PE＝，则有h2+＝，解可得h＝，
故该圆锥的体积V＝π×（）2h＝π．
故选：B．

9．（5分）已知△ABC为等腰直角三角形，AB为斜边，△ABD为等边三角形，若二面角C﹣AB﹣D为150°，则直线CD与平面ABC所成角的正切值为（　　）
A． B． C． D．
【分析】取AB的中点E，连接CE，DE，则根据题意易得二面角C﹣AB﹣D的平面角为∠CED＝150°，又易知平面AED⊥平面ABC，从而得直线CD与平面ABC所成角为∠DCE，再解三角形，即可求解．
【解答】解：如图，取AB的中点E，连接CE，DE，

则根据题意易得AB⊥CE，AB⊥DE，
∴二面角C﹣AB﹣D的平面角为∠CED＝150°，
∵AB⊥CE，AB⊥DE，且CE∩DE＝E，
∴AB⊥平面AED，又AB⊂平面ABC，
∴平面AED⊥平面ABC，
∴CD在平面ABC内的射影为CE，
∴直线CD与平面ABC所成角为∠DCE，
过D作DH垂直CE所在直线，垂足点为H，
设等腰直角三角形ABC的斜边长为2，
则可易得CE＝1，DE＝，又∠DEH＝30°，
∴DH＝，EH＝，∴CH＝1+＝，
∴tan∠DCE＝＝＝．
故选：C．
10．（5分）已知等差数列{an}的公差为，集合S＝{cosan|n∈N*}，若S＝{a，b}，则ab＝（　　）
A．﹣1 B．﹣ C．0 D．
【分析】根据等差数列的通项公式，三角函数的周期性，特值法，即可求解．
【解答】解：设等差数列{an}的首项为a1，又公差为，
∴，
∴，其周期为＝3，
又根据题意可知S集合中仅有两个元素，
∴可利用对称性，对an取特值，
如a1＝0，，，•••，或，，a3＝π，•••，
代入集合S中计算易得：ab＝．
故选：B．
11．（5分）设A，B为双曲线x2﹣＝1上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（　　）
A．（1，1） B．（﹣1，2） C．（1，3） D．（﹣1，﹣4）
【分析】设AB中点为（x0，y0），利用点差法求得中点弦斜率，列不等式组求解即可．
【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点为（x0，y0），
，
①﹣②得kAB＝＝9×＝9×，
即﹣3＜9×＜3⇒，
即或．
故选：D．
12．（5分）已知⊙O的半径为1，直线PA与⊙O相切于点A，直线PB与⊙O交于B，C两点，D为BC的中点，若|PO|＝，则•的最大值为（　　）
A． B． C．1+ D．2+
【分析】设∠OPC＝α，则，根据题意可得∠AP＝45°，再将•转化为α的函数，最后通过函数思想，即可求解．
【解答】解：如图，设∠OPC＝α，则，
根据题意可得：∠APO＝45°，
∴
＝
＝cos2α﹣sinαcosα
＝
＝，又，
∴当，α＝，cos（）＝1时，
取得最大值．
故选：A．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）已知点A（1，）在抛物线C：y2＝2px上，则A到C的准线的距离为 　　．
【分析】根据已知条件，先求出p，再结合抛物线的定义，即可求解．
【解答】解：点A（1，）在抛物线C：y2＝2px上，
则5＝2p，解得p＝，
由抛物线的定义可知，A到C的准线的距离为．
故答案为：．
14．（5分）若x，y满足约束条件，则z＝2x﹣y的最大值为 　8　．
【分析】作出可行域，变形目标函数，平移直线y＝2x，由截距的几何意义可得．
【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，如图所示：
由z＝2x﹣y可得y＝2x﹣z，
则﹣z表示直线y＝2x﹣z在y轴上的截距，截距越小，z越大，
结合图形可知，当y＝2x﹣z经过点A时，Z最大，
由可得y＝2，x＝5，即A（5，2），
此时z取得最大值8．
故答案为：8．

