选择性必修 第二册5.3 导数在研究函数中的应用精品习题

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5.3.2 函数的极值与最大（小）值
备注：资料包含：1. 基础知识归纳；
考点分析及解题方法归纳：考点包含：求已知函数的极值；根据极值求参数；函数（导函数）图像与极值的关系；函数最值与极值的关系；由导数求函数的最值（不含参）；已知函数最值求参数；函数的单调性，极值与最值的综合应用；根据极值点求参数；函数（导函数）；图像与极值点的关系；由导数求函数的最值（含参）；求已知函数的极值点
2. 课堂知识小结
3. 考点巩固提升
知识归纳

一．极值与导数
①极值的定义：设函数在点附近有定义，且若对附近的所有的点都有（或，则称为函数的一个极大（或小）值，为极大（或极小）值点。
②可导数在极值点处的导数为0（即），但函数在某点处的导数为0，并不一定函数在该处取得极值（如在处的导数为0，但没有极值）。
③求极值的步骤：
第一步：求导数；
第二步：求方程的所有实根；
第三步：列表考察在每个根附近，从左到右，导数的符号如何变化，
若的符号由正变负，则是极大值；
若的符号由负变正，则是极小值；
若的符号不变，则不是极值，不是极值点。
二．导数与最值
①最值的定义：若函数在定义域D内存，使得对任意的，都有，（或）则称为函数的最大（小）值，记作（或）
②如果函数在闭区间上的图象是一条连续不间断的曲线，则该函数在闭区间上必有最大值和最小值。
③求可导函数在闭区间上的最值方法：
第一步；求在区间内的极值；
第二步：比较的极值与、的大小：
第三步：下结论:最大的为最大值，最小的为最小值。
注意：1、极值与最值关系：函数的最值是比较整个定义域区间的函数值得出的，函数的最大值和最小值点可以在极值点、不可导点、区间的端点处取得。极值≠最值。函数f(x)在区间[a,b]上的最大值为极大值和f(a) 、f(b)中最大的一个。最小值为极小值和f(a) 、f(b)中最小的一个。
2．函数在定义域上只有一个极值，则它对应一个最值（极大值对应最大值;极小值对应最小值）
3、注意：极大值不一定比极小值大。如的极大值为，极小值为2。
注意：当x=x0时，函数有极值 f/(x0)＝0。但是，f/(x0)＝0不能得到当x=x0时，函数有极值；
判断极值，还需结合函数的单调性说明。
考点讲解



考点1：求已知函数的极值
例1．函数的极小值为（    ）
A．1 B． C． D．
【方法技巧】
利用导数研究函数的单调性，进而求得极值
【变式训练】
1．函数的极大值为（    ）
A．-2 B．2 C． D．不存在
2．函数有（    ）
A．极大值为5，无极小值 B．极小值为，无极大值
C．极大值为5，极小值为 D．极大值为5，极小值为
3．函数的极小值是__________．
考点2：根据极值求参数
例2．已知为函数的极大值点，则______．
【方法技巧】
根据导函数的正负判断单调区间和极值点，进而得解.
【变式训练】
1．已知函数有极值，则的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
2．若是函数的一个极值点，则______．







3．已知函数在处取得极值0，则______．
考点3：函数（导函数）图像与极值的关系
例3．函数的定义域为，导函数在内的图像如图所示，则下列命题不正确的是（    ）．

A．函数在内一定不存在最小值
B．函数在内只有一个极小值点
C．函数在内有两个极大值点
D．函数在内可能没有零点
【方法技巧】
根据导函数图象得到函数的单调区间，即可判断函数的极值，从而得解；
【变式训练】
1．（多选）函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（    ）

