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2023年河南省洛阳市偃师实验中学中考数学二模试卷（含解析）
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这是一份2023年河南省洛阳市偃师实验中学中考数学二模试卷（含解析），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题，八年级竞赛成绩的平均数等内容，欢迎下载使用。
2023年河南省洛阳市偃师实验中学中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列各数中，最小的数是( )
A. −5 B. 3 C. 0 D. −π
2. 下列交通标识中，是中心对称图形但不是轴对称图形的为( )
A. B. C. D.
3. 下列计算正确的是( )
A. 2a−a=1 B. −2a3÷(−a)=a2
C. a2⋅a3=a6 D. (a3)2=a6
4. 如图是几个小立方块所搭的几何体俯视图，小正方形中的数字表示该位置上小立方块的个数，则这个几何体的主视图是( )
A.
B.
C.
D.
5. 不等式组x+5<26−x≥2+x的解集为( )
A. x<−3 B. x≤2 C. −3
A. 该班人数为40人
B. 得分在50～60分之间的人数所占百分比为20%
C. 得分在90～100分之间的人数最少
D. 得分在80分以上的人数为10人
7. 方程x2+2 3x−3=0根的情况是( )
A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根
C. 没有实数根 D. 有一个实数根
8. 我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗.今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子.现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清、醑酒各几斗？如果设清酒x斗，醑酒y斗，那么可列方程组为( )
A. x+y=5,10x+3y=30 B. x+y=5,3x+10y=30
C. x+y=5,x10+y3=30 D. x+y=5,x3+y10=30
9. 如图，平面直角坐标系中，A(−3,0)，B(2,0)，C(−3,5)，将△ABC绕点A顺时针旋转，当点C的对应点D恰好落在y轴正半轴上时，点B的对应点E恰好落在双曲线y=kx图象上，则k的值为( )
A. −32
B. −3
C. −92
D. −6
10. 如图，平面直角坐标系中，A(0,6)，B(8,0)，点C，D为OA，OB的中点，连接AB，CD，作以下操作：①以点A为圆心，以任意长为半径作弧，分别交OA，AB于点E，F；②分别以点E，F为圆心，以大于12EF的长为半径作弧，两弧交于点G；③作射线AG，交CD于点M，作射线OM交AB于点N，则点N的坐标为( )
A. (245,125) B. (125,65) C. (4,3) D. (6,92)
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11. 函数y=1 1−2x的自变量的取值范围是______．
12. 将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的短直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为______度．
13. 在两个不透明的袋子中装有几个除标号外均相同的几个小球，A袋中的小球标号为“2，3，5，7”，B袋中的小球标号为“1，4，5”，随机从两袋中各拿出一个小球，则标号之和为3的倍数的概率为______ ．
14. 如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，OA=2，点C为OB上一点，且OC= 3，以OC为边作正方形OCDE，交弧AB于F，G点，交OA于点E，则弧FG与点D构成的阴影部分面积为______．
15. 如图，正方形ABCD中，AB=8，点E为AD的中点，点F在AB上，且AF=3，点G，H分别为BC，CD上的动点，连接EG，过点F作FP⊥EG，垂足为点P，连接PH，则PH的最小值为______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. (本小题10.0分)
(1)计算 9− 22sin45°+(14)−1；
(2)化简：x−1x2−9÷(1−4x+3)．
17. (本小题9.0分)
杭州2022年第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日举行，某校开展了“亚运知识”的主题知识竞赛活动(百分制).七八年级学生均参与了此次竞赛．
校团委分别从七，八年级同学的竞赛成绩中各抽查了50名同学的成绩.整理如下：
素材一：七年级50名同学的成绩分布
分数段
60≤x<70
70≤x<80
80≤x<90
90≤x≤100
频数(人数)
8
12
18
12
素材二：七年级50名同学成绩的统计量
统计量
平均数
中位数
众数
方差
数据
84
m
n
126
素材三：八年级50名同学成绩的统计量
统计量
平均数
中位数
众数
方差
数据
84
82
83
230
素材四：七年级在80≤x<90范围内的学生成绩：
80，80，81，81，82，82，83，84，85，85，86，86，86，86，87，88，88，89．
请根据以上信息，解决以下问题：
(1)已知七年级50名学生成绩的众数落在80≤x<90范围内，则m= ______ ，n= ______ ；
(2)据以上所给的数据，你认为哪个年级学生的竞赛成绩较好？请说明理由；
(3)已知该校七年级共有学生1500名，请估计该校七年级竞赛成绩在90≤x≤100范围内的学生的人数．
18. (本小题9.0分)
如图，某塔建在一个小坡上，小明和小亮准备测量该塔DE的高度，小明在小坡底部A处测得塔顶D的仰角为53°，小亮在塔另一侧的B处测得塔顶D的仰角为45°，已知DE⊥AB于点C，A，B与点C在一条水平线上，若小坡AE的坡度i=1：5，AB的距离为200m，求塔DE的高度.(sin53°≈45,cos53°≈35,tan53°≈43，结果精确到0.1m)
19. (本小题9.0分)
如图，AB为⊙O的弦，过点O作AB的垂线交⊙O于C，D两点，垂足为M，连接BC，点P为弧AD上一个动点，过点P作⊙O的切线交BA延长线于点E，交CD延长线于点F，连接CP交AB于点Q．
(1)求证：PE=EQ；
(2)当PE//BC时，若AB=8，CD=10，求DF的长．
20. (本小题9.0分)
某景区商店准备购进A土特产和B土特产共200件进行试销，已知A土特产单价为50元/件，B土特产单价为40元/件.设购进A土特产m件，若购进A土特产的件数不大于B土特产的件数．
(1)求出m的取值范围；
(2)已知A土特产的售价为80元/件，B土特产的售价为60元/件，且A，B土特产均全部售出.求该商店销售完这批土特产的利润y与m之间的函数关系式；
(3)实际进货中，商店至少购进A土特产80件，在(2)的条件下，商店决定在试销活动中每售出一件A土特产，就从一件A土特产的利润中捐献“希望工程”a元(0
已知二次函数y=x2+bx+c的图象交x轴于点(1,0)，经过点(5,8)．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)将此抛物线沿x轴平移m个单位后，当自变量x满足1≤x≤5时，y的最小值为5，求m的值．
22. (本小题10.0分)
某数学兴趣小组探究函数y=|x|× x+3的图象与性质．
下面是小明的探究过程，请补充完整；
(1)函数y=|x|× x+3的自变量x的取值范围是______ ；
(2)表是y与x的几组对应值．
x
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
…
y
0
m
2
0
2
2 5
3 6
n
…
直接写出m的值是______ ；n的值是______ ；
(3)如图，在平面直角坐标系xOy中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，然后画出该函数的图象；
