上海市控江中学2022-2023学年高一下学期期末数学试题（解析版）

这是一份上海市控江中学2022-2023学年高一下学期期末数学试题（解析版），共15页。试卷主要包含了选择题本大题共有4题，第13等内容，欢迎下载使用。
控江中学2022学年第二学期高一年级数学期末
一、填空题（本大题满分54分）本大概共有12题，1～6题每题4分，7～12题每题5分.
1. 半径为2，弧长为2的扇形的圆心角为____________弧度.
【答案】1
【解析】
【分析】根据弧长公式结合已知条件求解即可
【详解】半径为2，弧长为2的扇形的圆心角为弧度，
故答案为：1
2. 函数的最小正周期是________________．
【答案】
【解析】
【分析】根据三角函数周期计算公式得出结果.
【详解】函数的最小正周期是
故答案为：
3. 向量的单位向量为____________.
【答案】
【解析】
【分析】根据即可求解.
【详解】.
故答案为：.
4. 若角的终边过点，则的值为_____________.
【答案】
【解析】
【分析】由题意可得 x＝4，y＝﹣3，r＝5，再由任意角的三角函数的定义可得 ，由诱导公式化简，代入即可求解．
【详解】解：∵角α的终边过点P（4，﹣3），则 x＝4，y＝﹣3，r＝5，，
．
【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，两点间的距离公式的应用，属于基础题．
5. 若复数，其中是虚数单位，则______.
【答案】5
【解析】
【分析】求得，由此求得.
【详解】由于，所以，所以.
故答案为：
【点睛】本小题主要考查共轭复数，考查复数乘法运算，属于基础题.
6. 已知直角坐标平面上两点、，若满足，则点的坐标为____________.
【答案】
【解析】
【分析】设点的坐标为，将转化为坐标，利用坐标对应相等即可求解.
【详解】设点的坐标为，
因为点，，
所以，，
因为，所以，解得，
所以点的坐标为
故答案为：
7. 在△ABC中，角A、B、C所对的边为a、b、c.若，，，则角C＝____________.
【答案】
【解析】
【分析】根据余弦定理求，再根据三角形内角范围，利用反三角表示得结果.
【详解】根据余弦定理得：，
因，所以.
故答案为：
8. 直线l：绕着点逆时针旋转与直线重合，则的斜截式方程是____________.
【答案】
【解析】
【分析】先找到直线的斜率，再由直线过点求出直线方程.
【详解】设直线l的倾斜角为，则，则，
所以直线，
故答案为：.
9. 已知函数的最大值为____________.
【答案】##
【解析】
【分析】利用辅助角公式将函数化简，再根据正弦函数的性质计算可得.
【详解】因为，
因为，所以，
所以，
函数的最大值为.
故答案为：
10. 直角三角形中，，，，点是三角形外接圆上任意一点，则的最大值为____________.
【答案】
【解析】
【分析】依题意建立平面直角坐标系，求出外接圆的方程，设，利用坐标法计算向量数量积，最后根据正弦函数的性质计算可得.
【详解】在直角三角形中，，，，
所以，则三角形外接圆的圆心为斜边的中点，外接圆的直径为斜边，

如图建立平面直角坐标系，，，，
则三角形外接圆为，
设，则，，
所以，当且仅当，即时取等号.
故答案为：．
11. 已知常数，若关于x的方程有且仅有一个实数解，则m的取值范围是____________.
【答案】,
【解析】
【分析】将问题转化为直线与曲线只有一个交点，作出图象，结合图象求解即可．
【详解】由，可得，
由题意可得，
即直线与曲线只有一个交点，
又因为曲线表求以原点为圆心，2为半径且位于轴上及上方的半圆，
如图所示：

