江西省宜春市宜丰县宜丰中学2022-2023学年高二下学期3月月考数学试题（解析版）

这是一份江西省宜春市宜丰县宜丰中学2022-2023学年高二下学期3月月考数学试题（解析版），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023（下）江西省宜丰中学高二第一次月考数学试卷
一、单选题（共40分）
1. 在等差数列中，设其前项和为，若，则（ ）
A. 4 B. 13 C. 26 D. 52
【答案】C
【解析】
【分析】利用等差数列的性质可得，结合等差数列的求和公式可得结果．
【详解】，
，
故选：C．
2. 已知函数，则（ ）
A. B. C. 1 D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】先求，再求的值.
【详解】解：因为，
所以，
所以，解得．
故选：B.
3. 设数列的前n项和为，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用并项求和和等比数列的求和公式进行求解即可
【详解】因为数列的前n项和为，，
所以
故选：C
4. 点P在曲线上移动，设点P处切线的倾斜角为，则角的范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先由导数的几何意义，求出切线的斜率的范围，再求出倾斜角的范围即可.
【详解】由可得，
，即，
当时，；
当时，.
，
故选：.
5. 某企业为节能减排，用万元购进一台新设备用于生产.第一年需运营费用万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加万元，该设备每年生产的收入均为万元.设该设备使用了年后，年平均盈利额达到最大值（盈利额等于收入减去成本），则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设该设备第年的营运费为万元，利用为等差数列可求年平均盈利额，利用基本不等式可求其最大值.
【详解】设该设备第年的营运费为万元，
则数列是以2为首项，2为公差的等差数列，则，
则该设备使用年的营运费用总和为，
设第n年的盈利总额为，则，
故年平均盈利额为，
因为，当且仅当时，等号成立，
故当时，年平均盈利额取得最大值4.
故选：D.
【点睛】本题考查等差数列在实际问题中的应用，注意根据题设条件概括出数列的类型，另外用基本不等式求最值时注意检验等号成立的条件.
6. 已知函数在定义域内单调递减，则实数a的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由已知可得在上恒成立，可转化为.求出的最小值，即可得出实数a的取值范围.
【详解】由已知，函数的定义域为，.
由在定义域内单调递减，所以在上恒成立，
即，可转化为在上恒成立，所以．
因为，所以，所以．
因此实数a的取值范围是．
故选：D．
【点睛】思路点睛：求出函数的导函数，然后根据函数的单调区间得到不等式恒成立的问题.分离参数或二次求导求出最值即可得出答案.
7. 已知定义在上的函数满足，且有，则的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】构造函数，应用导数及已知条件判断的单调性，而题设不等式等价于，结合单调性即可得解.
【详解】设，则，
∴在上单调递减.
又，则.
∵等价于，即，
∴，即所求不等式的解集为.
故选：B．
8. 已知函数（e是自然对数的底数），若存在，使得，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由，得到，再研究函数的单调性，得到，将表示出来，然后利用换元法转化为二次函数求最值即可.
【详解】，，，
，，
当时，，，
由得，由得，所以在上递增，在上递减，
在处取得最小值，，
，
令，则，，
当时，取得最小值，当时，取得最大值0，
所以的取值范围是.
故选：A
【点睛】方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
二、多选题（共20分）
9. 下列求导正确的是（ ）
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据求导公式分别检验各项即可得出结果.
【详解】对于，的导数为，故选项正确；
对于，的导数为，故选项正确；
对于，的导数为，故选项错误；
对于，的导数为，故选项正确，
故选：.
10. 已知数列满足，其中，为数列的前n项和，则下列四个结论中，正确的是（ ）
A. B. 数列的通项公式为：
C. 数列的前n项和为： D. 数列为递减数列
【答案】ACD
【解析】
【分析】令可求；利用已知求方法求数列通项公式；利用裂项相消法求数列的前n项和;根据数列与函数的关系判断数列的单调性.
【详解】因为，
所以当时，，
两式相减得，所以，
又因为当时，满足上式，
所以数列的通项公式为：，故A正确，B错误，
，
所以
，
故C正确；
因为，随着的增大，在减小，所以数列为递减数列，
故D正确.
故选:ACD.
11. 已知数列满足，，，，是数列的前项和，则下列结论正确的有（ ）.
A. B. 数列是等比数列
C. 数列是等比数列 D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】由可求得的值，可判断A选项；利用等比数列的定义可判断B选项；求出数列的通项公式，利用等差数列的定义可判断C选项；利用错位相减法可判断D选项.
【详解】对于A选项，，即，可得，A对；
对于B选项，由A选项可得，可得，且，
所以，数列是首项为，公比为的等比数列，B对；
对于C选项，由A选项可知，，故，所以，，
则，故数列为等差数列，C错；
对于D选项，，①
，②
①②可得，
因此，，D对.
故选：ABD.
12. 已知函数，若与的图象上有且仅有两对关于原点对称的点，则的取值可能是（ ）
A. e B. e C. 3 D. 4
【答案】BD
【解析】
【分析】根据与的图象上有且仅有两对关于原点对称的点，可转化为与在上有两个交点，分离参数构造函数，求导讨论单调性求最值即可求解.
【详解】依题意，因为与的图象上有且仅有两对关于原点对称的点，
所以与在上有两个交点，
即有两个零点，整理得，
只需满足与有两个交点即可.
令，则有，
所以在时，，单调递减；
在时，，单调递增；
所以在处取得最小值，
所以只需即可满足题设要求，
故选：BD.
三、填空题（共20分）
13. 已知函数是可导函数，且，则______.
【答案】1
【解析】
【分析】根据导数的定义求解即可.
【详解】解：因为函数是可导函数，且，
所以，根据导数的定义，
故答案为：
14. 若是由正数组成的等比数列，且，则__________.
【答案】20
【解析】
【分析】根据等比数列下标和的性质可得，结合对数的运算性质，即可求得答案.
【详解】因为是由正数组成的等比数列，且，
所以，
故，
所以，
故答案：20．
15. 若是等差数列，首项，则使前项和成立的最小自然数是__________.
【答案】4045
【解析】
【分析】先判断的符号，结合等差数列的求和公式进行求解.
【详解】因为，所以；
所以，
，所以成立的最小自然数是4045.
故答案为：4045.
16. 函数有两个零点，则实数的取值范围为_________．
【答案】或．
【解析】
【分析】令，问题转化为函数的图象与直线有两个交点，作出函数图象，观察可得．
【详解】令，则方程有两个解，即函数的图象与直线有两个交点，作出函数的图象，如图，再作出直线，它始终过原点，
设直线与相切，切点为，由知，切线斜率为，切线方程为，把代入得，，所以切线斜率为，
设与相切，则，即，，解得（舍去），
由图可得实数的范围是或．
故答案为：或．