(4)结合函数的图象，写出该函数的性质(一条即可) ______ ；
(5)过点A(0,a)作y轴的垂线l，请根据函数的图象探究：
①当函数的图象与直线l没有交点时，a的取值范围是______ ；
②当函数的图象与直线l有一个交点时，a的取值范围是______ ；
③当函数的图象与直线l有两个交点时，a的取值范围是______ ；
④当函数的图象与直线l有三个交点时，a的取值范围是______ ．
23. (本小题10.0分)
学习了《四边形》后，刘老师设置了一个问题情境，供同学们讨论．
问题情境：正方形ABCD中，点P为边AB上一个动点，连接CP，过点C作CQ⊥CP交射线AD于点Q，连接PQ，点E为PQ的中点，连接DE．
讨论△CPQ的性质及AP与DE的数量关系．
以下是同学们的讨论过程，请仔细阅读并完成任务：
小明：我得出△CPQ是等腰直角三角形，
理由：∵四边形ABCD是正方形，
∴CD=BC，∠DCB=∠CDA=∠BAD=∠CBA=90°，DA=BA，
又CQ⊥CP，
∴∠QCP=90°，
∴∠QCD=∠PCB=90°−∠DCP，∠CDQ=180°−90°=90°，
∴∠CDQ=∠CBP，
∴△CDQ≌△CBP
∴CQ=CP，∴△CPQ是等腰直角三角形；
小亮：没能求出AP与DE的数量关系，但我感觉过P作PG//DE交DA于G后可以求出．
任务：
(1)小明的理由中，△CDQ≌△CBP的依据是______ ；(填序号)．
①SSS ②SAS ③AAS ④ASA ⑤HL
(2)请根据小亮的提示判断AP与DE的数量关系，并说明理由；
(3)当点P在射线AB上运动时，若AB=3，DQ=1，直接写出DE的长．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：∵5>π，
∴−5<−π，
∴−5<−π<0< 3，
∴最小的数是−5．
故选：A．
根据正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小进行比较即可．
本题考查了有理数大小比较，比较有理数大小的方法：1、数轴法：在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大；2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数；3、绝对值法：①两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．
2.【答案】A
【解析】解：A选项：不是轴对称图形，是中心对称图形，故符合题意；
B选项：是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；
C选项：既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故不符合题意；
D选项：既是轴对称图形，又是中心对称图形，故不符合题意．
故选：A．
根据中心对称图形和轴对称图形的定义，对选项逐个判断，即可求出答案．
本题考查了中心对称图形和轴对称图形的概念，熟练掌握相关概念是解题的关键．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
3.【答案】D
【解析】解：A、2a−a=a，故本选项错误；
B、−2a3÷(−a)=2a2，故本选项错误；
C、a2⋅a3=a5，故本选项错误；
D、(a3)2=a6，故本选项正确；
故选：D．
根据合并同类项的法则判断A；根据单项式除以单项式的法则判断B；根据同底数幂的乘法法则判断C；根据幂的乘方法则判断D．
本题考查了合并同类项、单项式除以单项式、同底数幂的乘法以及幂的乘方，掌握运算法则是解题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：根据题意得：主视图有3列，每列小正方数形数目分别为2，1，3，
主视图为，
故选：B．
由已知条件可知，主视图有3列，每列小正方数形数目分别为2，1，3，从而可以确定答案．
本题考查由三视图判断几何体．由几何体的俯视图及小正方形内的数字，可知主视图的列数与俯视数的列数相同，且每列小正方形数目为俯视图中该列小正方形数字中的最大数字．左视图的列数与俯视图的行数相同，且每列小正方形数目为俯视图中相应行中正方形数字中的最大数字．
5.【答案】A
【解析】解：∵x+5<26−x≥2+x，
∴x<−3x≤2，
∴不等式组的解集为：x<−3．
故选：A．
分别求出不等式组中两个不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．
本题考查了解一元一次不等式组，熟练记住不等式组解集口诀(小小取小，大大取大，大大小小无解集；大小小大取中间)是关键．
6.【答案】B
【解析】解：A选项：该班总人数：4+12+14+8+2=40(人)，正确，不符合题意；
B选项：得分在50～60分之间的人数所占百分比为4÷40×100%=10%≠20%，错误；符合题意；
C选项：得分在90～100分之间的人数为2，最少，正确，不符合题意；
D选项：得分在8(0分)以上的人数为8+2=10(人)，正确，不符合题意．
故选：B．
根据频数分布直方图，对各个选项逐个计算，即可求出答案．
本题主要考查了频数分布直方图，解题的关键在于根据图获取重要信息并利用数据进行计算分析．
7.【答案】B
【解析】解：∵△=(2 3)2−4×(−3)=24>0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2−4ac有如下关系：当△>0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△<0时，方程无实数根．
8.【答案】A
【解析】解：∵共换了5斗酒，
∴x+y=5；
∵一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，拿30斗谷子换了5斗酒，
∴10x+3y=30．
∴所列方程组为x+y=510x+3y=30．
故选：A．
根据“一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，拿30斗谷子换清酒、醑酒共5斗”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：∵A(−3,0)，B(2,0)，C(−3,5)，
∴AC⊥x轴，AB=5，AC=5，OA=3，
∴AC= 52+52=5 2，
∵△ABC绕点A顺时针旋转一定的角度后得到△DBE，且使点D落在y轴上，
∴AD=AC=5，AE=AB=5，DE=AC=5 2，
在Rt△OAD中，OD= AD2−OA2=4，
∴D(0,4)，
设E(a,b)，则AE2=(a+3)2+b2=25①，
DE2=a2+(b−4)2=50②，
①−②得：b=−3a−94③，
把③代入①整理得a2+6a−7=0，
解得a1=−7(舍弃)，a2=1，
当a=1时，b=−3，
∴E(1,−3)，
把E(1,−3)代入y=kx得k=ab=1×(−3)=−3．
故选：B．
根据题意可得AB=5、AC=5、OA=3、AC=5 2，根据旋转的性质可得AD=AC=5，AE=AB=5，DE=AC=5 2；再运用勾股定理可得OD=4，即D(0,4)；设E(a,b)，则AE2=(a+3)2+b2=25、DE2=a2+(b−4)2=50，联立可得点E的坐标，最后将点E的坐标代入y=kx即可解答．
本题主要考查了旋转的性质、勾股定理、两点间距离公式、反比例函数解析式等知识点，灵活运用两点间距离公式列方程是解答本题的关键．
10.【答案】A
【解析】解：∵A(0,6)，B(8,0)，
∴OA=6，OB=8，
∴AB= 62+82=10，
∵点C，D为OA，OB的中点，
∴CD为△OAB的中位线，
∴CD//AB，AC=3，CD=5，
∴∠CMA=∠NAM，
由作法得AG平分∠BAO，
∴∠CMA=∠NAM，
∴∠CAM=∠CMA，
∴CM=CA=3，
∴MD=2，
∵MD//BN，
∴MDBN=ODOB，
∴BN=2MD=4，
过N点作NH⊥x轴于H，如图，
∵NH//OA，
∴NHOA=BHBO=BNBA，即NH6=BH8=410，
解得NH=125，BH=165，
∴OH=OB−BH=8−165=245，
∴N点坐标为(245,125).