15．（5分）已知{an}为等比数列，a2a4a5＝a3a6，a9a10＝﹣8，则a7＝　﹣2　．
【分析】根据等比数列的性质即可求解．
【解答】解：∵等比数列{an}，
∴a2a4a5＝a2a3a6＝a3a6，解得a2＝1，
而a9a10＝a2q7a2q8＝（a2）2q15＝﹣8，可得q15＝（q5）3＝﹣8，
即q5＝﹣2，
a7＝a2•q5＝1×（﹣2）＝﹣2．
故答案为：﹣2．
16．（5分）设a∈（0，1），若函数f（x）＝ax+（1+a）x在（0，+∞）上单调递增，则a的取值范围是 　[，1）　．
【分析】由函数f（x）＝ax+（1+a）x在（0，+∞）上单调递增，可得导函数f′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，再参变量分离求解即可得出答案．
【解答】解：∵函数f（x）＝ax+（1+a）x在（0，+∞）上单调递增，
∴f′（x）＝axlna+（1+a）xln（1+a）≥0在（0，+∞）上恒成立，
即（1+a）xln（1+a）≥﹣axlna，化简可得在（0，+∞）上恒成立，
而在（0，+∞）上＞1，
故有，由a∈（0，1），化简可得ln（1+a）≥ln，
即1+a，a2+a﹣1≥0，
解答，
故a的取值范围是[，1）．
故答案为：[，1）．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。
17．（12分）某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率，甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为xi，yi（i＝1，2，…10）．试验结果如下：
试验序号i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
伸缩率xi
545
533
551
522
575
544
541
568
596
548
伸缩率yi
536
527
543
530
560
533
522
550
576
536
记zi＝xi﹣yi（i＝1，2，⋯，10），记z1，z2，⋯，z10的样本平均数为，样本方差为s2．
（1）求，s2；
（2）判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高．（如果≥2，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高）
【分析】（1）根据表中数据，计算zi＝xi﹣yi（i＝1，2，…，10），求平均数和方差s2．
（2）根据和2，比较大小即可得出结论．
【解答】解：（1）根据表中数据，计算zi＝xi﹣yi（i＝1，2，…，10），填表如下：
试验序号i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
伸缩率xi
545
533
551
522
575
544
541
568
596
548
伸缩率yi
536
527
543
530
560
533
522
550
576
536
zi＝xi﹣yi
9
6
8
﹣8
15
11
19
18
20
12
计算平均数为＝zi＝×（9+6+8﹣8+15+11+19+18+20+12）＝11，
方差为s2＝＝×[（﹣2）2+（﹣5）2+（﹣3）2+（﹣19）2+42+02+82+72+92+12]＝61．
（2）由（1）知，＝11，2＝2＜2＝5，
所以≥2，认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高．
18．（12分）在△ABC中，已知∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1．
（1）求sin∠ABC；
（2）若D为BC上一点．且∠BAD＝90°，求△ADC的面积．
【分析】（1）由余弦定理可求BC，进而可求sin∠ABC；
（2）由已知可求tan∠ABC，进而可得AD，可求面积．
【解答】解：（1）在△ABC中，由余弦定理可知 BC2＝22+12﹣2×1×2×cos120°＝7，
，∴由余弦定理可得cos∠ABC＝＝，
又∠ABC∈（0，π），∴sin∠ABC＝＝＝，

（2）由（1）知：cos∠ABC＝，sin∠ABC＝，
∴tan∠ABC＝，∴AD＝，∴AD＝，
∴△ADC的面积为×AD×AC×sin∠DAC＝××1×＝．
19．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，AB⊥BC，AB＝2，BC＝2，PB＝PC＝，AD＝DO，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，点F在AC上，BF⊥AO．
（1）证明：EF∥平面ADO；
（2）证明：平面ADO⊥平面BEF；
（3）求二面角D﹣AO﹣C的正弦值．

