高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册6.3 二项式定理精品测试题

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考点分析及解题方法归纳：考点包含：求二项展开式;二项展开式的应用;求二项展开式第K项;多项式的展开式;根据二项式第K项求值
课堂知识小结
考点巩固提升
知识归纳
二项式定理特征：
= 1 \* GB3 ①右边的多项式叫做的二项展开式
= 2 \* GB3 ②各项的系数叫做二项式系数
= 3 \* GB3 ③叫做二项展开式的通项，它是二项展开式的第项
即
= 4 \* GB3 ④二项展开式特点：共项；按字母的降幂排列，次数从到递减；
二项式系数中从到递增，与的次数相同；
每项的次数都是
考点讲解
考点1：求二项展开式
例1．求的展开式．
【答案】
【详解】展开式的通项为，
展开式为.
【方法技巧】
根据展开式通项直接写出结果即可.
【变式训练】
1．下列不属于的展开式的项的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】按照二项式定理直接展开判断即可.
【详解】由二项式定理可知，，故不是展开式的项.
故选：B
2．化简（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】逆用二项式定理化简.
【详解】
．
故选：B
3．若，则
A．60B．70C．80D．90
【答案】B
【分析】利用二项展开式化简，即可得到结果.
【详解】
∴
故选：B．
4．若的二项展开式共有8项，则n=___________.
【答案】
【分析】根据二项式的性质计算可得；
【详解】解：二项式展开式中一共有项，所以，解得；
故答案为：
考点2：二项展开式的应用
例2．设，，则A－B的值为（ ）
A．128 B．129 C．47 D．0
【答案】A
【详解】，
故选：A
【方法技巧】
根据二项式定理进行求解即可.
【变式训练】
1．在的展开式中，的系数是（ ）
A．35B．C．560D．
【答案】C
【分析】利用二项式展开式的通项公式，求得展开式中的系数.
【详解】二项式的展开式的通项公式为，
令，
所以的展开式中的系数为.
故选：C
2．（ ）
A．3nB．2·3n
C．－1D．
【答案】D
【分析】根据条件结合的展开式即得.
【详解】
.
故选：D.
3．若，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】运用赋值法可求解.
【详解】令，得，
令，得，
则.
故选：A
4．化简等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由二项式定理写出对应的二项式，即可得答案.
【详解】由，
所以.
故选：B
考点3：求二项展开式第K项
例3．若的展开式共有项，则___________；展开式中的常数项是___________.
【答案】 6 60
【详解】因的展开式共有项，则，解得，
的展开式通项为：，
由得：，所以的展开式是.
故答案为：6；60
【方法技巧】
根据给定条件，利用二项式定理直接求出n值，再利用展开式的通项公式求解常数项作答.
【变式训练】
1．展开式中的第三项为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据展开式通项公式写出第三项即可.
【详解】由题设，展开式通项为，
第三项有，则.
故选：D
2．已知命题的展开式中的常数项为7，命题：若函数是奇函数，则，下列命题中为真命题的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】先判断的真假，再利用复合命题的真值表判断即可
【详解】的展开式中的常数项为，
故命题为真命题，进而为假命题；
若函数为奇函数，则，则，即，
故命题为假命题，为真命题．
所以为假命题， 为真命题，为假命题，为假命题，
故选：B．
3．二项式的常数项为 __（用具体数值表示）．
【答案】
【分析】写出二项式展开式的通项公式并化简整理，令即可得到常数项，计算即得答案.
【详解】二项式展开式的通项公式为：
，
令，则，
∴常数项为.
故答案为：．
4．若展开式中含有常数项，则的最小值是______．
【答案】4
【分析】写出通项公式，由常数项指数为0得出n与k的关系式，即可进一步得出的最小值
【详解】由二项式展开项通项公式可得
，要含有常数项且最小，则，即，∵，则当时，取得最小值，为4.
故答案为：4
考点4：多项式的展开式
例4．化简多项式的结果是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】依题意可知，多项式的每一项都可看作，
故该多项式为的展开式，
化简．
故选：D.
【方法技巧】
由已知，将多项式的每一项都变成二项式展开式的结构，观察结构变化，即可进行合并，完成求解.
【变式训练】
1．化简（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】将代数式进行变形，结合二项式定理可得结果.
【详解】.
故选：B.
2．在的展开式中，的系数为（ ）
A．B．21C．D．15
【答案】A
【分析】含的项是由的6个括号中的5个括号取x，1个括号取常数，从而得到答案.
【详解】含的项是由的6个括号中的5个括号取x，1个括号取常数，所以展开式含的项的系数为：.
故选：A.
3．化简(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1)＝________．
【答案】x5－1
【分析】逆用二项式定理即可计算.
【详解】原式＝(x－1)5＋ (x－1)4＋ (x－1)3＋ (x－1)2＋ (x－1)＋－1
＝[(x－1)＋1]5－1＝x5－1．
故答案为：x5－1.
4．用二项式定理展开下列各式：
(1)；
(2)．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）直接利用二项式定理求解；
（2）先化简原式为，再利用二项式定理求解.
(1)
解：
．
(2)解：
．
考点5：根据二项式第K项求值
例5．展开式中的常数项为20，则______.
【答案】##
【详解】展开式的通项为，
令，解得，
则展开式的常数项为，
解得.
故答案为：.
【方法技巧】
利用二项展开式的通项公式，求其常数项，解方程求即可.