故选：A．
先利用勾股定理计算出AB=10，再利用三角形中位线性质得到CD//AB，AC=3，CD=5，利用基本作图得到∠CMA=∠NAM，再证明∠CAM=∠CMA得到CM=CA=3，则MD=2，接着利用平行线分线段成比例定理计算出BN=4，过N点作NH⊥x轴于H，如图，利用平行线分线段成比例定理计算出NH，BH，从而得到N点坐标．
本题考查了作图−基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了坐标与图形性质和三角形中位线定理．
11.【答案】x<12
【解析】解：由题意得：1−2x>0，
解得：x<12，
故答案为：x<12．
根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，解不等式得到答案．
本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为0是解题的关键．
12.【答案】75
【解析】解：如图．
∵∠3=60°，∠4=45°，
∴∠1=∠5=180°−∠3−∠4=75°．
故答案为：75．
根据三角形三内角之和等于180°求解．
考查三角形内角之和等于180°．
13.【答案】512
【解析】解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果数，其中标号之和为3的倍数的有5种结果，
所以标号之和为3的倍数的概率为512，
故答案为：512．
画树状图，共有12种等可能的结果数，其中标号之和为3的倍数的有5种结果，再由概率公式求解即可．
此题考查了树状图法与列表法求概率．正确画出树状图是解题的关键，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
14.【答案】3− 3−π3
【解析】解：如图，连接OF，OG．
∵四边形OCDE是正方形，
∴∠COE=∠OCD=∠OEG=90°，
∴CF= OF2−OC2= 22−( 3)2=1，
∴OF=2CF，
∴∠COF=30°，
同法可得∠EOG=30°，
∴∠FOG=90°−30°−30°=30°，
∴S阴=S正方形OCDE−2S△OCF−S扇形OFG=( 3)2−2×12× 3×1−30⋅π⋅22360=3− 3−π3，
故答案为：3− 3−π3．
连接OF，OG.证明∠COF=∠EOG=30°，再根据S阴=S正方形OCDE−2S△OCF−S扇形OFG，求解即可．
本题考查扇形的面积，正方形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会用分割法求阴影部分面积．
15.【答案】3.5
【解析】解：连接EF并取EF的中点M，作MN⊥CD，ML⊥AD连接MP、PN，当点H与点N重合，M、P、N三点共线时，PH最小；
∵正方形ABCD中，AB=8，点E为AD的中点，
∴∠A=90°，AF=3，AE=4，
∴EF= AE2+AF2=5，
∵EF的中点是M，
∴PM=12EF=2.5，
∵ML⊥AD，
∴EL=LA=2，DL=MN=6，
当点H与点N重合，M、P、N三点共线时，PH=MN−MP=3.5，
故答案为：3.5．
连接EF并取EF的中点M，作MN⊥CD，ML⊥AD连接MP、PN，当点H与点N重合，M、P、N三点共线时，PH最小；利用勾股定理和中线的性质求出此时的长度即可．
本题考查了勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，解题关键是恰当作辅助线，构建直角三角形解决问题．
16.【答案】解：(1)原式=3− 22× 22+4
=3−12+4
=132．
(2)原式=x−1(x+3)(x−3)÷x+3−4x+3
=x−1(x+3)(x−3)⋅x+3x−1
=1x−3．
【解析】(1)根据二次根式的的性质，负整数指数幂的意义以及特殊角的锐角三角函数的值即可求出答案．
(2)根据分式的加减运算以及乘除运算即可求出答案．
本题考查分式的加减运算和乘除运算，二次根式的的性质，负整数指数幂的意义以及特殊角的锐角三角函数的值，本题属于基础题型．
17.【答案】82 86
【解析】解：(1)将他们的成绩从小到大排列后，处在中间位置的两个数都是82，因此中位数是82，即m=82，
七年级竞赛成绩出现次数最多的是86，因此众数是86，即n=86，
故答案为：82，86；
(2)八年级学生掌握的相关知识较好，虽然七、八年级竞赛成绩的平均数、中位数相同，但是八年级的竞赛成绩的众数比七年级的高，因此八年级学生掌握的相关知识较好；
(3)1500×1250=360(人)，
答：估计该校七年级竞赛成绩在90≤x≤100范围内的学生的人数是360人．
(1)依据中位数、众数的计算方法即可得出答案；
(2)通过比较平均数、中位数、众数得出答案；
(3)用样本估计总体即可．
本题考查频数分布表、中位数、众数以及用样本估计总体，理解统计图表中各个数量之间的关系是正确解答的前提，样本估计总体是统计中常用的方法．
18.【答案】解：设DC的长为x m，
则CB=x m，
∴tan53°=DCAC，
即43≈xAC，
解得：AC≈3x4，
∵AB=200m，
∴34x+x≈200，
解得x≈8007，AC=AB−BC≈200−8007=6007m，CE=15AC≈15×6007=1207m，
∴DE=DC−CE≈8007−1207=6807≈97.1m．
答：塔DE的高度约为97.1 m．
【解析】设DC的长为x m，则CB=xm，有正切的定义可得AC≈3x4，再结合AB=200m可得34x+x≈200，解得x≈8007，进而得到AC≈200−8007=6007m；再根据坡度可得CE=1207m，最后根据DE=DC−CE即可解答．
本题主要考查了解直角三角形的应用，灵活运用俯仰角和坡度成为解答本题的关键．
19.【答案】(1)证明：如图，连接PO，
∵PO=OC，
∴∠CPO=∠PCO，
∵PE切⊙O于点P，
∴∠OPE=90°，
∴∠CPO+∠EPQ=90°，
又∵AB⊥CD，
在Rt△CMQ中，∠PCO+∠CQM=90°，
∵∠EQP=∠CQM，
∴∠EQP+∠PCO=90°，
∴∠EQP=∠EPQ，
∴PE=EQ；
(2)解：如图，连接OB，
∵AB=8，
∴MB=4，
∵CD=10，
∴OC=5，
在Rt△OMB中，OM= OB2−MB2= 52−42=3，
∴MC=OC−OM=2，
在Rt△CMB中，BC= CM2+MB2= 22+42=2 5，
∵PE//BC，∠BCM=∠PFO，
又∵∠CMB=∠OPF=90°，
∴△CMB∽△OPF，
∴MBOP=BCOF，即45=2 5OF，
∴OF=5 52，
∴DF=OF−OD=5 52−5．
【解析】(1)连接PO，利用切线的性质得到∠OPE=90°，再利用同角的余角相等即可证明结论成立；
(2)连接OB，利用垂径定理求得MB=4，在Rt△OMB和Rt△CMB中，利用勾股定理求得OM、BC的长，证明△CMB∽△OPF，据此求解即可．
本题考查了切线的性质、圆周角定理、垂径定理、相似三角形的判定和性质等知识．注意准确作出辅助线是解此题的关键．