当直线过时，，此时直线与半圆只有一个交点，
当直线过点时，，此时直线与半圆有两个交点，
结合图象，当直线与半圆相切时，，
综上所述，的取值范围是,．
故答案为：,．
12. 已知常数，集合，，若，则t的取值范围是____________.
【答案】
【解析】
【分析】设，根据，得到，结合，得到，变形得到，根据几何意义得到两圆内含或内切，得到不等关系，求出答案.
【详解】设，则，解得，
因为，所以，即，
化简得到，其中，
整理得，
所以集合表示以为圆心，1为半径的圆及其内部，
而集合表示以为圆心，为半径的圆及其内部，
因为，所以，故两圆内含或内切，
故圆心距小于等于半径之差，即，解得，
即的取值范围是.
故答案：
【点睛】以复数为载体，考查核心内容为轨迹问题，数形结合进行求解，这是复数的模长相关题目的基本思路和方法.
二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，第13、14题各4分，第15、16题各5分，每题有且仅有一个正确选项.考生应在答题纸的相应编号上，填上答案.
13. 已知常数，直线：，：，则是的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】先利用两直线平行的公式求出，再确定充分性和必要性即可.
【详解】因为直线：，：，
当时，解得，
所以是的充分不必要条件.
故选：A
14. 已知常数，如果函数的图像关于点中心对称，那么的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据余弦函数的性质求出的取值，即可判断.
【详解】因为函数的图像关于点中心对称，
所以，，所以，，
所以当时，当时，时，
所以最小值为.
故选：C
15. 已知常数，，且，不全为零，若直线与圆：相交，则点与圆的位置关系是（ ）
A. 点在圆内 B. 点在圆上
C. 点在圆外 D. 随、取值的变化而变化
【答案】C
【解析】
【分析】依题意可得圆心到直线的距离，从而得到，即可判断.
【详解】因为直线与圆：相交，
所以圆心到直线的距离，即，
所以，则点在圆外.
故选：C
16. 在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为，，点C在直线上运动，O为坐标原点，G为△ABC的重心，则、、中正数的个数为n，则n的值的集合为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用重心的坐标公式，找出点，再结合平面向量数量积的坐标运算法则，解不等式，分类讨论即可.
【详解】设，因为G为△ABC的重心，则点，
令，则；
令则；
令，则，不等式恒成立，
所以当或时，；当时，.
综上：n的值的集合为.
故选：A
三、简答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必得步骤.
17. 已知直线：.
（1）若直线：求直线与直线的夹角；
（2）若直线与直线的距离等于，求直线的一般式方程.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求出直线、的斜率，利用斜率判断两直线垂直，从而得出两直线的夹角；
（2）依题意设直线的一般式方程为，利用两平行直线间的距离公式求解即可．
【小问1详解】
因为直线，斜率，
直线，斜率，
因为，所以，
即直线与直线的夹角为；
【小问2详解】
若直线与直线的距离等于，则，
设直线的一般式方程为，则，
解得，
所以直线的一般式方程为．
18. 设常数，已知关于的方程.
（1）若，求该方程的复数根；
（2）若方程的两个复数根为、，且，求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用配方法计算可得；
（2）根据判别式的正负分类讨论后可得的值.
【小问1详解】
若，则，即，
即，解得；
【小问2详解】
因为方程的两个复数根为、，
所以，，
若，即或
则，
故.
若，设，，则，
所以，，
，
又因为，所以，解得，所以，
所以．
综上，
19. 记.
（1）求关于x的方程的解集；
（2）求函数的单调减区间.
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】(1）解方程，求出方程的解集即可；
(2）结合二倍角公式及辅助角公式化简，再根据正弦函数的性质求出函数的递减区间即可．
【小问1详解】
,
令 ，即,
即,即,
解得 或 ,
故关于 x 的方程的解集是或.
【小问2详解】
，
单调减区间即
解得： ,
故的递减区间是.
20. 如图，设是半径为1的圆的内接正六边形，是圆上的动点.

（1）求的最大值；
（2）求证：为定值；
（3）对于平面中的点，存在实数与，使得，若点是正六边形内的动点（包含边界），求的最小值.
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）依题意可得，根据圆的几何性质圆上两点间直径最长，即可得解；
（2）当不与、中任何一点重合时，利用勾股定理即可证明，当与、中一点重合时，此时，即可得证；
（3）建立平面直角坐标系，即可得到，根据点位置特征，即可得解.
【小问1详解】
因为，均在圆上运动，
则，当且仅当与点重合时取等号；
【小问2详解】
因为、为圆直径的两端，为圆上的动点，
当不与、中任何一点重合时，，所以，
故

．
当与、中一点重合时，不妨设与重合，
则，
综上可得为定值；
【小问3详解】

建立如图所示的建立平面直角坐标系，则，，
则由
，即，
要使最小，只需使最大，即点的纵坐标最大，
由点在正六边形上及其内部运动，所以当点与点重合时，
，从而，即取最小值为．
21. 设是一个关于复数z的表达式，若（其中x，y，，为虚数单位），就称f将点“f对应”到点．例如将点“f对应”到点．
（1）若点“f对应”到点，点“f对应”到点，求点、的坐标；
（2）设常数，，若直线l：，，是否存在一个有序实数对，使得直线l上的任意一点“对应”到点后，点Q仍在直线上？若存在，试求出所有的有序实数对；若不存在，请说明理由；
（3）设常数，，集合且和且，若满足：①对于集合D中的任意一个元素z，都有；②对于集合A中的任意一个元素，都存在集合D中的元素z使得．请写出满足条件的一个有序实数对，并论证此时的满足条件．
【答案】（1）
（2）
（3），证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据题中新定义求解即可；
（2）由题意可得，进而由条件得出关于的方程组，求解即可；
（3）满足条件的一个有序实数对为，即，，结合复数模的求法及复数的运算证明即可.
【小问1详解】
由知，则，故；
设，则，
由知，则，即.
【小问2详解】
直线l上的任意一点“对应”到点，
，且，
，即，
由题意，点仍在直线上，则，又，
则，
展开整理得，
则，解得，
所以，所求的有序实数对为.
【小问3详解】
满足条件的一个有序实数对为，即，，证明如下：
设，则，，
∵，∴，
，即，满足条件①；
设，且，即，得，
由得，
则
，
则，满足条件②，
综上，满足条件的一个有序实数对为.
【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的：遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决．