A．为函数的递增区间
B．为函数的递增区间
C．函数在处取得极小值
D．函数在处取得极小值
2．已知函数的导函数的图像如图所示，则下列结论正确的是（    ）

A．时，取得极大值 B．时，取得最小值
C． D．
考点4：函数最值与极值的关系
例4．下列说法正确的是（    ）
A．极值点处的导数值为
B．极大值一定比极小值大
C．可导函数在闭区间内的最大值必在极值点或区间端点处取得
D．如果函数的定义域为，且在上递减，在上递增，则的最小值为
【方法技巧】
由极值点定义、最值点和最值的定义依次判断各个选项即可.
【变式训练】
1．函数的导函数的图象如图所示，以下命题错误的是（    ）

A．是函数的极值点 B．是函数的最小值点
C．在区间上单调递增 D．在处切线的斜率大于零
2．（多选）下列说法错误的是（    ）
A．函数在闭区间上的极大值一定比极小值大;
B．函数在闭区间上的最大值一定是极大值;
C．对于，若，则无极值;
D．函数在区间上一定存在最值.
考点5：由导数求函数的最值（不含参）
例5．已知函数.
(1)求单调区间；
(2)求在区间上的最值.
【方法技巧】
（1）先求定义域，再求导，利用导函数的正负求出单调区间；（2）结合第一问求出最小值，再比较端点值求出最大值.
【变式训练】
1．函数的最小值为（    ）
A． B． C．0 D．3
2．函数在上的最小值为___________．
3．已知函数，设函数，则的最大值是______．
考点6：已知函数最值求参数
例6．已知函数的最小值为0，则实数a的值为__________．
【方法技巧】
利用导数研究的单调性和最值，根据最小值求得的值.
【变式训练】
1．若函数有最小值，则实数的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
2．已知函数在区间内有最值，则实数a的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
3．函数在区间上有最小值，则的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
考点7：函数的单调性，极值与最值的综合应用
例7．已知函数，是的一个极值点．
(1)求实数a的值；
(2)求在区间上的最大值和最小值．
【方法技巧】
（1）由函数在处有极值，得，进而求解实数的值；
（2）利用导函数求解函数的单调区间，进而求解最值.
【变式训练】
1．已知函数若，则的最大值为（    ）
A． B． C． D．
2．已知函数.
①在上单调递减，在上单调递增；
②在上仅有一个零点；
③若关于的方程有两个实数解，则；
④在上有最大值，无最小值.
上述说法正确的是___________.
3．已知函数，且f（x）在内有两个极值点（）．
(1)求实数a的取值范围；
(2)求证：．
考点8：根据极值点求参数
例8．若函数在处取得极值，则__________.
【方法技巧】
先利用导数为0求出，再检验函数在处取得极值，符合题意.
【变式训练】
1．对任意，函数不存在极值点的充要条件是（    ）
A． B． C．或 D．或
2．函数在处取得极值，则实数的值为______．
3．若函数在区间上有极值点，则实数a的取值范围为______．
考点9：函数（导函数）图像与极值点的关系
例9．已知函数的定义域为R，它的导函数的图象如图所示，则函数的极值点有________个.

【方法技巧】
根据函数图象判断导数的正负，判断函数的单调性，进而确定函数的极值点.
【变式训练】
1．设函数的导函数为，的部分图象如图所示，则（    ）

A．函数在上单调递增 B．函数在上单调递增
C．函数在处取得极小值 D．函数在处取得极大值
2．如图是函数的导函数的图象，则下列判断正确的是（    ）

A．在区间（－2，1）上，是增函数
B．当时，取到极小值
C．在区间（1，3）上，是减函数
D．在区间（4，5）上，是增函数
3．（多选）设函数在上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（    ）

A．函数在上递减，在上递减
B．函数在上递增，在上递增
C．函数有极大值和极小值
D．函数有极大值和极小值
考点10：由导数求函数的最值（含参）
3．设函数，其中．若的图像与x轴没有公共点，则a的取值范围是______．
【方法技巧】
利用导数求得函数的最小值，由最小值大于0可得参数范围．
【变式训练】
1．若对任意的实数恒成立，则实数的取值范围是（     ）
A． B． C． D．
2．如图所示，在等腰梯形ABDE中，AE＝ED＝BD＝a，当等腰梯形ABDE的面积最大时，（    ）

A． B． C． D．

3．已知函数，求：
(1)求函数的单调区间；
(2)求函数在的最小值.