20.【答案】解：(1)因为购进A土特产m件，所以购进B土特产(200−m)件．
m≤200−m，
解得：m≤100；
(2)由题意：y=(80−50)m+(60−40)(200−m)=10m+4000；
(3)设利润为w元，
则w=(80−50−a)m+(60−40)(200−m)=(10−a)m+4000，
或w=y−ma=10m+4000−ma=(10−a)m+4000，
由于实际进货中，商店至少购进A土特产80件，
∴80≤m≤100，
①当10−a>0时，即0
∴5000−100a=4800，
解得a=2；
②当10−a=0时，最大利润为4000元，不合题意；
③当10−a<0时，即10
即4800−80a=4800，
解得：a=0(不合题意，舍去)，
答：若该商场售完A、B土特产并捐献资金后获得的最大收益是4800元，则a值为2．
【解析】(1)因为购进A土特产m件，所以购进B土特产(200−m)件，再根据题意列不等式即可；
(2)根据题意求出函数关系式即可；
(3)设利润为w元，求出w=(10−a)m+4000，再分类讨论，分别是当10−a>0时，当10−a=0时，当10−a<0时．
本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式等知识，解题的关键是理解题意，学会构建方程或一次函数解决问题，属于中考常考题型．
21.【答案】解：(1)把(1,0)，(5,8)代入y=x2+bx+c，
得1+b+c=025+5b+c=8，解得b=−4c=3，
∴抛物线解析式为y=x2−4x+3；
(2)设此抛物线沿x轴向右平移m个单位后抛物线解析式为y=(x−2−m)2−1，
∵当自变量x满足1≤x≤5时，y的最小值为5，
∴2+m>5，即m>3，
此时x=5时，y=5，即(5−2−m)2−1=5，
解得m1=3+ 6，m2=3− 6(舍去)，
设此抛物线沿x轴向左平移|m|个单位后抛物线解析式为y=(x−2+m)2−1，
∵当自变量x满足1≤x≤5时，y的最小值为5，
∴2−m<1，即m>1，
此时x=1时，y=5，即(1−2+m)2−1=5，
解得m1=1+ 6，m2=1− 6(舍去)，
综上所述，m的值为3+ 6或1+ 6．
【解析】(1)待定系数法求函数解析式；
(2)利用平移的性质求得函数解析式，从而利用二次函数的性质分析求解．
本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．也考查了二次函数的性质．
22.【答案】x≥−3 2 4 7 函数在第二象限内的部分有最大值；函数在第一象限内y随x的增大而增大(答案不唯一) a<0 a>2 a=0或a=2 0
∴x+3≥0，x为任何实数，
∴x≥−3．
故答案为：x≥−3．
(2)∵y=|x|× x+3，x=−2，
∴y=m=|−2|× −2+3=2．
∵y=|x|× x+3，x=4，
∴y=n=|4|× 4+3=4 7．
故答案为：2；4 7．
(3)根据表中数据，画图，如下，
(4)函数在第二象限内的部分有最大值；函数在第一象限内y随x的增大而增大(答案不唯一)．
(5)①当函数的图象与直线l没有交点时，如图所示，
∵点A(0,a)在直线l上，且要求与函数图形无交点，
∴a<0．
②当函数的图象与直线l有一个交点时，如图所示，
通过观察图形可知，要想确保函数与图象只有一个交点，a>2．
③当函数的图象与直线l有两个交点时，如图所示，
通过观察图形可知，要想确保函数与图象只有两个交点，a=2或a=0．
④当函数的图象与直线l有三个交点时，如图所示，
通过观察图形可知，要想确保函数与图象只有三个交点，0
(2)将对应的x值分别代入y=|x|× x+3即可求出m和n的值；
(3)依据表格中数据依次找到对应的坐标点，进行连线，即可求出函数图象；
(4)观察图形，找出函数的性质之一即可；
(5)根据题意依次画图，即可分别找出a的取值范围．
此题考查了函数的图象和性质，解题的关键在于通过已知条件画出函数的图象，通过观察图象得出关键信息．
23.【答案】④
【解析】解：(1)∵小明的证明过程可以发现小明用的是角边角，
∴△CDQ≌△CBP的依据是④．
故选：④．
(2)AP= 2DE，理由如下：
过P作PG//DE交DA于G，如图1所示，
则QDGD=QEEP，
∵点E为PQ的中点，
∴QE=EP，
∴QD=DG．
∵四边形ABCD是正方形，
∴CD=BC，∠CDA=90°，
∴∠CDQ=180°−90°=90°，∠DCP+∠PCB=90°，
又CQ⊥CP，
∴∠QCP=90°，∠QCD+∠DCP=90°，
∴∠CDQ=∠CBP，
∵∠DCP+∠PCB=90°，∠QCD+DCP=90°，
∴∠QCD=∠BCP，
∴△CDQ≌△CBP(ASA)．
∴QD=BP，
∵QD=DG，
∴DG=BP．
∵AD=AB，
∴AG=AP，
在Rt△AGP中，PG= AP2+AG2= 2AP．
∵QE=EP，QD=DG，
∴DE=12PG= 22AP，
∴AP= 2DE．
故答案为：AP= 2DE；
(3)①点P在线段AB上时，过P作PG//DE交DA于G如图2，
由(1)得：△CDQ≌△CBP，
∴BP=DQ=1．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=3，
∴AP=AB−BP=3−1=2，
由(2)得：AP= 2DE，
∴DE= 22AP= 2．
②当点P在射线AB上时，过P作PG//DE交DA反向延长线于G，如图3，
由(1)得：△CDQ≌△CBP，
∴BP=DQ=1．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=3，
∴AP=AB+BP=3+1=4，
由(2)得：AP= 2DE，
∴DE= 22AP=2 2．
综上所述，DE的长为 2或2 2．
(1)根据小明的证明过程即可求出答案；
(2)根据平行线分线段成比例推出QDGD=QEEP，再利用E为中点关系证明QD=DG，通过ASA证明△CDQ≌△CBP从而推出QD=BP，即可求出DG=BP和AG=AP，随之利用直角三角形可找出AP与DG的数量关系，最后利用中位线定理推出AP与DE的数量关系；
(3)根据题意分情况讨论P在线段AB和射线AB上的情况，分别利用第一问和第二问的方法即可求出AP长度以及AP与DE的数量关系，最后求出DE长度．
此题考查了矩形的综合题，涉及到的知识点有矩形的性质、中位线定理、平行线分线段成比例、三角形的全等，利用中位线定理和等腰直角三角形性质找出相应的线段的数量关系以及分情况讨论是解题的关键．
2023年河南省洛阳市偃师实验中学中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列各数中，最小的数是( )
A. −5 B. 3 C. 0 D. −π
2. 下列交通标识中，是中心对称图形但不是轴对称图形的为( )
A. B. C. D.
3. 下列计算正确的是( )
A. 2a−a=1 B. −2a3÷(−a)=a2
C. a2⋅a3=a6 D. (a3)2=a6
4. 如图是几个小立方块所搭的几何体俯视图，小正方形中的数字表示该位置上小立方块的个数，则这个几何体的主视图是( )
A.
