重难点专题01 数列通项公式的12种常见求法-2023-2024学年高二数学考点讲解练（人教A版2019选择性必修第二册）

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重难点专题01 数列通项公式的12种常见求法
备注：资料包含：1. 基础知识归纳；
考点分析及解题方法归纳：考点包含：判断或写出数列中的项；观察法求通项公式；等差数列公式法求通项公式；等比数列公式法求通项公式；累加法求通项公式；累乘法求通项公式；递推公式为与的关系式；构造等比数列法求通项公式；构造等差数列法求通项公式；倒数求通项公式；对数法求通项公式；前n项积通项公式

2. 课堂知识小结
3. 考点巩固提升

知识归纳

求通项公式的方法：
(1)观察法：找项与项数的关系，然后猜想检验，即得通项公式an；
(2)利用前n项和与通项的关系an＝
(3)公式法：利用等差(比)数列求通项公式；
1、等差数列公式
推论公式：
2.推论公式：

(4)累加法：如an＋1－an＝f(n)， 累积法，如＝f(n)；
(5)转化法：an＋1＝Aan＋B(A≠0，且A≠1)．等

考点讲解



考点1：判断或写出数列中的项例1．（多选题）下列数中，是数列中的一项的是（    ）
A．90 B．29 C．30 D．23
【方法技巧】
必为偶数，故排除B与D，再分别令，看方程是否有正整数解即可
【变式训练】
1．若一数列为1，，，，…，则是这个数列的（    ）．
A．不在此数列中 B．第13项 C．第14项 D．第15项
2．已知数列的通项公式为．则12是该数列的第（    ）项．
A．2 B．3 C．4 D．5
3．数列满足，，则等于（    ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【分析】根据递推关系得出数列前几项，归纳可知数列具有周期性，利用周期求解即可.
考点2：观察法求通项公式
例2．写出数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数．
(1)，，，；
(2)，，，；
(3)3，4，3，4；
(4)6，66，666，6666．
【方法技巧】
通过观察找出规律，写出通项公式。
【变式训练】
1．数列2，0，2，0，…的一个通项公式为______．
2．将正奇数排列如下表，其中第i行第j个数表示，例如，若，则______．

3．数列0.1，0.01，0.001，0.0001，…的一个通项公式______．
考点3：等差数列公式法求通项公式
例3．已知数列为等差数列，，那么数列的通项公式为（    ）
A． B． C． D．

【方法技巧】
等差数列公式
推论公式：

【变式训练】
1．在数列中，，则等于___________.
2．若数列是公差为1的等差数列，且，则___________，___________.
考点4：等比数列公式法求通项公式
例4．在数列中，，且，则（    ）
A． B． C． D．

【方法技巧】
推论公式：

【变式训练】
1．若一个等比数列的公比为3，且首项为2，则该数列的第4项为（    ）
A．18 B．36 C．54 D．162
2．正项数列满足，则=_________.
考点5：累加法求通项公式
例5．在数列中，，，则（    ）．
A．659 B．661 C．663 D．665
【方法技巧】
累加法：如an＋1－an＝f(n)
【变式训练】
1．已知数列，，且，．求数列的通项公式________；
2．已知数列满足，且，求数列的通项公式；
考点6：累乘法求通项公式
例6．在数列中，（n∈N*），且，则数列的通项公式________.
【方法技巧】
累积法，如＝f(n)；
【变式训练】
1．设是首项为1的正项数列且，且，求数列的通项公式_________
2．数列满足：，，则数列的通项________________.
考点7：递推公式为与的关系式。
例7．已知数列的前项和为，求这个数列的通项公式.这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？
【方法技巧】
解法：这种类型一般利用

【变式训练】
1．已知数列满足条件，则数列的通项公式为___________.
2．已知数列满足（且），且，则___________．
3．在数列中，点在直线上，其中是数列的前项和．
求证：数列是等比数列．
考点8：构造等比数列法求通项公式
例8．已知数列，，求数列

【方法技巧】
(其中p，q均为常数，且)。

【变式训练】
1．已知数列中，，，则通项公式____________．
2．设数列的前n项和为，，，则___________.
考点9：构造等差数列法求通项公式
例9．数列{an}满足，，则数列{an}的通项公式为___________.
【方法技巧】

【变式训练】
1．已知数列满足，，则_______.
【答案】50
【分析】令，则是常数列，进而求出，故可求得，代入即可求得.
【详解】根据题意，令，得
因为，所以，又，
所以是首项为的常数列，故，即，故，
所以.
故答案为：50.
2.已知数列满足.求数列的通项公式；

考点10：倒数求通项公式
例10．已知数列满足，且，则数列__________
【方法技巧】
一般地形如、等形式的递推数列可以用倒数法将其变形为我们熟悉的形式来求通项公式。

【变式训练】
1．数列中，，，则是这个数列的第几项（    ）
A．100项 B．101项 C．102项 D．103项
2.（2022·湖北·高三三模）已知数列满足，（）.
求证数列为等差数列；

考点11：对数法求通项公式
例11.若数列{}中，=3且（n是正整数），则它的通项公式是=▁▁▁.
考点12：前n项积通项公式
例12．已知数列满足，则数列的通项公式为___________．

【方法技巧】
由已知可得，进而计算即可得出结果.

【变式训练】
1.（2022·山东·肥城市教学研究中心模拟预测）记为数列的前项积，已知，则= （       ）
A． B． C． D．
2.（2020·北京·高考真题）在等差数列中，，．记，则数列（       ）．
A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项
C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项

知识小结


求通项公式的方法：
(1)观察法：找项与项数的关系，然后猜想检验，即得通项公式an；
(2)利用前n项和与通项的关系an＝
(3)公式法：利用等差(比)数列求通项公式；
1、等差数列公式
推论公式：
2.推论公式：

(4)累加法：如an＋1－an＝f(n)， 累积法，如＝f(n)；
(5)转化法：an＋1＝Aan＋B(A≠0，且A≠1)．等
巩固提升


一、单选题
1．在等比数列中，已知前n项和，则a的值为（    ）
A．1 B．-1 C．2 D．-2
.
2．数列3，5，9，17，33，…的通项公式（    ）
A． B． C． D．
3．已知数列，则是这个数列的（    ）
A．第1011项 B．第1012项 C．第1013项 D．第1014项
4．已知数列的前项和为，满足，，则（    ）
A． B． C． D．
5．已知数列为递增数列，前项和，则实数的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
6．已知数列的前项和为，，，则（    ）
A． B．
C． D．
7．记数列的前n项和为，已知向量，，若，且，则对于任意的，下列结论正确的是（    ）
A． B． C． D．
8．已知数列的前项和为，．记，数列的前项和为，则的取值范围为（    ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．已知数列的通项公式为，则（    ）
A． B． C． D．
10．南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法商业功》中出现了如图所示的形状，后人称之为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三次有6个球，…，以此类推.设从上到下各层球数构成一个数列，则（    ）

A． B．
C． D．
三、填空题
11．已知无穷数列满足，，，写出的一个通项公式：______.（不能写成分段函数的形式）
12．若数列的前项和为，则数列的通项公式是___________.
13．已知数列的前n项和，则数列的通项公式为______．
14．已知数列满足，且，则__________.
四、解答题
15．数列满足.
(1)若，求证：为等比数列；
(2)求的通项公式．
.
16．已知数列，其前n项和为．
(1)求，．
(2)求数列的通项公式，并证明数列是等差数列．