【分析】（1）利用限量法可得OF∥AB，OF＝AB，四边形ODEF为平行四边形，根据线面平行的判定定理即可证明；
（2）由勾股定理可得AO⊥OD，AO⊥EF，根据面面垂直的判定定理即可证明；
（3）设二面角D﹣AO﹣C的平面角为θ，可知θ为和的夹角，利用向量的夹角公式求解即可．
【解答】证明：（1）由题可知，||＝2，设＝λ，
∵＝cos∠BAC＝4，
则＝（）•（）＝+（）＝8λ﹣4＝0，解得，
∴OF∥AB，OF＝AB，
而DE∥AB，DE＝AB，∴DE∥OF，DE＝OF，∴四边形ODEF为平行四边形，
∴EF∥OD，
∵OD⊆平面ADO，EF⫋平面ADO，
∴EF∥平面ADO．
证明：（2）AO＝＝＝PC＝2OD，AD＝OD，
∴AD2＝AO2+OD2，即AO⊥OD，AO⊥EF，
∵BF⊥AO，BF∩EF＝F，
∴AO⊥平面BEF，
∵AO⊆平面ADO，
∴平面ADO⊥平面BEF．
解：（3）设二面角D﹣AO﹣C的平面角为θ，
∵AO⊥OD，AO⊥BF，
∴θ为和的夹角，
||＝||＝，||＝＝，
cosθ＝＝＝＝，
sinθ＝，
∴二面角D﹣AO﹣C的正弦值为．
20．（12分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，点A（﹣2，0）在C上．
（1）求C的方程；
（2）过点（﹣2，3）的直线交C于点P，Q两点，直线AP，AQ与y轴的交点分别为M，N，证明：线段MN的中点为定点．
【分析】（1）由题意列关于a，b，c的方程组，求得a，b，c的值，可得椭圆C的方程；
（2）设PQ：y﹣3＝k（x+2），即y＝kx+2k+3，k＜0，P（x1，y1），Q（x2，y2），联立直线方程与椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系求得x1+x2与x1x2的值，写出直线AP、AQ的方程，求得M与N的坐标，再由中点坐标公式即可证明MN的中点为定点．
【解答】解：（1）由题意，，解得．
∴椭圆C的方程为；
证明：（2）如图，

要使过点（﹣2，3）的直线交C于点P，Q两点，则PQ的斜率存在且小于0，
设PQ：y﹣3＝k（x+2），即y＝kx+2k+3，k＜0，P（x1，y1），Q（x2，y2），
联立，得（4k2+9）x2+8k（2k+3）x+16k（k+3）＝0．
Δ＝[8k（2k+3）]2﹣4（4k2+9）•16k（k+3）＝﹣1728k＞0．
，，
直线AP：y＝，取x＝0，得M（0，）；
直线AQ：，取x＝0，得N（0，）．
∴
＝
＝
＝2
＝2
＝2×．
∴MN的中点为（0，3），为定点．
21．（12分）已知函数f（x）＝（+a）ln（1+x）．
（1）当a＝﹣1时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）是否存在a，b，使得曲线y＝f（）关于直线x＝b对称，若存在，求a，b的值，若不存在，说明理由；
（3）若f（x）在（0，+∞）存在极值，求a的取值范围．
【分析】（1）a＝﹣1时，求得f（1）＝0，再根据导数的几何意义求得切线斜率，利用点斜式求解即可；
（2）根据函数的定义域和对称性可求得b＝，再利用赋值法求a；
（3）要使f（x）在（0，+∞）存在极值点，则f′（x）＝0有正根，即方程ln（x+1）﹣＝0有正根，记g（x）＝ln（x+1）﹣，x＞0，利用导数与极值的关系分类讨论即可求解．
【解答】解：（1）a＝﹣1时，f（1）＝0，
f′（x）＝ln（x+1）+（﹣1）（），f′（1）＝﹣ln2，
∴曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y＝﹣ln2（x﹣1）．
（2）f（）＝（x+a）ln（），定义域为（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞），
要使函数f（）的图像关于x＝b对称，则由x≠0，且x≠﹣1，可知b＝，
即f（）＝（x+a）ln（）的图像关于x＝对称，
则f（1）＝（1+a）ln2，f（﹣2）＝（﹣2+a）ln＝（a﹣2）ln2，
得1+a＝2﹣a，解得a＝．
综上，a＝，b＝；
（3）f′（x）＝ln（x+1）+（+a）（）＝[ln（x+1）﹣]，
要使f（x）在（0，+∞）存在极值点，则方程ln（x+1）﹣＝0有正根，
记g（x）＝ln（x+1）﹣，x＞0，g′（x）＝，
①当a≤0时，g′（x）＞0，故g（x）在（0，+∞）上单调递增，g（x）＞g（0）＝0，不符合题意；
②当a≥时，g′（x）＜0，故g（x）在（0，+∞）上单调递减，g（x）＜g（0）＝0，不符合题意；
③当0＜a＜时，令g′（x）＞0，0＜x＜，令g′（x）＜0，x＞，
故g（x）在（0，+∞）上单调递增，g（x）＞g（0）＝0，不符合题意；
易知x→+∞时，g（x）→﹣∞，
故只需g（x）≤g（）＝ln（）﹣＝ln（﹣1）+4a﹣2＞0，
记h（t）＝ln（t﹣1）+﹣2，t＞2，h′（t）＝＝＞0，
故h（t）在（2，+∞）上单调递增，
∴h（t）＞h（2）＝0，
故取t＝，0＜a＜，有ln（﹣1）+4a﹣2＞0，即g（）＞0，符合题意；
综上所述，a∈（0，）时，f（x）在（0，+∞）存在极值点．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
22．（10分）在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ＝2sinθ（≤θ≤），曲线C2：（α为参数，＜α＜π）．
（1）写出C1的直角坐标方程；
（2）若直线y＝x+m既与C1没有公共点，也与C2没有公共点、求m的取值范围．
【分析】（1）直接利用转换关系，在参数方程和直角坐标坐标方程之间进行转换；
（2）利用直线与圆的位置关系和点到直线的距离公式求出实数m的取值范围．
【解答】解：（1）曲线C1的极坐标方程为ρ＝2sinθ（≤θ≤），
根据转换为直角坐标方程为x2+（y﹣1）2＝1，
因为≤θ≤，≤2θ≤π，x＝ρcosθ＝2sinθcosθ＝sin2θ∈[0，1]，
y＝ρsinθ＝2sin2θ＝1﹣cos2θ∈[1，2]，
所以C1的直角坐标方程为x2+（y﹣1）2＝1，x∈[0，1]，y∈[1，2]；
（2）由于曲线C1的方程为x2+（y﹣1）2＝1，（0≤x≤1，1≤y≤2），曲线C2：（α为参数，＜α＜π），转换为直角坐标方程为x2+y2＝4，（﹣2＜x＜0，0＜y＜2）；
如图所示：