B.
C.
D.
5. 不等式组x+5<26−x≥2+x的解集为( )
A. x<−3 B. x≤2 C. −3
A. 该班人数为40人
B. 得分在50～60分之间的人数所占百分比为20%
C. 得分在90～100分之间的人数最少
D. 得分在80分以上的人数为10人
7. 方程x2+2 3x−3=0根的情况是( )
A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根
C. 没有实数根 D. 有一个实数根
8. 我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗.今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子.现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清、醑酒各几斗？如果设清酒x斗，醑酒y斗，那么可列方程组为( )
A. x+y=5,10x+3y=30 B. x+y=5,3x+10y=30
C. x+y=5,x10+y3=30 D. x+y=5,x3+y10=30
9. 如图，平面直角坐标系中，A(−3,0)，B(2,0)，C(−3,5)，将△ABC绕点A顺时针旋转，当点C的对应点D恰好落在y轴正半轴上时，点B的对应点E恰好落在双曲线y=kx图象上，则k的值为( )
A. −32
B. −3
C. −92
D. −6
10. 如图，平面直角坐标系中，A(0,6)，B(8,0)，点C，D为OA，OB的中点，连接AB，CD，作以下操作：①以点A为圆心，以任意长为半径作弧，分别交OA，AB于点E，F；②分别以点E，F为圆心，以大于12EF的长为半径作弧，两弧交于点G；③作射线AG，交CD于点M，作射线OM交AB于点N，则点N的坐标为( )
A. (245,125) B. (125,65) C. (4,3) D. (6,92)
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11. 函数y=1 1−2x的自变量的取值范围是______．
12. 将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的短直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为______度．
13. 在两个不透明的袋子中装有几个除标号外均相同的几个小球，A袋中的小球标号为“2，3，5，7”，B袋中的小球标号为“1，4，5”，随机从两袋中各拿出一个小球，则标号之和为3的倍数的概率为______ ．
14. 如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，OA=2，点C为OB上一点，且OC= 3，以OC为边作正方形OCDE，交弧AB于F，G点，交OA于点E，则弧FG与点D构成的阴影部分面积为______．
15. 如图，正方形ABCD中，AB=8，点E为AD的中点，点F在AB上，且AF=3，点G，H分别为BC，CD上的动点，连接EG，过点F作FP⊥EG，垂足为点P，连接PH，则PH的最小值为______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. (本小题10.0分)
(1)计算 9− 22sin45°+(14)−1；
(2)化简：x−1x2−9÷(1−4x+3)．
17. (本小题9.0分)
杭州2022年第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日举行，某校开展了“亚运知识”的主题知识竞赛活动(百分制).七八年级学生均参与了此次竞赛．
校团委分别从七，八年级同学的竞赛成绩中各抽查了50名同学的成绩.整理如下：
素材一：七年级50名同学的成绩分布
分数段
60≤x<70
70≤x<80
80≤x<90
90≤x≤100
频数(人数)
8
12
18
12
素材二：七年级50名同学成绩的统计量
统计量
平均数
中位数
众数
方差
数据
84
m
n
126
素材三：八年级50名同学成绩的统计量
统计量
平均数
中位数
众数
方差
数据
84
82
83
230
素材四：七年级在80≤x<90范围内的学生成绩：
80，80，81，81，82，82，83，84，85，85，86，86，86，86，87，88，88，89．
请根据以上信息，解决以下问题：
(1)已知七年级50名学生成绩的众数落在80≤x<90范围内，则m= ______ ，n= ______ ；
(2)据以上所给的数据，你认为哪个年级学生的竞赛成绩较好？请说明理由；
(3)已知该校七年级共有学生1500名，请估计该校七年级竞赛成绩在90≤x≤100范围内的学生的人数．
18. (本小题9.0分)
如图，某塔建在一个小坡上，小明和小亮准备测量该塔DE的高度，小明在小坡底部A处测得塔顶D的仰角为53°，小亮在塔另一侧的B处测得塔顶D的仰角为45°，已知DE⊥AB于点C，A，B与点C在一条水平线上，若小坡AE的坡度i=1：5，AB的距离为200m，求塔DE的高度.(sin53°≈45,cos53°≈35,tan53°≈43，结果精确到0.1m)
19. (本小题9.0分)
如图，AB为⊙O的弦，过点O作AB的垂线交⊙O于C，D两点，垂足为M，连接BC，点P为弧AD上一个动点，过点P作⊙O的切线交BA延长线于点E，交CD延长线于点F，连接CP交AB于点Q．
(1)求证：PE=EQ；
(2)当PE//BC时，若AB=8，CD=10，求DF的长．
20. (本小题9.0分)
某景区商店准备购进A土特产和B土特产共200件进行试销，已知A土特产单价为50元/件，B土特产单价为40元/件.设购进A土特产m件，若购进A土特产的件数不大于B土特产的件数．
(1)求出m的取值范围；
(2)已知A土特产的售价为80元/件，B土特产的售价为60元/件，且A，B土特产均全部售出.求该商店销售完这批土特产的利润y与m之间的函数关系式；
(3)实际进货中，商店至少购进A土特产80件，在(2)的条件下，商店决定在试销活动中每售出一件A土特产，就从一件A土特产的利润中捐献“希望工程”a元(0
已知二次函数y=x2+bx+c的图象交x轴于点(1,0)，经过点(5,8)．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)将此抛物线沿x轴平移m个单位后，当自变量x满足1≤x≤5时，y的最小值为5，求m的值．
22. (本小题10.0分)
某数学兴趣小组探究函数y=|x|× x+3的图象与性质．
下面是小明的探究过程，请补充完整；
(1)函数y=|x|× x+3的自变量x的取值范围是______ ；
(2)表是y与x的几组对应值．
x
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
…
y
0
m
2
0
2
2 5
3 6
n
…
直接写出m的值是______ ；n的值是______ ；
(3)如图，在平面直角坐标系xOy中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，然后画出该函数的图象；
(4)结合函数的图象，写出该函数的性质(一条即可) ______ ；
(5)过点A(0,a)作y轴的垂线l，请根据函数的图象探究：
①当函数的图象与直线l没有交点时，a的取值范围是______ ；
②当函数的图象与直线l有一个交点时，a的取值范围是______ ；
③当函数的图象与直线l有两个交点时，a的取值范围是______ ；
④当函数的图象与直线l有三个交点时，a的取值范围是______ ．
23. (本小题10.0分)
学习了《四边形》后，刘老师设置了一个问题情境，供同学们讨论．