考点11：求已知函数的极值点
例11．设函数，求的极大值点与极小值点.
【方法技巧】
求导分析导函数的零点与正负区间求解即可.
【变式训练】
1．函数在区间上的极小值点是（    ）
A．0 B． C． D．
2．（多选）函数的极值点是（    ）
A． B． C． D．
3．函数的极大值点是___________.
知识小结

一．极值与导数
①极值的定义：设函数在点附近有定义，且若对附近的所有的点都有（或，则称为函数的一个极大（或小）值，为极大（或极小）值点。
②可导数在极值点处的导数为0（即），但函数在某点处的导数为0，并不一定函数在该处取得极值（如在处的导数为0，但没有极值）。
③求极值的步骤：
第一步：求导数；
第二步：求方程的所有实根；
第三步：列表考察在每个根附近，从左到右，导数的符号如何变化，
若的符号由正变负，则是极大值；
若的符号由负变正，则是极小值；
若的符号不变，则不是极值，不是极值点。
二．导数与最值
①最值的定义：若函数在定义域D内存，使得对任意的，都有，（或）则称为函数的最大（小）值，记作（或）
②如果函数在闭区间上的图象是一条连续不间断的曲线，则该函数在闭区间上必有最大值和最小值。
③求可导函数在闭区间上的最值方法：
第一步；求在区间内的极值；
第二步：比较的极值与、的大小：
第三步：下结论:最大的为最大值，最小的为最小值。
注意：1、极值与最值关系：函数的最值是比较整个定义域区间的函数值得出的，函数的最大值和最小值点可以在极值点、不可导点、区间的端点处取得。极值≠最值。函数f(x)在区间[a,b]上的最大值为极大值和f(a) 、f(b)中最大的一个。最小值为极小值和f(a) 、f(b)中最小的一个。
2．函数在定义域上只有一个极值，则它对应一个最值（极大值对应最大值;极小值对应最小值）
3、注意：极大值不一定比极小值大。如的极大值为，极小值为2。
注意：当x=x0时，函数有极值 f/(x0)＝0。但是，f/(x0)＝0不能得到当x=x0时，函数有极值；
判断极值，还需结合函数的单调性说明。
巩固提升


一、单选题
1．已知函数的导函数则的极值点的个数为（    ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．已知函数存在减区间，则实数的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
3．已知函数的定义域为(a，b)，导函数在(a，b)上的图象如图所示，则函数在(a，b)上的极大值点的个数为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4
4．已知函数的最小值为－1，则实数a＝（    ）
A．－1 B．0 C．1 D．2
5．设函数，若对任意的有恒成立，则实数m的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
6．若函数，满足恒成立，则的最大值为（    ）
A．3 B．4 C． D．
7．若函数在区间内有极小值，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
8．若函数在处有极小值，则实数m=（    ）
A．9 B．3 C．3或9 D．以上都不对
二、多选题
9．已知函数的导函数为，若，则函数的图象可能是（    ）
A．B． C． D．
10．已知函数的极值点分别为，则下列选项正确的是（    ）
A．
B．
C．若，则D．过仅能做曲线的一条切线
三、填空题
11．函数在上的最小值为______．
12．若的两个极值点为，则_______．
13．已知函数，若存在，，使得在区间的最小值为－1且最大值为1，则符合条件的一组，的值为_________．
14．对于任意的实数，不等式恒成立，则实数的取值范围为___________.
四、解答题
15．已知函数且.
(1)当时，求函数的极值；
(2)当时，求函数零点的个数.
16．已知函数，
(1)求函数f(x)的单调区间（列表表达）
(2)求函数f(x)的极值，值域．


2023-2024