由于y＝x与圆C1相交于点（1，1），即m＝0，
当m＜0时，直线y＝x+m与曲线C1没有公共点；
当曲线C2与直线y＝x+m相切时，圆心C2（0，0）到直线y＝x+m的距离d＝，解得m＝2（负值舍去），
由于直线y＝x+m与曲线C2没有公共点，
所以m，
故直线y＝x+m既与C1没有公共点，也与C2没有公共点、实数m的取值范围为．
[选修4-5：不等式选讲]（10分）
23．已知f（x）＝2|x|+|x﹣2|．
（1）求不等式f（x）≤6﹣x的解集；
（2）在直角坐标系xOy中，求不等式组所确定的平面区域的面积．
【分析】（1）根据绝对值的意义，表示成分段函数，然后解不等式即可．
（2）作出不等式组对应的平面区域，求出交点坐标，根据三角形的面积公式进行求解即可．
【解答】解：（1）当x≥2时，f（x）＝2x+x﹣2＝3x﹣2，
当0＜x＜2时，f（x）＝2x﹣x+2＝x+2，
当x≤0时，f（x）＝﹣2x﹣x+2＝﹣3x+2，
则当x≥2时，由f（x）≤6﹣x得3x﹣2≤6﹣x，得4x≤8，即x≤2，此时x＝2．
当0＜x＜2时，由f（x）≤6﹣x得x+2≤6﹣x，得2x＜4，即x＜2，此时0＜x＜2．
当x≤0时，由f（x）≤6﹣x得﹣3x+2≤6﹣x，得2x≥﹣4，即x≥﹣2，此时﹣2≤x≤0．
综上﹣2＜x≤2，即不等式的解集为[﹣2，2]．
（2）不等式组等价为，
作出不等式组对应的平面区域如图：则B（0，2），D（0，6），
由，得，即C（2，4），
由，得，即A（﹣2，8），
则阴影部分的面积S＝S△ABD+S△BCD＝×（6﹣2）×2+×（6﹣2）×2＝4+4＝8．