问题情境：正方形ABCD中，点P为边AB上一个动点，连接CP，过点C作CQ⊥CP交射线AD于点Q，连接PQ，点E为PQ的中点，连接DE．
讨论△CPQ的性质及AP与DE的数量关系．
以下是同学们的讨论过程，请仔细阅读并完成任务：
小明：我得出△CPQ是等腰直角三角形，
理由：∵四边形ABCD是正方形，
∴CD=BC，∠DCB=∠CDA=∠BAD=∠CBA=90°，DA=BA，
又CQ⊥CP，
∴∠QCP=90°，
∴∠QCD=∠PCB=90°−∠DCP，∠CDQ=180°−90°=90°，
∴∠CDQ=∠CBP，
∴△CDQ≌△CBP
∴CQ=CP，∴△CPQ是等腰直角三角形；
小亮：没能求出AP与DE的数量关系，但我感觉过P作PG//DE交DA于G后可以求出．
任务：
(1)小明的理由中，△CDQ≌△CBP的依据是______ ；(填序号)．
①SSS ②SAS ③AAS ④ASA ⑤HL
(2)请根据小亮的提示判断AP与DE的数量关系，并说明理由；
(3)当点P在射线AB上运动时，若AB=3，DQ=1，直接写出DE的长．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：∵5>π，
∴−5<−π，
∴−5<−π<0< 3，
∴最小的数是−5．
故选：A．
根据正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小进行比较即可．
本题考查了有理数大小比较，比较有理数大小的方法：1、数轴法：在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大；2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数；3、绝对值法：①两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．
2.【答案】A
【解析】解：A选项：不是轴对称图形，是中心对称图形，故符合题意；
B选项：是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；
C选项：既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故不符合题意；
D选项：既是轴对称图形，又是中心对称图形，故不符合题意．
故选：A．
根据中心对称图形和轴对称图形的定义，对选项逐个判断，即可求出答案．
本题考查了中心对称图形和轴对称图形的概念，熟练掌握相关概念是解题的关键．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
3.【答案】D
【解析】解：A、2a−a=a，故本选项错误；
B、−2a3÷(−a)=2a2，故本选项错误；
C、a2⋅a3=a5，故本选项错误；
D、(a3)2=a6，故本选项正确；
故选：D．
根据合并同类项的法则判断A；根据单项式除以单项式的法则判断B；根据同底数幂的乘法法则判断C；根据幂的乘方法则判断D．
本题考查了合并同类项、单项式除以单项式、同底数幂的乘法以及幂的乘方，掌握运算法则是解题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：根据题意得：主视图有3列，每列小正方数形数目分别为2，1，3，
主视图为，
故选：B．
由已知条件可知，主视图有3列，每列小正方数形数目分别为2，1，3，从而可以确定答案．
本题考查由三视图判断几何体．由几何体的俯视图及小正方形内的数字，可知主视图的列数与俯视数的列数相同，且每列小正方形数目为俯视图中该列小正方形数字中的最大数字．左视图的列数与俯视图的行数相同，且每列小正方形数目为俯视图中相应行中正方形数字中的最大数字．
5.【答案】A
【解析】解：∵x+5<26−x≥2+x，
∴x<−3x≤2，
∴不等式组的解集为：x<−3．
故选：A．
分别求出不等式组中两个不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．
本题考查了解一元一次不等式组，熟练记住不等式组解集口诀(小小取小，大大取大，大大小小无解集；大小小大取中间)是关键．
6.【答案】B
【解析】解：A选项：该班总人数：4+12+14+8+2=40(人)，正确，不符合题意；
B选项：得分在50～60分之间的人数所占百分比为4÷40×100%=10%≠20%，错误；符合题意；
C选项：得分在90～100分之间的人数为2，最少，正确，不符合题意；
D选项：得分在8(0分)以上的人数为8+2=10(人)，正确，不符合题意．
故选：B．
根据频数分布直方图，对各个选项逐个计算，即可求出答案．
本题主要考查了频数分布直方图，解题的关键在于根据图获取重要信息并利用数据进行计算分析．
7.【答案】B
【解析】解：∵△=(2 3)2−4×(−3)=24>0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2−4ac有如下关系：当△>0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△<0时，方程无实数根．
8.【答案】A
【解析】解：∵共换了5斗酒，
∴x+y=5；
∵一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，拿30斗谷子换了5斗酒，
∴10x+3y=30．
∴所列方程组为x+y=510x+3y=30．
故选：A．
根据“一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，拿30斗谷子换清酒、醑酒共5斗”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：∵A(−3,0)，B(2,0)，C(−3,5)，
∴AC⊥x轴，AB=5，AC=5，OA=3，
∴AC= 52+52=5 2，
∵△ABC绕点A顺时针旋转一定的角度后得到△DBE，且使点D落在y轴上，
∴AD=AC=5，AE=AB=5，DE=AC=5 2，
在Rt△OAD中，OD= AD2−OA2=4，
∴D(0,4)，
设E(a,b)，则AE2=(a+3)2+b2=25①，
DE2=a2+(b−4)2=50②，
①−②得：b=−3a−94③，
把③代入①整理得a2+6a−7=0，
解得a1=−7(舍弃)，a2=1，
当a=1时，b=−3，
∴E(1,−3)，
把E(1,−3)代入y=kx得k=ab=1×(−3)=−3．
故选：B．
根据题意可得AB=5、AC=5、OA=3、AC=5 2，根据旋转的性质可得AD=AC=5，AE=AB=5，DE=AC=5 2；再运用勾股定理可得OD=4，即D(0,4)；设E(a,b)，则AE2=(a+3)2+b2=25、DE2=a2+(b−4)2=50，联立可得点E的坐标，最后将点E的坐标代入y=kx即可解答．
本题主要考查了旋转的性质、勾股定理、两点间距离公式、反比例函数解析式等知识点，灵活运用两点间距离公式列方程是解答本题的关键．
10.【答案】A
【解析】解：∵A(0,6)，B(8,0)，
∴OA=6，OB=8，
∴AB= 62+82=10，
∵点C，D为OA，OB的中点，
∴CD为△OAB的中位线，
∴CD//AB，AC=3，CD=5，
∴∠CMA=∠NAM，
由作法得AG平分∠BAO，
∴∠CMA=∠NAM，
∴∠CAM=∠CMA，
∴CM=CA=3，
∴MD=2，
∵MD//BN，
∴MDBN=ODOB，
∴BN=2MD=4，
过N点作NH⊥x轴于H，如图，
∵NH//OA，
∴NHOA=BHBO=BNBA，即NH6=BH8=410，
解得NH=125，BH=165，
∴OH=OB−BH=8−165=245，
∴N点坐标为(245,125).