【变式训练】
1．若的展开式中第4项是常数项，则n的值为（ ）
A．14B．16C．18D．20
【答案】C
【分析】写出二项式展开式的通项，令时的指数位置等于即可求解.
【详解】展开式的通项为，
令可得为常数项，可得，可得，
故选：C.
2．已知在n的展开式中，第9项为常数项，则：
（1）n的值为________；
（2）含x的整数次幂的项有________个．
【答案】 10 6
【分析】（1）写出二项展开式的通项，根据第9项为常数项求出n的值；（2）要使2nk，即为整数，得出k的取值.
【详解】二项展开式的通项Tk+1==．
（1）因为第9项为常数项，即当k=8时，2n－k=0，解得n=10．
（2）要使2n－k，即为整数，只需k为偶数，由于k=0，1，2，3，…，9，10，
故符合要求的有6项，分别为展开式的第1，3，5，7，9，11项．
故答案为：10；6.
知识小结
二项式定理特征：
= 1 \* GB3 ①右边的多项式叫做的二项展开式
= 2 \* GB3 ②各项的系数叫做二项式系数
= 3 \* GB3 ③叫做二项展开式的通项，它是二项展开式的第项
即
= 4 \* GB3 ④二项展开式特点：共项；按字母的降幂排列，次数从到递减；
二项式系数中从到递增，与的次数相同；
每项的次数都是

巩固提升
一、单选题
1．的展开式中，的系数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】使用二项展开式的通项进行计算即可.
【详解】的展开式的通项是，（）
由题意，，
因此，的系数是.
故选：B.
2．若的展开式有9项，则自然数的值为（ ）
A．7B．8C．9D．10
【答案】B
【分析】根据二项式展开式的项数即可得解.
【详解】解：因为的展开式共有项，所以，所以，
故选：B．
3．已知，则（ ）
A．B．0C．1D．32
【答案】A
【分析】令可得．
【详解】令，则.
故选：A.
4．若的展开式共有12项，则（ ）
A．11B．12C．13D．14
【答案】A
【分析】根据二项式定理可知，求出答案.
【详解】由二项式定理知展开式共有项，所以，即．
故选：A．
5．的展开式中的系数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由二项式定理将展开，然后得出，即可求出的系数.
【详解】由二项式定理：
观察可知的系数为.
故选：B.
6．若的展开式中存在常数项，则可能的取值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用通项公式，令的指数为0，可得与的关系，即可求解
【详解】展开式的第项
令则（）
所以为偶数
故选：A
7．在的展开式中，含的项的系数为（ ）
A．-120B．-40C．-30D．200
【答案】C
【分析】将整理为，根据二项展开式分析可得，对每种情况再根据二项展开式理解运算.
【详解】，其展开式为：
根据题意可得：
当时，则，展开式为：
∴，则的项的系数为
当时，则，展开式为：
∴，则的项的系数为
当时，则，展开式为：
∴，则的项的系数为
综上所述：含的项的系数为
故选：C．
8．的展开式中的系数是（ ）
A．45B．84C．120D．210
【答案】C
【分析】利用二项展开式的通项公式，组合数的性质，求得含项的系数．
【详解】解：的展开式中，
含项的系数为，
故选：C．
二、多选题
9．在二项式的展开式中，有（ ）
A．含x的项B．含的项
C．含x4的项D．含的项
【答案】ABC
【分析】利用二项展开式的通项，结合所给的选项即可得出答案．
【详解】二项式的展开式的通项为，
当时，，知A正确；
当时，，知B正确；
当时，，知C正确；
当时，，知D错误．
故选：ABC．
10．对于二项式，以下判断正确的有（ ）
A．存在，展开式中有常数项
B．对任意，展开式中没有常数项
C．对任意，展开式中没有x的一次项
D．存在，展开式中有x的一次项
【答案】AD
【分析】利用展开式的通项公式依次对选项进行分析，得到答案．
【详解】设二项式展开式的通项公式为，
则，
不妨令，则时，展开式中有常数项，故答案A正确，答案B错误；
令，则时，展开式中有的一次项，故C答案错误，D答案正确．
故选：AD
三、填空题
11．在展开式中，含的项的系数是__________．
【答案】20
【分析】根据二项展开式的通项公式可求出结果.
【详解】的展开式中的系数为，
的展开式中的系数为，
故在展开式中，含的项的系数为20．
故答案为：20
12．若，则___________.
【答案】-40
【分析】利用二项式定理得到通项公式，求出，得到答案.
【详解】由二项式定理得到通项公式为：，
当时，，当时，，
所以，
故答案为：-40
13．设，且，若能被13整除，则a=___________.
【答案】12
【分析】直接利用二项式定理求解即可.
【详解】由已知得
即被13整除的余数为，而，且，
若能被13整除，则，即，
故答案为：.
14．若将函数表示成，则a3的值等于__
【答案】20
【分析】由，根据二项展开式的通项理解求解.
【详解】∵，则
∴当时，则
故答案为：20．
四、解答题
15．写出的展开式.
【答案】
【分析】直接根据二项式定理展开即可；
【详解】解：
16．在的二项展开式中，各项系数和与各项二项式系数和之比为32:1.求：
(1)的值；
(2)展开式中的系数.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先求出各项二项式系数和与系数和，根据可求出结果；
（2）根据二项展开式的通项公式可求出结果；
(1)
各项二项式系数和为，令，则各项系数和为，
所以可得，得，得，得.
(2)
由（1）知，，所以的展开式的通项为，
令，得，
所以展开式中的系数为.