【点睛】本题考查由函数的零点个数确定参数范围，解题关键是问题的转化，把函数零点转化为函数图象与直线的交点个数问题，利用数形结合思想，从图象中易得其结论与方法．
四、解答题（共70分）
17. 已知为等差数列的前项和，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设首项为，公差为，依题意得到方程组，解得、，即可得解；
（2）由（1）可得得，利用分组求和法及等比、差数列求和公式计算可得.
【小问1详解】
等差数列中设首项为，公差为，为其前项和，且，．
故，解得，所以．
【小问2详解】
由（1）得，
所以

18. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，其中，，，，平面ABCD，且，点M在棱PD上（不包括端点），点N为BC中点．

（1）若，求证：直线平面PAB；
（2）求二面角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据线面平行的判定定理分析证明
（2）建系，利用空间向量求二面角.
【小问1详解】
取PA的点Q，满足，连接MQ，QB，

因为，所以且，
又因为，且，点N为BC中点，即，且，
所以且，则四边形MQBN为平行四边形，
则，平面PAB，平面PAB，
所以直线平面PAB．
【小问2详解】
如图所示，以点A为坐标原点，以AB所在直线为x轴，以AD所在直线为y轴，以AP所在直线为z轴建立空间直角坐标系，

则，，，，
又N为BC的中点，则，
所以，，，，
设平面CPD的法向量为，
则，令，则，
设平面CPN的法向量为，
则，令，则，
所以，
由题意可得：二面角的平面为钝角，故其余弦值为．
19. 已知在时有极值0．
（1）求常数，的值；
（2）求在区间上的最值．
【答案】（1），；
（2）最小值为0，最大值为4
【解析】
【分析】（1）根据题意列方程求解可得；
（2）根据导数讨论单调性，然后可得最值.
【小问1详解】
，
由题知：,
解得或．
因为，故舍去；
当时，，
当时，，当时，，当时，，
所以在处有极小值，
所以，，符合题意.
【小问2详解】
由（1）可知，函数在和上单调递增，在上单调递减．
函数在取得极大值，在取极小值；
因为，
所以，，，，
所以最小值为0，最大值为4
20. 数列的前n项和为，已知，．
（1）求；
（2）若，求的前n项和．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用判断出为等比数列，即可求出通项公式；
（2）利用错位相减法求和
【小问1详解】
∵，，∴，
即，又，，，
∴当时，也满足，
∴数列是以2为首项，3为公比的等比数列.
∴．
【小问2详解】
，∴．
∵
∴
两式相减得：
∴
．
∴．
21. 已知椭圆：左右焦点分别为、，离心率为，斜率为k的直线l交椭圆于两点A、B，当直线l过时，的周长为8．
（1）求椭圆的方程；
（2）设OA、OB斜率分别为、，若，求证：，并求当面积为时，直线l的方程．
【答案】（1）
（2）证明见解析；或
【解析】
【分析】（1）根据焦点三角形周长求出，再由离心率求出，即可得解；
（2）设直线l的方程为，联立椭圆方程，消元后由根与系数的关系及斜率公式可得，再由三角形面积求出即可得解.
【小问1详解】
由题意，，，解得，，b=1，
椭圆的方程为．
【小问2详解】
设直线l的方程为，，，
与椭圆方程联立得，
，
可得
所以

O到直线AB的距离，三角形OAB的面积
解得，或
所以直线l方程为或．
22. 已知函数，（a为常数）．
（1）讨论的单调性；
（2）若对任意，不等式恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】（1）答案见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用导数与函数单调性的关系，对参数进行分类讨论求解.
（2）利用分离参数法，再通过构造函数，利用导数求函数的单调性、最值进行求解.
【小问1详解】
函数的定义域为，，
①若，有，函数在上单调递增；
②若，有，
∴当时，，函数在上单调递减；
当时，，函数在上单调递增．
综上，当，函数在上单调递增；当，函数在上单调递减，在上单调递增．
【小问2详解】
∵对任意的恒成立，
即对任意恒成立，
令，得，
当时，，函数在上单调递减；
当时，，函数在上单调递增；
∴，即，
故得，设，
∵，
当时，，，
∴，故函数在上单调递增；
∴，故．