故选：A．
先利用勾股定理计算出AB=10，再利用三角形中位线性质得到CD//AB，AC=3，CD=5，利用基本作图得到∠CMA=∠NAM，再证明∠CAM=∠CMA得到CM=CA=3，则MD=2，接着利用平行线分线段成比例定理计算出BN=4，过N点作NH⊥x轴于H，如图，利用平行线分线段成比例定理计算出NH，BH，从而得到N点坐标．
本题考查了作图−基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了坐标与图形性质和三角形中位线定理．
11.【答案】x<12
【解析】解：由题意得：1−2x>0，
解得：x<12，
故答案为：x<12．
根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，解不等式得到答案．
本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为0是解题的关键．
12.【答案】75
【解析】解：如图．
∵∠3=60°，∠4=45°，
∴∠1=∠5=180°−∠3−∠4=75°．
故答案为：75．
根据三角形三内角之和等于180°求解．
考查三角形内角之和等于180°．
13.【答案】512
【解析】解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果数，其中标号之和为3的倍数的有5种结果，
所以标号之和为3的倍数的概率为512，
故答案为：512．
画树状图，共有12种等可能的结果数，其中标号之和为3的倍数的有5种结果，再由概率公式求解即可．
此题考查了树状图法与列表法求概率．正确画出树状图是解题的关键，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
14.【答案】3− 3−π3
【解析】解：如图，连接OF，OG．
∵四边形OCDE是正方形，
∴∠COE=∠OCD=∠OEG=90°，
∴CF= OF2−OC2= 22−( 3)2=1，
∴OF=2CF，
∴∠COF=30°，
同法可得∠EOG=30°，
∴∠FOG=90°−30°−30°=30°，
∴S阴=S正方形OCDE−2S△OCF−S扇形OFG=( 3)2−2×12× 3×1−30⋅π⋅22360=3− 3−π3，
故答案为：3− 3−π3．
连接OF，OG.证明∠COF=∠EOG=30°，再根据S阴=S正方形OCDE−2S△OCF−S扇形OFG，求解即可．
本题考查扇形的面积，正方形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会用分割法求阴影部分面积．
15.【答案】3.5
【解析】解：连接EF并取EF的中点M，作MN⊥CD，ML⊥AD连接MP、PN，当点H与点N重合，M、P、N三点共线时，PH最小；
∵正方形ABCD中，AB=8，点E为AD的中点，
∴∠A=90°，AF=3，AE=4，
∴EF= AE2+AF2=5，
∵EF的中点是M，
∴PM=12EF=2.5，
∵ML⊥AD，
∴EL=LA=2，DL=MN=6，
当点H与点N重合，M、P、N三点共线时，PH=MN−MP=3.5，
故答案为：3.5．
连接EF并取EF的中点M，作MN⊥CD，ML⊥AD连接MP、PN，当点H与点N重合，M、P、N三点共线时，PH最小；利用勾股定理和中线的性质求出此时的长度即可．
本题考查了勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，解题关键是恰当作辅助线，构建直角三角形解决问题．
16.【答案】解：(1)原式=3− 22× 22+4
=3−12+4
=132．
(2)原式=x−1(x+3)(x−3)÷x+3−4x+3
=x−1(x+3)(x−3)⋅x+3x−1
=1x−3．
【解析】(1)根据二次根式的的性质，负整数指数幂的意义以及特殊角的锐角三角函数的值即可求出答案．
(2)根据分式的加减运算以及乘除运算即可求出答案．
本题考查分式的加减运算和乘除运算，二次根式的的性质，负整数指数幂的意义以及特殊角的锐角三角函数的值，本题属于基础题型．
17.【答案】82 86
【解析】解：(1)将他们的成绩从小到大排列后，处在中间位置的两个数都是82，因此中位数是82，即m=82，
七年级竞赛成绩出现次数最多的是86，因此众数是86，即n=86，
故答案为：82，86；
(2)八年级学生掌握的相关知识较好，虽然七、八年级竞赛成绩的平均数、中位数相同，但是八年级的竞赛成绩的众数比七年级的高，因此八年级学生掌握的相关知识较好；
(3)1500×1250=360(人)，
答：估计该校七年级竞赛成绩在90≤x≤100范围内的学生的人数是360人．
(1)依据中位数、众数的计算方法即可得出答案；
(2)通过比较平均数、中位数、众数得出答案；
(3)用样本估计总体即可．
本题考查频数分布表、中位数、众数以及用样本估计总体，理解统计图表中各个数量之间的关系是正确解答的前提，样本估计总体是统计中常用的方法．
18.【答案】解：设DC的长为x m，
则CB=x m，
∴tan53°=DCAC，
即43≈xAC，
解得：AC≈3x4，
∵AB=200m，
∴34x+x≈200，
解得x≈8007，AC=AB−BC≈200−8007=6007m，CE=15AC≈15×6007=1207m，
∴DE=DC−CE≈8007−1207=6807≈97.1m．
答：塔DE的高度约为97.1 m．
【解析】设DC的长为x m，则CB=xm，有正切的定义可得AC≈3x4，再结合AB=200m可得34x+x≈200，解得x≈8007，进而得到AC≈200−8007=6007m；再根据坡度可得CE=1207m，最后根据DE=DC−CE即可解答．
本题主要考查了解直角三角形的应用，灵活运用俯仰角和坡度成为解答本题的关键．
19.【答案】(1)证明：如图，连接PO，
∵PO=OC，
∴∠CPO=∠PCO，
∵PE切⊙O于点P，
∴∠OPE=90°，
∴∠CPO+∠EPQ=90°，
又∵AB⊥CD，
在Rt△CMQ中，∠PCO+∠CQM=90°，
∵∠EQP=∠CQM，
∴∠EQP+∠PCO=90°，
∴∠EQP=∠EPQ，
∴PE=EQ；
(2)解：如图，连接OB，
∵AB=8，
∴MB=4，
∵CD=10，
∴OC=5，
在Rt△OMB中，OM= OB2−MB2= 52−42=3，
∴MC=OC−OM=2，
在Rt△CMB中，BC= CM2+MB2= 22+42=2 5，
∵PE//BC，∠BCM=∠PFO，
又∵∠CMB=∠OPF=90°，
∴△CMB∽△OPF，
∴MBOP=BCOF，即45=2 5OF，
∴OF=5 52，
∴DF=OF−OD=5 52−5．
【解析】(1)连接PO，利用切线的性质得到∠OPE=90°，再利用同角的余角相等即可证明结论成立；
(2)连接OB，利用垂径定理求得MB=4，在Rt△OMB和Rt△CMB中，利用勾股定理求得OM、BC的长，证明△CMB∽△OPF，据此求解即可．
本题考查了切线的性质、圆周角定理、垂径定理、相似三角形的判定和性质等知识．注意准确作出辅助线是解此题的关键．
20.【答案】解：(1)因为购进A土特产m件，所以购进B土特产(200−m)件．
m≤200−m，
解得：m≤100；
(2)由题意：y=(80−50)m+(60−40)(200−m)=10m+4000；
(3)设利润为w元，
则w=(80−50−a)m+(60−40)(200−m)=(10−a)m+4000，
或w=y−ma=10m+4000−ma=(10−a)m+4000，
由于实际进货中，商店至少购进A土特产80件，
∴80≤m≤100，
①当10−a>0时，即0
∴5000−100a=4800，
解得a=2；
②当10−a=0时，最大利润为4000元，不合题意；
③当10−a<0时，即10
即4800−80a=4800，
解得：a=0(不合题意，舍去)，
答：若该商场售完A、B土特产并捐献资金后获得的最大收益是4800元，则a值为2．
【解析】(1)因为购进A土特产m件，所以购进B土特产(200−m)件，再根据题意列不等式即可；
(2)根据题意求出函数关系式即可；
(3)设利润为w元，求出w=(10−a)m+4000，再分类讨论，分别是当10−a>0时，当10−a=0时，当10−a<0时．
本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式等知识，解题的关键是理解题意，学会构建方程或一次函数解决问题，属于中考常考题型．
21.【答案】解：(1)把(1,0)，(5,8)代入y=x2+bx+c，
得1+b+c=025+5b+c=8，解得b=−4c=3，
∴抛物线解析式为y=x2−4x+3；
(2)设此抛物线沿x轴向右平移m个单位后抛物线解析式为y=(x−2−m)2−1，
∵当自变量x满足1≤x≤5时，y的最小值为5，
∴2+m>5，即m>3，
此时x=5时，y=5，即(5−2−m)2−1=5，
解得m1=3+ 6，m2=3− 6(舍去)，
设此抛物线沿x轴向左平移|m|个单位后抛物线解析式为y=(x−2+m)2−1，
∵当自变量x满足1≤x≤5时，y的最小值为5，
∴2−m<1，即m>1，
此时x=1时，y=5，即(1−2+m)2−1=5，
解得m1=1+ 6，m2=1− 6(舍去)，
综上所述，m的值为3+ 6或1+ 6．
【解析】(1)待定系数法求函数解析式；
(2)利用平移的性质求得函数解析式，从而利用二次函数的性质分析求解．
本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．也考查了二次函数的性质．
22.【答案】x≥−3 2 4 7 函数在第二象限内的部分有最大值；函数在第一象限内y随x的增大而增大(答案不唯一) a<0 a>2 a=0或a=2 0
∴x+3≥0，x为任何实数，
∴x≥−3．
故答案为：x≥−3．
(2)∵y=|x|× x+3，x=−2，
∴y=m=|−2|× −2+3=2．
∵y=|x|× x+3，x=4，
∴y=n=|4|× 4+3=4 7．
故答案为：2；4 7．
(3)根据表中数据，画图，如下，
(4)函数在第二象限内的部分有最大值；函数在第一象限内y随x的增大而增大(答案不唯一)．
(5)①当函数的图象与直线l没有交点时，如图所示，
∵点A(0,a)在直线l上，且要求与函数图形无交点，
∴a<0．
②当函数的图象与直线l有一个交点时，如图所示，
通过观察图形可知，要想确保函数与图象只有一个交点，a>2．
③当函数的图象与直线l有两个交点时，如图所示，
通过观察图形可知，要想确保函数与图象只有两个交点，a=2或a=0．
④当函数的图象与直线l有三个交点时，如图所示，
通过观察图形可知，要想确保函数与图象只有三个交点，0
(2)将对应的x值分别代入y=|x|× x+3即可求出m和n的值；
(3)依据表格中数据依次找到对应的坐标点，进行连线，即可求出函数图象；
(4)观察图形，找出函数的性质之一即可；
(5)根据题意依次画图，即可分别找出a的取值范围．
此题考查了函数的图象和性质，解题的关键在于通过已知条件画出函数的图象，通过观察图象得出关键信息．
23.【答案】④
【解析】解：(1)∵小明的证明过程可以发现小明用的是角边角，
∴△CDQ≌△CBP的依据是④．
故选：④．
(2)AP= 2DE，理由如下：
过P作PG//DE交DA于G，如图1所示，
则QDGD=QEEP，
∵点E为PQ的中点，
∴QE=EP，
∴QD=DG．
∵四边形ABCD是正方形，
∴CD=BC，∠CDA=90°，
∴∠CDQ=180°−90°=90°，∠DCP+∠PCB=90°，
又CQ⊥CP，
∴∠QCP=90°，∠QCD+∠DCP=90°，
∴∠CDQ=∠CBP，
∵∠DCP+∠PCB=90°，∠QCD+DCP=90°，
∴∠QCD=∠BCP，
∴△CDQ≌△CBP(ASA)．
∴QD=BP，
∵QD=DG，
∴DG=BP．
∵AD=AB，
∴AG=AP，
在Rt△AGP中，PG= AP2+AG2= 2AP．
∵QE=EP，QD=DG，
∴DE=12PG= 22AP，
∴AP= 2DE．
故答案为：AP= 2DE；
(3)①点P在线段AB上时，过P作PG//DE交DA于G如图2，
由(1)得：△CDQ≌△CBP，
∴BP=DQ=1．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=3，
∴AP=AB−BP=3−1=2，
由(2)得：AP= 2DE，
∴DE= 22AP= 2．
②当点P在射线AB上时，过P作PG//DE交DA反向延长线于G，如图3，
由(1)得：△CDQ≌△CBP，
∴BP=DQ=1．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=3，
∴AP=AB+BP=3+1=4，
由(2)得：AP= 2DE，
∴DE= 22AP=2 2．
综上所述，DE的长为 2或2 2．
(1)根据小明的证明过程即可求出答案；
(2)根据平行线分线段成比例推出QDGD=QEEP，再利用E为中点关系证明QD=DG，通过ASA证明△CDQ≌△CBP从而推出QD=BP，即可求出DG=BP和AG=AP，随之利用直角三角形可找出AP与DG的数量关系，最后利用中位线定理推出AP与DE的数量关系；
(3)根据题意分情况讨论P在线段AB和射线AB上的情况，分别利用第一问和第二问的方法即可求出AP长度以及AP与DE的数量关系，最后求出DE长度．
此题考查了矩形的综合题，涉及到的知识点有矩形的性质、中位线定理、平行线分线段成比例、三角形的全等，利用中位线定理和等腰直角三角形性质找出相应的线段的数量关系以及分情况讨论是解题的关键．
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